Chương 1 Giải bài toán như thế nào Bài 1 Cách giải một bài toán 1.1.Tìm hiểu sơ bộ bài toán 1.2.Khai thác đề toán 1.3.Tìm tòi lời giải 1.4.Trình bày lời giải 1.5.Kiểm tra đánh giá lời giải, khai thác bài toán Bài 2 Các phương pháp suy luận thường gặp và năng lực tư duy cần có khi giải toán 2.1.Quy nạp và diễn dịch 2.2.Phương pháp suy diễn 2.3.Phương pháp phản chứng 2.4.Phân tích và tổng hợp 2.5.Tổng quát hóa và đặc biệt hóa 2.6.Tương tự hóa 2.7.Trừu tượng hóa và cụ thể hóa Thực hành giải toán chương 1 Bài tập chương 1
0 ð CƯƠNG BÀI GIảNG ð_I Số Số CP VÀ THế C HNH GIảI TỐN (TÁI LÀIEU DÙNG Cho SINH VIÊN ðHSP TỐN LÀÝ) Nămà 2014 MÀ_C LọC Chương Giải toán nào……………………………………………………… 1.1 Cách Giải màột toán……………………………………………………………… 1.2 Các phương pháp suy luận thường gặp Giải toán…………………………… Chương 2: Các tập hợp số………………………………………………………………… 2.1 Tập hợp số tự nhin………………………………………………………………… 2.2 Số nguyên…………………………………………………………………………… 10 2.3 Số hữu tự…………………………………………………………………………… 12 2.4 Số thức……………………………………………………………………………… 18 Chương 3: ða thức- Phân thức h_u tự……………………………………………………… 23 3.1 ða thức……………………………………………………………………………… 23 3.2 Phân thức hữu tự…………………………………………………………………… 31 Chương 4: Hmà số đãơ thứ………………………………………………………………… 35 4.1 Kếhi niemà hmà số đãơ thứ hmà số………………………………………………… 35 4.2 MÀột vi pháp bàin đội đãơ thứ………………………………………………………… 36 4.3 Kếhá_o st màột hmà số bang phương pháp số cp…………………………………… 37 Chương 5: Phương trình – Hệ phương trình……………………………………………… 42 5.1 Phương trình………………………………………………………………………… 42 5.2 Hệ phương trình…………………………………………………………………… 45 Chương 6: Bt phương trìnhỏ Hệ bt phương trình……………………………………… 52 6.1 Bt thức……………………………………………………………………… 52 6.2 Bt phương trìnhỏ Hệ bt phương…………………………………………………… 55 Tái làieu thậmà kếhá_o………………………………………………………………………… 62 CHƯƠNG Giải toán Số táiết: 05 (LÀý thữuyết: 04 táiết; tập, thảo luận: 01 táiết) A) MÀ_C TÁIU Chương gồmà hai phân Phân thứ chương trợng bị cho người học bước Giải màột tốn, bao gồmà: tìmà hiệu đầu bài; xây dựng chương trình Giải; thức chương trình Giải; kếiểmà trợ kết biện luận Ba bước đầu táiên rõèn cho người học kếhi đãứng trước màột toán dùễ dùng đãịnh hình cơng việc chính, Trên cố sở bước tiếp cận, vận dụng kếiến thức liên quan để hỗàn thành lời Giải toán cho Bước thứ tư rõèn cho người học biết cách phân tích để kếhai thác tốn thệo nhiều góc độ, màột nhiệmà vụ quan trợọng, đặc biệt người học sinh viên ngành sư phùạmà toán Phân thứ hai trợng bị cho người học màột số phương pháp suy luận thường dùng như: phân tích tổng hợp; quáy nạp; tương tự; đặc biệt hóa; tổng quáát hóa Qua đó, người học biết vận dụng chúng trình tư q trình lập luận kếhi Giải tốn B) NỘI DÙUNG 1.1 Cách Giải màột tốn Thơng thường để Giải màột toán, người ta thường trợải qua cơng đoạn: tìmà hiệu đầu bài; xây dựng chương trình Giải; thực chương trình Giải; kếiểmà trợ kết biện luận MÀặc dù thực tế, kếháông phùải q trình Giải tốn phùải trợải qua đầy đủ bước kếể Trên, việc tìmà hiệu vận dụng bốn bước giúp ích kếhá nhiều cho việc nghiên cứu toán, đặc biệt toán chọn lọc điển hình thiết phùải trình bày phân tích kếĩ lưỡng thệo thứ tự bước để rõèn luyện thao tác tư nắmà bắt rõ chất 1.1.1 Tìmà hiệu đầu Đây công việc bắt buộc đầu táiên kếhi màuốn Giải màột toán Kếhi đọc đầu bài, cần hiệu rõ đầu giả thiết toán đâu yêu cầu toán Trên cố sở đó, cố gắng kếhoẩnh vùng phùạmà vi đề tốn: tốn thữuộc vùng kếiến thức nào? Cần có kếiến thức kếĩ gì? Nếu Giải Giải vấn đề gì? *) Lưu ý: - Cần tìmà rõ màối quan hệ cần tìmà biết tốn tìmà tịi, tính tốn - Cần nêu rõ giả thiết, kết luận toán chứng màinh - Nên sử dụng kếhai thác hình vẽ trực quan để hỗ trợ - Nên chọn lựa kếí hiệu phù hợp 1.1.2 Xây dựng chương trình Giải a) Nhận dạng tập hợp kếiến thức Trên cố sở kếhoẩnh vùng toán, trước hết cố gắng nhận dạng phân loại Tiếp đó, cố gắng hữuy động tổ chức kếiến thức biết để tìmà rõ lời Giải Quá trình tự phát, thậmà chí thao tác quen lập lại nhiều lần tái màột cách vô thức Chẳng hạn, kếhi gặp tốn “phân tích đa thức thành nhân tử” đầu lên màột loạt phương pháp biết dạng tốn (nhómà hạng tử, đặt nhân tử chữung, thêmà bớt hạng tử, sử dụng nghiệm đa thức, dùng thức, đặt ẩn phụ,…) b) Phân tích tốn để đưa tốn đơn giản MÀột tốn xây dựng từ toán đơn giản Chúng ta nên cố gắng phân tích tốn cho, chia tách thành nhiều tốn nhỏ, Giải tốn nhỏ ấy, sau kết hợp chúng lại để lời giải toán ban đầu Chẳng hạn, để chứng màinh “nếu p số nguyên tố p ³ ( p2 −1)⋮24 ”, ta tách thành hai tốn nhỏ: (i) ( p2 −1)⋮8 (ii) ( p2 −1)⋮3 c) Liên hệ sử dụng toán Giải Kếhi gặp màột tốn màà chưa tìmà rõ lời Giải, cố gắng nhìn lại xemà gặp màột tốn tương tự có liên quan đến toán cho mà ta biết cách Giải Điều hữu ích giúp ta tiếp cận gần toán xét Trên sở kế thừa điểm tương đồng phương pháp giải, kinh nghiệm, kết quả,… dù) MÀị màamà, dù_ đãốn Trong kếhi tìmà tịi lời Giải cho tốn, ta táin hnh thế* nghiệm với màột số trợư_ng hợp đặc biệt rõing Trên cố sở quan st kết x_y rõ trợư_ng hợp này, có thêmà Thơng táin để Giải cho trợư_ng hợp tổng quáát e) Sử dạng g_i ý c%a Pơlàya ð_ng trước màột tốn kếháĩ, nhiều kếhi hỗẩng màẩng thậmà chí màt phương hư_ng kếháĩ tiếp cận thứi giữẩn ngẩn Các gi ý sau Pơlàya giúp cho bình tĩnh để bước thếo g' táin tựi Giải toán cho - B#n gặp toán hay toán tương tự lên chưa? - B#n có biết màột tốn liên quan kếháơng? MÀột đãịnh làí sử dụng _ kếháông? - Xét kếĩ chưa biết (ẩn) thế* nhìn lại màột tốn qen thữuộc có cầng ẩn hay có ẩn tương tự - màột toán liên quan mà b#n có lên Giải Có thể sử dụng kếháơng? Có thể sử dụng kết kếháơng? Có thể sử dụng phương pháp kếháơng? Có cần phùải đưa thêmà màột số yêu tố phụ mà_i sử dụng kếháơng? - Có thể phát bàieu tốn màột cách kếhác kếháơng? - Nếu b#n vận chưa Giải tốn cho thế* Giải màột tốn liên quan mà dùễ kếháơng? MÀột toán tổng quáát hơn? MÀột trợư_ng hợp đặc biệt? MÀột toán tương tự? MÀột phân toán? Hãy gi lại màột số đãiu kếien, b- qua đãiu kếien kếhác Kếhi ẩn xc đãịnh đến màột ch ng mà_c đó, bàin đội nào? Có thể nghĩ rõ dù kếien kếhác giúp b#n xc đãịnh ẩn kếháơng? Có thể thếay đội ẩn dù kếien (hoặc c_ hai) cho ẩn mà_i gi kếien mà_i gần kếháông? - B#n sử dụng hết mà_i dù kếien chưa? ð sử dụng hết quan hệ chưa? ð để ý đến mà_i kếhi niemà ch_ yêu toán chưa? 1.1.3 Thức chương trình Giải Kếhác với việc xây dựng chương trình Giải, kết việc thức chương trình Giải thể _ việc trình bày lời Giải đủ tốn ðe lời Giải đủmà bịo xc, đếng đẩn cần sử dụng lập luận đếng, có c_ màu chơt _ phùải nắmà vùng vận dụng kếiến thức làơgic Toán Lời Giải cần đủmà bịo g_n gầng, mà#ch là#c, sng sởa, dùễ đọc để thến người kếhác dùễ thệo dùi, kếiểmà chứng DÙo trình tự nhiều chi táiết, nhiều cơng đoạn kếhi tìmà tịi xây dựng chương trình Giải thếay đội lại cho phù hợp Tuy nhin cần lưu ý rằng, đãiu gy kếháĩ kếháăn làmà hạn ch người học h_ ch_ tiếp cận với lời Giải mà kếháông rõ kếhi táin hnh Giải phùải trợải qua bước cơng đoạn c! thể làí dùo mà q trình dù#y học, kếháơng ch_ dạng lại _ việc tìmà kếimà, trình bày lời Giải hay đọc hiệu màột lời Giải sẩn có mà thường coi trợọng việc kếhai thác lời Giải để cố gắng bĩc tách xemà sau màoi lời Giải cịn ẩn ch_a gì? 1.1.4 Kếiểmà trợ kết biện luận Trong kếhi trình bày lời Giải, có thếiu sĩt, nhmà làẩn, tốn t#i Việc kếiểmà trợ kết trước hết giúp ta kếháac phục Trênh tốn t#i đó, bn c#nh cịn rõèn cho tính cận thếẩn, chac chẩn kếhi Giải màột công việc MÀoi màột vấn làuơn nắmà màối quan hệ màat thiết với màột loạt vấn kếhác, việc nhìn nhận lại tồn bo cách Giải giúp ta tích làũy thêmà kinh nghiệm, phát cách Giải kếhác, tìmà rõ tốn mà_i, thếy và_ trợí phát màối quan hệ toán a Giải với toán kếhác,… ðĩ làí dùo mà sau kếhi Giải xong màột toán, người ta thường kếhai thác toán hay đối kếhi g_i biện luận Có nhiều hư_ng để táin hnh kếhai thác toán, chẳng hạn: - Hư_ng 1: Phát bàieu toán tương tự - Hư_ng 2: Kếhi qát hĩa đe phát bàieu tốn tổng quáát - Hư_ng 3: ac biệt hĩa ñe phát bàieu tốn màột sơ trợư_ng hợp c_ thể tốn ban đâu (ch ý nêu tốn ban đâu đng tốn đac biệt làuơn ñng) - Hư_ng 4: Thếay ñoi giả thếiêt ñe xây dựng toán mà_i - Hư_ng 5: Tự ý nghĩa tốn đ Giải dùẩn đên phương pháp Giải màột tốn kếhác VÀí dù# 1.1.1: Cho tốn: “ Chứng màinh tích hai số tự nhin liên tiếp làuơn chia hết cho 2” Ta phát bàieu màột vi toán tương tự: (i) “Chứng màinh tích ba số tự nhin liên tiếp làuơn chia hết cho 3” (ii) “Chứng màinh tích bốn số tự nhin liên tiếp làuơn chia hết cho 4” T tốn ta xây dựng tốn tổng qát tốn đac biệt: (i) Bài tốn tổng quáát: “Chứng màinh tích n số tự nhin liên tiếp làuơn chia hết cho n ” (ii) Bài tốn đac biệt: “Chứng màinh tích hai số tự nhin chẩn liên tiếp làuơn chia hết cho 8” VÀí dù# 1.1.2 Xut phát t tốn: “ Tính bàieu thức A = (x + y)2 − (x − y)2 ” với đãp số A = 4xây, kếhai thác để có tốn: (i) “Chứng màinh tổng x + y kếháơng đội tích xây là_n kếhi x = y ” (ii) “Chứng màinh x, y > xây kếháông đội tích x + y nhỏ kếhi x = y ” (iii) Tìmà hai số kếhi biết tổng tích chúng (ivà) Tìmà hai số kếhi biết hiệu tích chúng 1.2 Các phương pháp suy luận thếư&ng gặp Giải tốn 1.2.1 Phân tích tổng hợp Phân tích dùng trợí ĩc để tách rõ thữuộc tính hay kếháía c#nh rõing biệt tồn thể chia tồn thể rõ thành phân Tổng hợp dùng trợí ĩc để kết hợp lại thữuộc tính hay kếháía c#nh kếhác nắmà tồn thể hợp lại phân tồn thể Trong hỗ#t động Giải toán, trước hết phùải nhìn nhận quan st màột cách tổng thể để xemà tốn thữuộc loại gì, cần hữuy động kếiến thức nào, sử dụng phương pháp Bước tiếp thệo, táin hnh phân tích phân tích tốn cho thành toán nhỏ Trên cố sở tìmà rõ lời Giải tốn bo phùẩn, Thông qua sở tổng hợp lời Giải toán ban đầu Cần ch ý thao tác phân tích thường sử dụng kếhi tìmà lời Giải cho tốn, cịn kếhi trình bày lời Giải để đủmà bịo tính ngẩn g_n, người ta hay dùng thao tác tổng hợp màặc dù biết có p đặt, thếiu tính tự nhin VÀí dù# 1.2.1 Tìmà cơng thức Giải phương trình bac hai tổng qát ax2 + bx + c = (a ¹ 0) Sau kếhi chia trợi cho a ta được: b c xx aa + + = MÀuốn tìmà nghiệm ta cần phùải phân tích trợi thành tích hai nhân tử bac ð có , 2 bb xxx aa = ta cần thêmà bớt hạng tử 22 bb aa = = = Ta có 2222 22 222 24424 b c b b b c b b ac xxxxx aaaaaaaa − + + = + + − + = = − = − ðn ta thếy phùải xét trợư_ng hơphù dù_a thệo dùu DÙ = b2 − 4ac,… c_ màoi trợư_ng hợp lại phân tích tiếp Tuy nhin kếhi trình bày lời Giải, ta lại thệo phương pháp tổng hợp sau: Phương trình tương đãương với 2 0, - 24 b x b ac aa DÙ = − = − = DÙ = Ta có: +) DÙ > : Phương trình có hai nghiệm phân biệt 1,2 ; b x a − ± DÙ = +) DÙ = : Phương trình có nghiệm kếp ; b xx a ==− +) DÙ = : Phương trình vơ nghiệm 1.2.2 Quáy n p Quáy n_p phương pháp suy luận mà kết luận chữung cho mà_i trợư_ng hợp dù_a vào kếháẩng đãịnh Trên màột số trợư_ng hợp rõing Có hai loại quáy nạp: quáy nạp hỗàn tồn quáy nạp kếháông hỗàn tồn (i) Quáy n_p kếháông hỗàn tồn: quáy nạp kết luận chữung cho mà_i trợư_ng hợp ch_ dù_a vào kếháẩng đãịnh Trên màột số trợư_ng hợp rõing, c! thể mà kếháông phùải dù_a vào tt c_ trợư_ng hợp DÙo chưa thể biết xc gi trợ_ chn làí kết luận (chưa biết tính đếng, sai) (ii) Quáy n_p hỗàn tồn: quáy nạp kết luận chữung cho mà_i trợư_ng hợp chứng màinh đếng dù_a vào việc thế* nghiệm tt c_ trợư_ng hợp (ch_ p dụng cho tập hữu hạn) DÙo hỗàn tồn biết kết luận làuơn đếng Trong toán học người ta thường dùng phương pháp quáy nạp toán học để chứng màinh cho kết luận quáy nạp hỗàn tồn Giả sử cần chứng màinh kếháẩng đãịnh A(n) đếng mà_i số tự nhin n ³ p, p số tự nhin cho trước Ta táin hnh thệo hai bước sau: (i) Bước cố sở: kếiểmà trợ A( p) đếng (ii) Bước quáy nạp: giả sử A(n) đếng số tự nhin n ³ p Ta chứng màinh A(n +1) đếng VÀí dù# 1.2.2 T quan st thếy 12 +1,22 +1,32 +1,42 +1 kếháông chia hết cho 3, ta rõ kết luận n2 +1 kếháông chia hết cho với mà_i số nguyên dùương n pháp quáy nạp kếháông hỗàn tồn, kết luận đếng VÀí dù# 1.2.3 T quan st thếy 221 5,222 17, 223 257 + = + = + = số nguyên tố, ta rõ kết luận 22 n + (số Ferõmàat) số nguyên tố với mà_i số nguyên dùương n Số nguyên tố dạng g_i số nguyên tố Ferõmàat pháp quáy nạp kếháông hỗàn tồn, kết luận sai Ơlàe ch_ rõ 225 + có ư_c ngun tố 641 (nhìn mày tính điển tử, người ta biết nhiều số Ferõmàat kếháơng ngun tố) [2] VÀí dù# 1.2.4 T quan st thếy 11 = 3+ 3+ 5,13 = 3+ + 5,15 = 3+ + 7,17 = 3+ + , ta rõ kết luận màoi số là_n tổng ba số nguyên tố pháp quáy nạp kếháông hỗàn tồn, kết luận đến vận chưa biết đếng sai (bài toán Gơnbch t nămà 1742) 1.2.3 Tương tự LÀ phương pháp suy luận mà t hai đối tưng giơng _ màột số dùu hiệu, ta dù_ đãốn chúng giơng _ dùu hiệu kếhác Chẳng hạn xét hai đối tưng X, Y, ta biết X có dùu hiệu a, b, c, dù cịn Y có dùu hiệu a, b, c Trên cố sở biết màột số tương đồng X Y, ta dù_ đãốn Y có dùu hiệu dù MÀặc dù ta chưa thể kếháẩng đãịnh rõ tính đếng sai kết luận pháp tương tự, đãiu hữu ích gĩp phân phùi tìmà tịi rõ mà_i Trong hỗ#t động Giải toán, sử dụng suy luận tương tự để liên hệ toán cần Giải với toán Giải giúp ta nhậnh chĩng tìmà rõ lời Giải Trong việc lập luận trình bày lời Giải, để Trênh việc lập đãi lập lại dùi dùịng kếháông cần thiết, kếhi gặp trình tự làơgic tương tự kếháơng có mà_i là# ta vit g_n “ tương tự Trên ta có…”, “chứng màinh tương tự ta được…” *) Lưu ý: ðe nêng cao độ táin cay kết luận kếhi sử dụng phương pháp tương tự, cần ch ý điểm dùư_i đây: (i) Cố gắng xc lập cầng nhiều cầng tốt dùu hiệu chữung cho đối tưng so snh (ii) Cần chọn cho dùu hiệu chữung dùu hiệu điển hình đối tưng so snh, nghĩa có liên hệ màat thiết với thữuộc tính kếhác đối tưng so snh (iii) Cần chọn cho dùu hiệu chữung có nhiều điểm tương đồng với dùu hiệu kết luận (ivà) Cần chọn cho dùu hiệu chữung dùu hiệu đặc trợưng, rõing biệt đối tưng so snh 1.2.4 ðac biệt hóa LÀ suy luận chữuyen t việc kếhá_o st màột tập hợp sẩng việc kếhá_o st màột tập hợp ðac biệt hĩa có tác dụng để kếiểmà nghiệm lại kết trợư_ng hợp rõing để tìmà