Bất đẳng thức đại số trong tam giác

đại học thái nguyên Tr-ờng đại học khoa học Phm Cụng nh Bất đẳng thức đại số tam giác Luận văn thạc sĩ toán học Thỏi nguyờn - 2013 Số hóa trung tâm học liệu Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc.tnu.edu.vn/ „I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC PhÔm Cổng nh BT NG THÙC „I SÈ TRONG TAM GIC LUŠN V‹N TH„C Sò TON HC Chuyản ngnh: PHìèNG PHP TON Sè CP M số: 60.46.0113 Ngữới hữợng dăn khoa hồc GS TSKH NGUY™N V‹N MŠU THI NGUY–N - N‹M 2013 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Líi c£m ìn Luên vôn BĐt ng thực Ôi số tam giĂc ữủc tĂc giÊ hon thnh dữợi sỹ hữợng dăn v ch bÊo tên tẳnh cừa GS TSKH Nguyạn Vôn Mêu  hon thnh ữủc luên vôn ny tĂc giÊ  nhên ữủc rĐt nhiÃu sỹ ởng viản, giúp ù cừa nhiÃu cĂ nhƠn v têp th Trữợc hát, tổi xin by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc án GS TSKH Nguyạn Vôn Mêu ngữới thƯy  hữợng dăn tổi thỹc hiằn luên vôn cừa mẳnh Tổi xin by tọ lỏng biát ỡn chƠn thnh tợi cĂc thƯy cổ giĂo  giÊng dÔy chúng tổi lợp cao hồc hai n«m håc vøa qua Tỉi xin gûi líi c¡m ìn chƠn thnh tợi cĂc thƯy cổ Ban GiĂm hiằu, Phỏng o tÔo Khoa hồc v Quan hằ quốc tá, Ban Chừ nhiằm khoa ToĂn - Tin cừa trữớng Ôi hồc Khoa hồc - Ôi hồc ThĂi Nguyản v trữớng THPT Chu Vôn An - ThĂi Nguyản  tÔo nhỳng iÃu kiằn tốt nhĐt cho tổi quĂ trẳnh hồc têp Cuối tổi xin gỷi lới cĂm ỡn án gia ẳnh, bÔn b, nhỳng ngữới  luổn tổi, ởng viản v khuyán khẵch tổi quĂ trẳnh thỹc hiằn luên vôn cừa mẳnh TĂc giÊ PhÔm Cổng nh Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mưc lửc M Ưu Mởt số kỵ hiằu dũng luên vôn CĂc ng thực Ôi số liản quan án tam giĂc 1.1 CĂc nh lỵ cỡ bÊn và tam giĂc 1.2 Hằ thực Ôi số cừa cĂc yáu tố b¶n tam gi¡c 10 BĐt ng thực liản quan án số o ở di tam giĂc 21 2.1 XƠy dỹng cĂc bĐt ng thực liản quan án số o ở di tam gi¡c 2.2 2.3 21 CĂc dÔng hằ quÊ cừa bĐt ng thực AM-GM Ăp dửng cho cĂc yáu tố Ôi số cừa tam gi¡c 29 2.2.1 Mët sè b§t ¯ng thùc cì b£n 29 2.2.2 Sû dưng b§t ¯ng thùc 30 2.2.3 Sû dưng b§t ¯ng thùc 30 2.2.4 Sû dưng b§t ¯ng thùc 31 2.2.5 Sỷ dửng mởt số bĐt ng thực so sĂnh vợi biºu thùc 31 Mët sè b i tªp ¡p dưng 32 Mët sè ùng döng v o b i to¡n cüc trà v nhên dÔng tam giĂc 41 3.1 Nhên dÔng tam gi¡c vuæng 41 3.2 Nhên dÔng tam giĂc cƠn 45 3.3 Nhên dÔng tam gi¡c ·u 49 55 56 57 Phử lửc Kát luên Ti liằu tham khÊo Soỏ hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mð ¦u BĐt ng thực tam giĂc l mởt phƯn quan trồng cừa toĂn sỡ cĐp BĐt ng thực Ôi số tam giĂc l mởt phƯn chiám v trẵ quan trång c¡c b i to¡n v· b§t ¯ng thùc tam giĂc Cõ rĐt nhiÃu cĂc dÔng toĂn loÔi khõ liản quan án chuyản à ny Trong cĂc kẳ thi håc sinh giäi quèc gia, thi Olympic to¡n quèc t¸, cĂc bi toĂn liản quan án bĐt ng thực Ôi số tam giĂc cụng hay ữủc à cêp v thữớng thuởc loÔi khõ CĂc bi toĂn và chựng minh b§t ¯ng thùc, cüc trà tam gi¡c hay c¡c bi toĂn và nhên dÔng tam giĂc  ữủc à cêp cĂc ti liằu bỗi dữùng giĂo viản v hồc sinh chuyản toĂn bêc trung hồc phờ thổng CĂc kát quÊ nghiản cựu và nởi dung ny tữỡng ối Ưy ừ v hon thiằn Chẵnh vẳ vêy  thu ữủc kát quÊ mợi cõ ỵ nghắa và nởi dung ny l rĐt khõ Tuy vêy cho án nhỳng nôm gƯn Ơy mởt số nh toĂn hồc văn thu ữủc mởt số kát quÊ mợi cõ ỵ nghắa và nởi dung ny Luên vôn BĐt ng thực Ôi số tam giĂc nhơm cung cĐp mởt số kián thực cỡ bÊn và cĂc hằ thực Ôi số cừa cĂc yáu tố tam giĂc, bĐt ng thực liản quan án số o ở di tam giĂc ỗng thới cụng ữa ữủc mởt số cĂch xƠy dỹng cĂc bĐt ng thực Ôi số mợi tam giĂc Trong quĂ trẳnh hon thnh luên vôn, tĂc giÊ  khổng ngứng nộ lỹc  hồc họi, tẳm tỏi v sữu tƯm cĂc bi toĂn và bĐt ng thực Ôi số tam giĂc Luên vôn gỗm phƯn m Ưu v ba chữỡng Chữỡng CĂc ng thực Ôi số liản quan án tam giĂc Nởi dung cừa chữỡng ny nhơm trẳnh by cĂc nh lẵ cỡ bÊn và tam giĂc ỗng thới trẳnh by cĂc hằ thực Ôi số cừa cĂc yáu tố tam giĂc Chữỡng BĐt ng thực liản quan án số o ở di tam gi¡c Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chữỡng ny nhơm giợi thiằu mởt số bĐt ng thực Ôi số tam giĂc ữủc xƠy dỹng ữủc tứ cĂc hằ thực Ôi số chữỡng ỗng thới ữa mởt số dÔng hằ quÊ quen thuởc cõa b§t ¯ng thùc AM-GM º chùng minh mët sè dÔng bĐt ng thực Ôi số tam giĂc Chữỡng n y cơng ÷a mët sè b i thi håc sinh giọi quốc gia v quốc tá cõ liản quan án bĐt ng thực Ôi số tam giĂc Chữỡng Mët sè ùng döng v o b i to¡n cüc trà v  nhên dÔng tam giĂc Chữỡng ny ữa cĂc bi toĂn và nhên dÔng cĂc loÔi tam giĂc: Tam giĂc vng, tam gi¡c c¥n, tam gi¡c ·u Số hóa trung taõm hoùc lieọu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mởt số kỵ hiằu dũng luên vôn ã MO ã IMO ã APMO • AM - GM • P • P - National Mathematical Olympiad - International Mathematical Olympiad - Asian Pacific Mathematical Olympiad - - sym - cyc Têng èi xùng, Têng ho¡n và, • ma ; mb ; mc ph¡t tø c¡c ¿nh - •r: •R: - - • ; rb ; rc sym cyc l  vi¸t t­t cõa l  viát tưt cừa symmetric cyclic lƯn lữủt l ở di cĂc ữớng trung tuyán xuĐt A, B, C ã la ; lb ; lc tø c¡c ¿nh A, B, C • ; hb ; hc ¿nh A, B, C Arithmetic mean - Geometric mean - lƯn lữủt l ở di cĂc ữớng phƠn giĂc xuĐt phĂt lƯn lữủt l ở di cĂc ữớng cao xuĐt phĂt tứ cĂc l bĂn kẵnh ữớng trỏn nởi tiáp l bĂn kẵnh ữớng trỏn ngoÔi tiáp - l bĂn kẵnh ữớng trỏn bng ti¸p Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ •p - l  nûa chu vi cõa tam gi¡c •S - l  di»n t½ch cõa tam gi¡c Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Ch÷ìng C¡c ¯ng thực Ôi số liản quan án tam giĂc 1.1 CĂc nh lỵ cỡ bÊn và tam giĂc Trong luên vôn ny, ta s sỷ dửng mởt số kỵ hiằu thống nhĐt tam giĂc nhữ sau Cho tam giĂc nh lỵ 1.1 giĂc ABC ABC ta kẵ hiằu AB = c; AC = b; BC = a (nh lỵ hm sè sin tam gi¡c, xem [4],[6]) Trong tam luổn cõ ng thực sau nh lỵ 1.2 giĂc ABC , a b c = = = 2R sin A sin B sin C (nh lỵ hm số cosin tam gi¡c xem [4],[6]) Trong tam luæn câ ¯ng thùc sau a2 = b2 + c2 − 2bc cos A; b2 = a2 + c2 − 2ac cos B; c2 = a2 + b2 − 2ab cos C ành lỵ 1.3 giĂc ABC (nh lỵ hm số tang tam gi¡c, xem [4],[6]) Trong tam luæn câ ¯ng thùc sau A−B a−b A−B C = = tan tan ; A+B a+b 2 tan tan Soá hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ B−C b−c B−C A = = tan tan ; B+C b+c 2 tan C −A tan c−a C −A B = = tan tan C +A c+a 2 tan tan nh lỵ 1.4 (Cổng thực tẵnh ở di ữớng cao tam giĂc, xem [4],[6]) nh lỵ 1.5 p 2S p(p a)(p − b)(p − c) = = ; a a p 2S p(p − a)(p − b)(p − c) hb = = ; b b p 2S p(p − a)(p − b)(p − c) hc = = c c (Cổng thực tẵnh ở di ữớng trung tuy¸n tam gi¡c, xem [4],[6]) b2 + c2 a2 = − ; 2 a +c b2 mb = − ; a2 + b2 c2 m2c = m2a nh lỵ 1.6 (Cổng thực tẵnh ở di ữớng phƠn giĂc tam gi¡c, xem [4],[6]) 2bc A cos ; b+c 2ac B lb = cos ; a+c 2ab C lc = cos a+b la = ành lỵ 1.7 (Cổng thực tẵnh ở di bĂn kẵnh ữớng trỏn ngoÔi tiáp, xem [4],[6]) R= a b c abc abc = = = = p sin A sin B sin C 4S p(p − a)(p − b)(p − c) Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 43 Líi gi£i Ta câ S = (p − b)(p − c) ⇔ S = (p − b)2 (p − c)2 ⇔ p(p − a)(p − b)(p − c) = (p − b)2 (p − c)2 ⇔ p(p − a) = (p − b)(p − c) ⇔ p2 − pa = p2 − (b + c)p + bc ⇔ (b + c − a)p = bc ⇔ (b + c − a)(b + c + a) = 2bc ⇔ (b + c)2 − a2 = 2bc ⇔ (b2 + c2 + 2bc) − a2 = 2bc ⇔ b2 + c2 = a2 Vªy ∆ABC vng tÔi A Bi toĂn 3.4 Cho 4ABC thoÊ mÂn = r + rb + rc Chùng minh r¬ng 4ABC vng Líi gi£i = r + rb + rc ⇔ S S S S = + + p−a p p−b p−c ⇔ 1 1 1 1 = + + ⇔ − = + p−a p p−b p−c p−a p p−b p−c ⇔ p − (p − a) (p − c) + (p − b) a a = ⇔ = (p − a)p (p − b)(p − c) (p − a)p (p − b)(p − c) ⇔ (p − a)p = (p − b)(p − c) ⇔ (b + c − a)p = bc ⇔ (b + c)2 − a2 = 2bc ⇔ b2 + c2 = a2 Vêy ABC vuổng tÔi A Bi to¡n 3.5 Cho 4ABC câ r + + rb + rc = a + b + c Chùng minh r¬ng 4ABC vng Líi gi£i Ta câ r = 4R sin Số hóa trung tâm học liệu A B C sin sin 2 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 44 p döng a + b + c = 2R [sin A + sin B + sin C] = 8R cos A B C cos cos 2 = ptg A a+b+c A A B C = tg = 4R sin cos cos 2 2 2 rb = ptg B a+b+c B B C A = tg = 4R sin cos cos 2 2 2 rc = ptg C a+b+c C C A B = tg = 4R sin cos cos 2 2 2 Khi â, ¯ng thùc r + + rb + rc = a + b + c h ⇔ 4R sin A B C A B C sin sin + sin cos cos 2 2 2 B C A C A Bi + sin cos cos + sin cos cos 2 2 2 = 8R cos A B C A B C A B C cos cos ⇔ sin sin sin + sin cos cos 2 2 2 2 B C A C A B A B C cos cos + sin cos cos = cos cos cos 2 2 2 2     A B C B C A B C C B ⇔ sin sin sin + cos cos + cos sin cos + sin cos 2 2 2 2 2 + sin A B C cos cos 2       A B C A B C A B C ⇔ sin cos − + cos sin + = cos cos cos 2 2 2 2 = cos Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 45     A B−C A B+C ⇔ sin cos + cos sin 2 2   A B+C B−C = cos cos + cos 2 ⇔ sin A B−C A A A A A B−C cos + cos cos − cos sin − cos cos =0 2 2 2 2     A A B−C A A A ⇔ sin − cos cos − cos sin − cos =0 2 2 2    A A B−C A ⇔ sin − cos cos − cos =0 2 2   A A " A sin = cos  A = π/2 tg = 2   B = π/2 ⇔ ⇔B− ⇔ C = A  B−C A C = π/2 C −B =A cos = cos 2 Vêy ABC vuổng 3.2 Nhên dÔng tam giĂc cƠn Bi to¡n 3.6 Cho 4ABC câ a3 (b2 − c2 ) + b3 (c2 − a2 ) + c3 (a2 − b2 ) = Chựng minh rơng 4ABC cƠn Lới gi£i = a3 (b2 − c2 ) + b3 (c2 − a2 ) + c3 (a2 − b2 ) = a3 (b2 −c2 ) − a2 (b3 − c3 ) + b2 c2 (b − c)  = (b − c) a3 (b + c) − a2 (b2 + bc + c2 ) + b2 c2 = (b " − c)(a − b)(a − " c)(ab + bc + ca) a−b=0 a=b ⇔ b−c=0 ⇔ b=c c−a=0 c=a ⇔ 4ABC c¥n Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 46 B i to¡n 3.7 Cho 4ABC câ hb hc hb hc + + = + + hb hc ha hb hc Chựng minh rơng 4ABC cƠn Líi gi£i Bi¸n êi ¯ng thùc hb hc hb hc + + = + + hb hc ha hb hc ⇔ b c a a b c + + = + + a b c b c a ⇔ b2 c + c2 a + a2 b = a2 c + b2 a + c2 b ⇔ b2 (c − a) + ca(c − a) − b(c2 − a2 ) = ⇔ (c − a)(b − c)(b − a) = " " a−b=0 a=b ⇔ b−c=0 ⇔ b=c c−a=0 c=a ⇔ 4ABC B i to¡n 3.8 Cho 4ABC cƠn cõ sin Chựng minh rơng 4ABC A a = √ 2 bc c¥n Líi gi£i Ta câ   − cos A b2 + c2 − a2 a2 − (b − c)2 sin = = 1− = 2 2bc 4bc 2A Do â, ¯ng thùc Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 47 sin A a = √ 2 bc a2 a2 − (b − c)2 a2 ⇔ sin = ⇔ = 4bc 4bc 4bc 2A ⇔ a2 − (b − c)2 = a2 ⇔ b = c ⇔ 4ABC B i to¡n 3.9 Cho 4ABC c¥n câ 4rrc = c2 Chựng minh rơng 4ABC cƠn Lới gi£i 4rrc = S S pp−c =4 p(p − a)(p − b)(p − c) = 4(p − a)(p − b) p(p − c) =4 b + c − ac + a − b = c2 − (a − b)2 2 Do â 4rrc = c2 ⇔ c2 − (a − b)2 = c2 ⇔ a = b Vªy 4ABC c¥n B i to¡n 3.10 Cho 4ABC câ + cos B 2a + c =√ sin B 4a2 c2 Chựng minh rơng 4ABC cƠn Lới giÊi Soỏ hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 48 + cos B 2a + c (1 + cos B)2 (2a + c)2 =√ ⇔ = sin B 4a2 − c2 sin2 B 4a2 − c2 (1 + cos B)2 (2a + c)2 ⇔ = − cos2 B (2a + c)(2a − c) ⇔ + cos B 2a + c = − cos B 2a − c ⇔ + cos B 2R [2 sin A + sin C] = − cos B 2R [2 sin A − sin C] ⇔ + cos B sin A + sin C = (1 + cos B) + (1 − cos B) (2 sin A + sin C) + (2 sin A − sin C) ⇔ + cos B sin A + sin C = ⇔ sin A [1 + cos B] = sin A + sin C sin A ⇔ sin(A + B) + sin(A − B) = sin C ⇔ sin(A − B) = ⇔ A = B Vªy 4ABC c¥n B i to¡n 3.11 Cho 4ABC câ (p − a) cot Chùng minh r¬ng 4ABC B A = ptg 2 c¥n Líi gi£i (p − a) cot B A p−a A B = ptg ⇔ = tg tg 2 p 2 Ta câ p−a b + c − a 2R [sin B + sin C − sin A] = = p b + c + a 2R [sin B + sin C + sin A] B+C B−C A A cos − sin cos 2 2 = B+C B−C A A sin cos + sin cos 2 2 sin Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 49   A B−C B+C cos cos − cos 2   = A B−C B+C cos cos + cos 2 B C sin 2 = tg B tg C = B C 2 cos cos 2 sin Do â, ¯ng thùc p−a A B B C A B C A = tg tg ⇔ tg tg = tg tg ⇔ tg = tg ⇔ C = A p 2 2 2 2 Vªy 4ABC cƠn 3.3 Nhên dÔng tam giĂc Ãu Bi toĂn 3.12 4ABC Cho 4ABC câ = 3r v  ma = 3r Chùng minh r¬ng ·u Líi gi£i Do  A  ra = ptg  r = (p − a)tg A Tø n¶n = 3r ⇔ p = 3(p − a) ⇔ b + c = 2a (1) ma = 3r ⇔ m2a = 9r2 9S 9p(p − a)(p − b)(p − c) ⇔ ma = = p p2 2b2 + 2c2 − a2 9(p − a)(p − b)(p − c) ⇔ = p 9(b + c − a)(c + a − b)(a + b − c) = h 4(a + b + c)i 9(2a − a) a2 − (b − c)2 ⇔ 2b2 + 2c2 − a2 = a + 2ai h 2 2 ⇔ 2b + 2c − a = a − (b − c)2 ⇔ 5b2 + 5c2 − 6bc = 4a2 = (b + c)2 ⇔ 4(b − c)2 = ⇔ b = c (2) Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 50 Tø (1) v  (2) suy B i to¡n 3.13 a = b = c 4ABC ·u 4ABC câ   sin B sin C = 3 a − b − c  a2 = a−b−c Cho 4ABC Chựng minh rơng Vêy Ãu Lới giÊi a3 b3 − c3 a = ⇔ a2 [a − b − c] = a3 − b3 − c3 a−b−c ⇔ a2 (b + c) = b3 + c3   ⇔ a2 (b + c) = (b + c) b2 + c2 − bc ⇔ a2 = b2 + c2 − bc ⇔ bc = b2 + c2 − a2 bc b2 + c2 − a2 ⇔ = 2bc 2bc ⇔ sin B sin C = = cos A ⇔ A = π/3 ⇔ [cos(B − C) − cos(B + C)] = ⇔ cos(B − C) + cos A = ⇔ cos(B − C) = ⇔ B = C Tø (1) v  (2) suy B i to¡n 3.14 a = b = c Cho (1) 4ABC Vªy 4ABC (2) ·u câ 2(p2 − r2 − 4Rr) = ab + bc + ca Chùng minh r¬ng 4ABC ·u Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 51 Líi gi£i S2 abc S 2(p − r − 4Rr) = 2p − 2 − p 4S p 2p(p − a)(p − b)(p − c) 2abc = 2p2 − − p2 p (p − a)(p − b)(p − c) + abc = 2p2 − p p − (a + b + c)p2 + (ab + bc + ca)p − abc + abc = 2p − p = 2(a + b + c)p − 2(ab + bc + ca) = (a + b + c)2 − 2(ab + bc + ca) = a2 + b2 + c2 2 Do õ ng thực  cho tữỡng ữỡng vỵi a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca i 1h 2 ⇔ a + b + c − (ab + bc + ca) = (a − b) + (b − c) + (c − a) = ⇔ a = b = c Vªy 2 4ABC ·u B i to¡n 3.15 Cho 4ABC câ b+c= Chùng minh r¬ng Líi gi£i 4ABC √ a + ·u Ta câ √ √ a a + ⇔ b + c = + (b sin C) 2 √ ⇔ 2R [sin B + sin C] = R sin A + 2R sin B sin C √ √ 1 ⇔ sin B + sin C = sin A + sin B sin C = sin(B + C) + sin B sin C 2 √ ⇔ sin B + sin C = [sin B cosC + sin C cos B] + sin B sin C √ " # " # √ 3 ⇔ sin B − cosC − + sin C + sin C − cosB − + sin B = 2 2 b+c= h π i h π i ⇔ sin B − cos − C + sin C − cos −B =0 3  π      cos − C = C = π/3 ⇔ ⇔ B = π/3    π   cos −B =1 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 52 Vªy 4ABC ·u B i to¡n 3.16 Cho 4ABC câ (a + b)(b + c)(c + a) R = 4abc r Chùng minh r¬ng 4ABC ·u Líi gi£i Ta câ r = 4R sin n¶n R = r A B C sin sin 2 A B C sin sin sin 2 p döng (a + b)(b + c)(c + a) 8R3 (sin A + sin B)(sin B + sin C)(sin C + sin A) = 4abc 4.8R3 sin A sin B sin C sin = cos = A+B A−B B+C B−C C +A C −A cos sin cos sin cos  2    A A B B C C sin cos sin cos sin cos 2 2 2 A−B B−C C −A cos cos 2 A B C sin sin sin 2 Tø â, suy ¯ng thùc  cho tữỡng ữỡng vợi cos AB BC C A cos cos =1 2 ⇔ cos A−B B−C C −A = cos = cos =1 2 ⇔ A = B = C Vªy 4ABC ·u Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 53 B i to¡n 3.17 4ABC Cho câ √ (a + b2 + c2 ) 12 S= Chùng minh r¬ng 4ABC ·u Líi gi£i p S = p(p − a)(p − b)(p − c) s   (p − a) + (p − b) + (p − c) ≤ p √ r   p p2 = p = √ = (a + b + c)2 36 3 √ 36 (1 ≤ + 12 + 12 )(a2 + b2 + c2 ) √ = D§u "=" x£y B i to¡n 3.18 (a + b2 + c2 ) 12 v  ch¿ 4ABC Cho 4ABC câ ·u √ 3 S = Rr Chùng minh r¬ng 4ABC ·u Líi gi£i √ √ 3 3 S= Rr ⇔ pr = Rr 2 √ ⇔ a + b + c = 3R √ ⇔ 2R [sin A + sin B + sin C] = 3R √ 3 ⇔ sin A + sin B + sin C = Ta câ Số hóa trung tâm học lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 54 sin A + sin B + sin C " √ √ #   √ sin A 3 sin B = √ sin A + sin B + √ cos B + √ cos A 2 3     3 ≤√ sin2 A + + sin2 B + 4 √     sin A sin B 2 + + cos B + + cos A 3 √ 3 = D§u "=" x£y ⇔ A = B = C ⇔ 4ABC Số hóa trung tâm học liệu ·u http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 55 Phư lưc • B§t ¯ng thùc AM - GM Cho a1 , a2 , , an l  c¡c sè thüc khỉng ¥m , â ta câ a1 + a2 + + an √ ≥ n a1 a2 an n D§u = x£y • ⇔ a1 = a2 = = an B§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz a1 , a2 , , an v  b1 , b2 , , bn , ta ln câ b§t ¯ng an )(b21 + b22 + + b2n ) ≥ (a1 b1 + a2 b2 + + an bn )2 Vợi hai dÂy số thỹc tũy ỵ thực (a1 + a22 + + D§u = x£y v  ch¿ (a1 , a2 , , an ) v  (b1 , b2 , , bn ) l  hai bở t lằ ã BĐt ng thực Schur Vợi a, b, c ≥ v  k l  sè thüc bĐt kẳ ta luổn cõ ak (a b)(a c) + bk (b − a)(b − c) + ck (c − a)(c − b) ≥ D§u = x£y ⇔a=b=c Số hóa trung tâm học liệu ho°c a = b, c = v  c¡c ho¡n http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 56 Kát luên Luên vôn BĐt ng thực Ôi số tam giĂc trẳnh by mởt số kián thực cỡ bÊn và cĂc hằ thực Ôi số cừa cĂc yáu tố tam giĂc, cĂc ng thực v bĐt ng thực liản quan án số o ở di tam gi¡c â câ nhi·u h» thùc l  cĂc kát quÊ mợi cõ ỵ nghắa mợi thu ữủc nhỳng nôm gƯn Ơy Tiáp theo, ữa mởt số cĂch xƠy dỹng cĂc bĐt ng thực Ôi số mỵi tam gi¡c X²t mët sè ùng dưng v o bi toĂn cỹc tr v nhên dÔng tam giĂc Soỏ hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 57 T i li»u tham khÊo BĐt ng thực hẳnh hồc, NXB GiĂo dửc, 2006 [2] Nguyạn Vụ Lữỡng (chừ biản), Mởt số bi giÊng và cĂc bi toĂn tam giĂc, NXB Ôi hồc Quốc gia H Nởi, 2007 [3] Nguyạn Vôn Mêu, BĐt ng thực - nh lẵ v Ăp dửng, NXB GiĂo Dửc, [1] Vụ ẳnh Hỏa, 2006 [4] Nguyạn Vôn Mêu (Chừ biản), dửng, Chuyản à chồn lồc lữủng giĂc v  ¡p NXB Gi¡o Döc, 2009 B i gi£ng mët sè ùng dưng v nh a thùc - chi lơy thøa h¼nh thực vo nghiản cựu toĂn sỡ cĐp, 2012 [6] TÔ Duy Phữủng, Phữỡng trẳnh bêc ba v cĂc hằ thực tam gi¡c, [5]  m V«n Nh¿, NXB Gi¡o Dưc, 2006 [7] TrƯn Phữỡng (chừ biản), toĂn hồc, V àp bĐt ng thực cĂc kẳ thi Olympic NXB Ôi hồc Quốc gia H Nởi, 2010 [8] TrƯn Phữỡng, Hằ thùc l÷đng gi¡c, Số hóa trung tâm học liệu NXB H  Nëi, 2002 http://www.lrc.tnu.edu.vn/