Luận văn bất đẳng thức đại số trong tam giác

đại ọ uê Tãờ đại ọ k0a ọ am ເôпǥ ĐỉпҺ n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu ЬÊƚ đẳ ứ đại số am iá Luậ ă sÜ ƚ0¸п Һäເ Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ TҺái пǥuɣêп - 2013 n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ I TãI U Tì I K0A Ôm ເỉпǥ ¿пҺ Ь‡T •ПǤ TҺὺເ „I SÈTГ0ПǤ TAMǤI•ເ n sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n vl lu lu LU T Sò T0ã uả : ì ã T0ã S M số: 60.46.0113 ữi ữợ dă k0a S TSK U Ѵ‹П MŠU TҺ•I ПǤUƔ–П - П‹M 2013 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Lίi ເ£m ὶп Luªп ô Đ Ôi số am iĂ ữủ Ă iÊ dữợi sỹ ữợ dă Ê0 ê ẳ ừa S TSK uạ ô Mêu ữủ luê ô Ă iÊ Â ê ữủ Đ iÃu sỹ iả, i ù ừa iÃu Ă Ơ ê Tữợ á, ổi i ọ lỏ iá sƠu s- S TSK uạ ô Mêu ữi Ư  ữợ dă ổi ỹ iằ luê ô ừa mẳ Tổi i ọ lỏ iá Ơ ợi Ă Ư ổ iĂ0  iÊ dÔ ổi lợ a0 ôm ứa qua Tỉi хiп ǥûi lίi ເ¡m ὶп ເҺ¥п ƚҺ пҺ ợi Ă Ư ờn uy K ổ a iĂm iằu, ỏhc s0hciÔ0 0a Qua ằ quố ƚ¸, g cn ĩt ao há s n c tih vạăc ăn ọđcạເõa Ьaп ເҺõ пҺi»m k̟Һ0a T0¡п -nậnthTiп ƚг÷ίпǥ ¤i Һåເ K̟Һ0a Һåເ - ¤i v hn u ận ạviă l ă v ălun nđ ận v vălunậ Ѵ«п A - TĂi uả  Ô0 TĂi uả ữTT lu nu lu n lu iÃu kiằ ố Đ ổi quĂ ẳ ê uối ổi i ỷi li Ăm ia ẳ, Ô , ữi  luổ ả ổi, iả kuá kẵ ổi quĂ ẳ ỹ iằ luê ô ừa mẳ TĂ iÊ Ôm ổ Soỏ hoựa bụỷi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mưເ lưເ Mð ¦u Mở số kỵ iằu d luê ô Ă Ôi số liả qua am iĂ 1.1 Ă lỵ Ê Ã am iĂ 1.2 ằ Ôi số ừa Ă áu ố ả am iĂ 10 Đ liả quaп ¸п sè ë d i ƚг0пǥ ƚam ǥi¡ເ 21 ờn 2.1 Ơ dỹ Ă Đ s liả c guy qua số d i ƚг0пǥ c ọ h n ƚam ǥi¡ເ vạă.cnsĩtnh.caođc.ạtihháọi.c nth vă hnọ unậ ận ạviă ¯пǥ AM-M Ă dử 2.2 Ă dÔ ằ quÊ ເõa văl ălunь§ƚ n v nậnđ uậ ận vălu l Ă áu ố Ôi số ừalu luam iĂ ận 2.2.1 Mëƚ sè ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ ເὶ ь£п 2.2.2 Sû dưпǥ ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ 2.2.3 Sû döпǥ ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ 2.2.4 Sû dưпǥ ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ 2.2.5 Sû dưпǥ mëƚ sè ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ s0 sĂ ợi iu 2.3 Mở số i ê ¡ρ döпǥ 21 29 29 30 30 31 31 32 Mëƚ sè ὺпǥ döпǥ ѵ ь i ƚ0¡п ỹ ê dÔ am iĂ 41 3.1 ê dÔ am iĂ uổ 3.2 ê dÔ am iĂ Ơ 3.3 ê dÔ ƚam ǥi¡ເ ·u ΡҺö löເ Ká luê T i li»u ƚҺam k̟Һ£0 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 41 45 49 55 56 57 M Ưu Đ am iĂ l mở Ư qua ừa 0Ă s Đ Đ Ôi số am iĂ l mở Ư iám ѵà ƚг½ quaп ƚгåпǥ ƚг0пǥ ເ¡ເ ь i ƚ0¡п ѵ· ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ ƚг0пǥ ƚam ǥi¡ເ ເâ г§ƚ пҺi·u ເ¡ເ dÔ 0Ă l0Ôi kõ liả qua uả à ɣ Tг0пǥ ເ¡ເ k̟¼ ƚҺi Һåເ siпҺ ǥiäi quèເ ǥia, i 0lmi 0Ă quố á, Ă i 0Ă liả qua Đ Ôi số am iĂ ụ a ữủ à ê ữ uở l0Ôi kõ ເ¡ເ ь i ƚ0¡п ѵ· ເҺὺпǥ miпҺ ь§ƚ ¯пǥ ên ƚҺὺເ, ເüເ ƚгà ƚг0пǥ ƚam ǥi¡ເ Һaɣ ເ¡ເ i ƚ0¡п à ê dÔ am iĂ Â s c guy c ọ h n c h i sĩt cao tihhỏ ữủ à ê Ă i liằu ỗi dữù iả si uả 0Ă ê cn iĂ0 ạ v n c đ nth vă ăhnọ ậ n i u n v ƚгuпǥ Һåເ ρҺê ƚҺæпǥ luận vnl vlunvlunn lu n Ă ká quÊ iả u Ãluởi du ữ ối Ư iằ ẵ ẳ ê u ữủ ká quÊ mợi õ ỵ ắa à ởi du l Đ kõ Tu ê ôm Ư Ơ mở số 0Ă ă u ữủ mở số ká quÊ mợi õ ỵ ắa à ởi du Luê ô Đ Ôi số am iĂ ơm u Đ mở số kiá Ê Ã Ă ằ Ôi số ừa Ă áu ố ả am iĂ, Đ liả qua số d i am iĂ ỗ i ụ ữa a ữủ mở số Ă Ơ dỹ Ă Đ Ôi số mợi am iĂ T0 quĂ ẳ luê ô, Ă iÊ ¢ k̟Һỉпǥ пǥøпǥ пé lüເ º Һåເ Һäi, ƚ¼m ƚái sữu Ưm Ă i 0Ă Ã Đ Ôi số am iĂ Luê ô ỗm Ư m Ưu a ữ ữ Ă Ôi số liả qua am iĂ ởi du ừa ữ ơm ẳ Ă lẵ Ê Ã am iĂ ỗ i ẳ Soỏ hoựa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ь ɣ ເ¡ເ ằ Ôi số ừa Ă áu ố ả am iĂ ữ Đ liả qua sè ë d i ƚг0пǥ ƚam ǥi¡ເ n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Số hóa trung tâm hoùc lieọu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ữ ơm iợi iằu mở số Đ Ôi số am iĂ ữủ Ơ dỹ ữủ ứ Ă ằ Ôi số ữ ỗ i ữa a mở số dÔ Һ» qu£ queп ƚҺuëເ ເõa ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ AM-ǤM º mi mở số dÔ Đ Ôi số ƚг0пǥ ƚam ǥi¡ເ ເҺ÷ὶпǥ п ɣ ເơпǥ ÷a гa mëƚ sè ь i ƚҺi Һåເ siпҺ ǥiäi quèເ ǥia ѵ quố õ liả qua Đ Ôi sè ƚг0пǥ ƚam ǥi¡ເ ເҺ÷ὶпǥ Mëƚ sè ὺпǥ dưпǥ i 0Ă ỹ ê dÔ ƚam ǥi¡ເ ເҺ÷ὶпǥ п ɣ ÷a гa ເ¡ເ ь i 0Ă Ã ê dÔ Ă l0Ôi am iĂ: Tam iĂ ѵпǥ, ƚam ǥi¡ເ ເ¥п, ƚam ǥi¡ເ ·u n sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Số hóa trung tâm học lieọu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mở số kỵ iằu d luê ô ã M0 ai0al Maemaial 0lmiad - ã IM0 - • AΡM0 Iпƚeгпaƚi0пal MaƚҺemaƚiເal 0lɣmρiad Asiaп Ρaເifiເ MaƚҺemaƚiເal 0lɣmρiad - • AM - ǤM • • Σ n ê sỹ c uy l ѵi¸ƚ ƚ-ƚ ເõa sɣmmeƚгiເ Têпǥ èi хὺпǥ, c họsɣm g n c h ọi - sɣm Σ sĩt ao há ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Têпǥ Һ0¡п ѵà, ເɣເ l ѵi¸ƚ ƚ-ƚ ເõa ເɣເliເ - ເɣ ເ AгiƚҺmeƚiເ meaп - Ǥe0meƚгiເ meaп - • m a ; m ; m lƯ lữủ l d i Ă ữ u uá uĐ - Ă ứ Ă A, , ã la; l; l lƯ lữủ l d i Ă ữ Ơ iĂ uĐ Ă - ƚø ເ¡ເ ¿пҺ A, Ь, ເ • Һ a ; Һ ь ; Һເ ¿пҺ A, Ь, ເ - lƯ lữủ l d i Ă ữ a0 uĐ Ă ứ Ă ã : - l Ă kẵ ữ ỏ ởi iá ã : - l Ă kẵ ữ ỏ 0Ôi iá ã a ; ; - l Ă kẵ ữ ỏ ƚi¸ρ Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ • ρ - l пûa ເҺu ѵi ເõa ƚam ǥi¡ເ • S - l di»п ƚ½ເҺ ເõa ƚam ǥi¡ເ n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 50 •ρ dưпǥ a + ь + ເ = 2Г [siп A + siп Ь + siп ເ ] = 8Г ເ0s A B C A ເ0s Ь ເ0s ເ a +ь + ເ A A Ь ເ ƚǥ = 4Г siп ເ0s ເ0s гa = ρƚǥ 2 2 2 = a +ь + ເ Ь Ь ເ A ƚǥ = 4Г siп ເ0s ເ0s гь = ρƚǥ = 2 2 2 a +ь + ເ ເ ເ A Ь ƚǥ = 4Г siп ເ0s ເ0s гເ = ρƚǥ = 2 2 2 K̟Һi â, ¯пǥ ƚҺὺເ г + гa + г ь + гເ = a + ь + ເ Σ A Ь ⇔ 4Г siп siп siп ເ + siп A ເ0s sỹ c ọc Ь 2sĩthạao hhháọi cn2g n c i vạăc n cạt nth vă ăhnọđ ậ n u n i văl ălunậ nđạv n ậ v unậ lu ận n văl lu ậ lu + siп = 8Г ເ0s A B C cos cos ⇔ 2 sin n ເ0s ê uy ເ ເ A ເ A ЬΣ ເ0s ເ0s + siп ເ0s ເ0s 2 2 2 Ь A B C A B C sin sin + sin cos cos 2 2 2 Ь ເ A ເ A Ь A B ເ + siп ເ0s ເ0s + siп ເ0s ເ0s = ເ0s ເ0s ເ0s 2 2 2 2 Σ Σ Σ Σ Ь ເ A Ь ເ ເ Ь A Ь ເ siп ເ0s + siп ເ0s ⇔ siп siп siп + ເ0s ເ0s + ເ0s 2 2 2 2 2 Ь ເ ເ0s ເ0s = ເ0s 2Σ Σ Σ Σ cos − + cos sin + = B C A A B C A B C ເ0s cos cos ⇔ siп 2 2 2 2 A Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 51 ⇔ siп A ເ0s ⇔ siп Ь −ເ Σ + ເ0s A siп Ь+ເ Σ = ເ0s Σ A ເ0s Ь−ເ Ь +ເ + ເ0s 2 A Ь−ເ A A A A A Ь−ເ ເ0s + ເ0s ເ0s − ເ0s siп − ເ0s ເ0s =0 2 2 2 2 Σ Σ Σ Σ A A Ь−ເ A A A ⇔ siп − ເ0s ເ0s − ເ0s siп − ເ0s =0 2 2 2 Σ ΣΣ Σ A A Ь−ເ A ⇔ siп − ເ0s ເ0s − ເ0s =0 2 2 A = ເ0s A siп B − C = cos A cos 2 ⇔ Ѵªɣ ∆AЬЬ ເ ѵпǥ 3.2 Σ ƚǥ A n − − B =A ⇔ ເ=A yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu ⇔ C Σ = A = π/2 C = π/2 Ь = π/2 ê dÔ am iĂ Ơ i 0Ă 3.6 0AЬເ ເâ a3(ь2 − ເ2) + ь3(ເ2 − a2) + 3(a2 2) = mi 0A Ơ Lίi ǥi£i = a3(ь2 − ເ2) + ь3(ເ2 − a2) + ເ3(a2 − ь2) = a3(ь2 −Σເ2) − a2(ь3 − ເ3) + ь2ເ2(ь − ເ) Σ = (b − c) a3(b + c) − a2(b2 + bc + c2) + b2c2 = (Σь − ເ)(a − ь)(a − Σເ)(aь + ьເ + ເa) a − c =0 c −ь= ⇔ь − a= Số hóa trung tâm học liệu ⇔ http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 52 a=ь ь = aເ ເ= ⇔ 0AЬເ ເ¥п n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 53 Ь i ƚ0¡п 3.7 ເҺ0 0AЬເ ເâ Һເ Һ a Һa Һь + + + + = Һь Һເ Һ ь Һເ Һa Һa Һ ь Һ ເ ເҺὺпǥ miпҺ 0A Ơ Li iÊi iá ời a Һь Һເ Һ ь Һເ Һa + + = + + Һ ь Һເ Һa Һa Һ ь Һເ ⇔ ь a + ເ ь + a ເ = a ь + ь ເ + ເ a ⇔ ь2 ເ + ເ2 a + a2 ь = a2 ເ + ь2 a + ເ2 ь ⇔ ь2(ເ − a) + ເa(ເsỹ −c a) ên − ь(ເ2 − a2) = uy ạc họ cng ĩth ao háọi s n c ih vạăc n cạt nth vă ăhnọđ ậ n u n i văl ălunậ nđạv n ậ v unậ lu ận n văl lu ậ lu ⇔ (ເ − a)(ь − ເ)(ь − a) = Σ ⇔ a−ь=0 ь −ເ = ⇔ ເ − a =0 Σ a=ь ь=ເ ເ=a ⇔ 0AЬເ ເ¥п Ь i ƚ0¡п 3.8 ເҺ0 0AЬເ ເâ A a siп = √ 2 mi 0A Ơ Li iÊi Ta õ Σ Σ + ເ2 − a2 A − ເ0s A ь a2 − (ь − ເ)2 siп2 = = = 1− 2 2ьເ 4ьເ D0 â, ¯пǥ ƚҺὺເ Số hóa trung tâm học lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 54 A a siп = √ 2 ьເ ⇔ siп A = a2 4ьເ ⇔ a2 − (ь − ເ)2 4ьເ = a2 4ьເ ⇔ a2 − (ь − ເ)2 = a2 ⇔ ь = ເ ⇔ 0AЬເ ເ¥п Ь i ƚ0¡п 3.9 ເҺ0 0AЬເ õ = mi 0A Ơ Li ǥi£i S S 4ггເ = =4 =4 D0 â ρ ρ−ເ ρ(ρ − a)(ρ − ь)(ρ − ເ) ρ(ρ − ເ) n = 4(ρ − a)(ρ − ь) yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu ь + ເ −aເ + a −ь 2 = ເ2 − (a − ь)2 4ггເ = ເ2 ⇔ ເ2 − (a − ь)2 = a = ê 0A Ơ i ƚ0¡п 3.10 ເҺ0 0AЬເ ເâ + ເ0s Ь siп Ь 2a + ເ √ = 4a2 − ເ2 mi 0A Ơ Li iÊi Soỏ hoựa bụỷi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 55 + ເ0s Ь siп Ь 2a + ເ (1 + ເ0s Ь)2 (2a + ເ)2 =√ ⇔ = 4a2 − ເ2 4a2 − ເ2 siп2Ь (1 + ເ0s Ь)2 (2a + ເ)2 ⇔ = − ເ0s2Ь (2a + ເ)(2a − ເ) + ເ0s Ь = 2a + ເ − ເ0s Ь 2a − ເ + ເ0s Ь = 2Г [2 siп A + siп ເ ] ⇔ − ເ0s Ь 2Г [2 siп A − siп ເ] ⇔ ⇔ ⇔ + ເ0s Ь (1 + ເ0s Ь) + (1 − ເ0s Ь) + ເ0s Ь = = siп A + siп ເ siп A siп A + siп ເ (2 siп A + siп ເ ) + (2 siп A − siп ເ ) ⇔ siп A [1 + ເ0s Ь] = siп A + siп ເ n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu ⇔ siп(A + Ь) + siп(A − Ь) = siп ເ ⇔ siп(A − Ь) = A = ê 0A Ơ i ƚ0¡п 3.11 ເҺ0 0AЬເ ເâ Ь A = ρƚǥ (ρ − a) ເ0ƚ 2 ເҺὺпǥ miпҺ г¬пǥ 0AЬເ ເ¥п Lίi ǥi£i Ь A A Ь ρ −a = ρƚǥ = ƚǥ ƚǥ ⇔ ρ (ρ − a) ເ0ƚ 2 2 Ta ເâ ρ −a ρ ь + ເ −a 2Г [siп Ь + siп ເ − siп A] 2Г = ь + ເ +a [siп Ь + siп ເ + siп A] Ь+ເ Ь −ເ A A siп ເ0s − siп ເ0s 2ເ Ь2+ ເ Ь− A A2 = siп ເ0s + siп ເ0s 2 2 = Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 56 ເ0s = A Σ ເ0s Ь−ເ − ເ0s Ь+ເ Σ 2 2Σ Ь +ເΣ Ь − ເ A ເ0s + ເ0s ເ0s 2 B ເ siп siп B C = ƚǥ ƚǥ = Ь ເ 2 ເ0s ເ0s 2 D0 â, ¯пǥ ƚҺὺເ A Ь Ь ເ A Ь ເ A ρ −a = ƚǥ ƚǥ ⇔ tg tg = tg tg ⇔ tg = tg ⇔ C = p 2 2 2 2 A Ѵªɣ 0AЬເ Ơ 3.3 ê dÔ am iĂ Ãu ờn i ƚ0¡п 3.12 ເҺ0 0AЬເ ເâ гa = 3гc sỹѵ c guyma = 3г ເҺὺпǥ miпҺ г¬пǥ ọ h cn ĩth o ọi ns ca ạtihhá c ă 0AЬເ ·u vạ n c nth ă ọđ v hn unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Lίi ǥi£i D0 A = ρƚǥ гa Tø г = (ρ − a)ƚǥ A п¶п гa = 3г ⇔ ρ = 3(ρ − a) ⇔ ь + ເ = 2a ma = 3г ⇔ ma2 = 9г2 9S2 9ρ(ρ − a)(ρ − ь)(ρ − ເ) ⇔ ma = ρ2 ρ2 = 2ь2 + 2ເ2 − a2 9(ρ − a)(ρ − ь)(ρ − ເ) = ⇔ ρ 9(ь + ເ − a)(ເ + a − ь)(a + ь − ເ) = Σ 4(a + ь + ເ) Σ 9(2a − a) a2 − (ь − ເ)2 2 ⇔ 2ь + 2ເ − a = a + 2aΣ Σ ⇔ 2ь2 + 2ເ2 − a2 = a2 − (ь − ເ)2 ⇔ 5ь2 + 5ເ2 − 6ьເ = 4a2 = (ь + ເ)2 ⇔ 4(ь − ເ)2 = ⇔ ь = ເ (2) Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ (1) 57 Tø (1) ѵ (2) suɣ гa a = ь = ເ Ѵªɣ 0AЬເ ·u Ь i ƚ0¡п 3.13 ເҺ0 0AЬເ ເâ siп Ь siп ເ = 3 a2 = a − ь − ເ a − ь −ເ ເҺὺпǥ miпҺ г¬пǥ 0AЬເ ·u Lίi ǥi£i a2 a − ь3 − ເ3 ⇔ a2 [a − ь − ເ] = a3 = a −ь − ເ − ь3 − ເ3 ⇔ a2(ь + ເ) = ь3 + ເ3 Σ ⇔ a2(ь + ເ) = (ь + ເ) ь2 + ເ2 − ьເ Σ ⇔ a = ь2 + ເ2 − ьເ ⇔ ьເ = ь2 + ເ2 − a ên sỹ c guy c ọ h cn ĩth o ọi ns ca ạtihhá c ă vạ n c nth vă hnọđ unậ ận ạviă l ă v ălun nđ ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu = ь + ເ −a 2ьເ 2ьເ ⇔ = ເ0s A ⇔ A = π/3 ⇔ siп Ь siп ເ = ьເ (1) ⇔ [ເ0s(Ь − ເ ) − ເ0s(Ь + ເ)] = ⇔ ເ0s(Ь − ເ) + ເ0s A = ⇔ ເ0s(Ь − ເ ) = ⇔ Ь = ເ (2) Tø (1) ѵ (2) suɣ гa a = ь = ເ Ѵªɣ 0AЬເ ·u Ь i ƚ0¡п 3.14 ເҺ0 0AЬເ ເâ 2(ρ2 − г2 − 4Гг) = aь + ьເ + ເa ເҺὺпǥ miпҺ г¬пǥ 0AЬເ ·u Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 58 Lίi ǥi£i 2(ρ − г S2 aьເ S − 4Гг) = 2ρ − −8 ρ2 4S ρ 2aьເ 2ρ(ρ − a)(ρ − ь)(ρ − ເ) = 2ρ − − p p (ρ − a)(ρ2− ь)(ρ − ເ) + aьເ = 2ρ2− ρ ρ3 − (a + ь + ເ)ρ2 + (aь + ьເ + ເa)ρ − aьເ + aьເ = 2ρ2 − ρ = 2(a + ь + ເ)ρ − 2(aь + ьເ + ເa) = (a + ь + ເ)2 − 2(aь + ьເ + ເa) = a2 + ь2 + ເ2 D0 õ  ữ ữ ợi a2 + ь2 + ເ2 = aь + ьເ + ເa Σ 1Σ 2 ⇔ + + ເ − (aь + ьເ + ເa) = (a − ь) + (ь − ເ) + (ເ − a) = ⇔ a = ь = ເ a2 ь2 Ѵªɣ 0AЬເ ·u n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu a Ь i ƚ0¡п 3.15 ເҺ0 0AЬເ ເâ a ь+ເ= 2+ Һ √ ເҺὺпǥ miпҺ г¬пǥ 0AЬເ ·u Lίi ǥi£i Ta ເâ ь+ເ = Һa a + √ √ a ⇔ ь + ເ = + (ь siп ເ) 2 ⇔ 2Г [siп Ь + siп ເ ] = Г siп A + 2Г siп Ь siп ເ √ √ √ ⇔ siп Ь + siп ເ = 12siп A + siп Ь siп ເ = 2siп(Ь √ + ເ ) + siп Ь siп ເ ⇔ siп ЬΣ+ siп ເ = [siп Ь ເ0sເΣ+ siп ເ ເ0s Σ Ь] + siп Ь siп ເ Σ √ √ 3 ⇔ siп Ь − ເ0sເ − + siп ເ + siп ເ − ເ0sЬ − + siп Ь = 2 2 Σ π ΣΣ Σ π ΣΣ ⇔ siп Ь − ເ0s − ເ + siп ເ − ເ0s −Ь = 3 π ເ0s ເ −=1 ⇔ ⇔ ເ = π/3 Ь Σ Σ π = π/3 ເ0s −Ь = Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 59 Ѵªɣ 0AЬເ ·u Ь i ƚ0¡п 3.16 ເҺ0 0AЬເ ເâ (a + ь)(ь + ເ)(ເ + a) 4aьເ Г = г ເҺὺпǥ miпҺ г¬пǥ 0AЬເ ·u Lίi ǥi£i Ta ເâ A г = 4Г siп п¶п Г = г siп siп A siп Ь Ь siп ເ siп ເ •ρ dưпǥ (a + ь)(ь + ເ)(ເ + a) siпênЬ)(siп Ь + siп ເ)(siп ເ + siп A) 4.8Г3 = 8Г (siп Ac + sỹ c uy họ cng 4aьເ ĩth ao háọi siп A siп Ь siп ເ s n c ih vạăc ăn ọđcạt v ăh+ n ເ A+Ь A − Ь vălunậntnhậnЬ Ь−ເ ເ+A ເ−A ạvi đ n u l ă siп ເ0s ậnsiп ເ0s siп ເ0s v ălunậ lu ận n v lu ậ 2 2Σ Σ 2 Σ lu = ເ A Ь Ь ເ A siп ເ0s siп ເ0s siп ເ0s 2 2 2 ເ0s = A−Ь Ь−ເ ເ−A ເ0s ເ0s 2 A Ь ເ siп siп siп 2 Tø â, suɣ гa ¯пǥ ƚҺὺເ ¢ ເҺ0 ữ ữ ợi 0s A 0s ເ0s ເ0s ເ −A A − Ь = ເ0s Ь − ເ 2 =1 = ເ0s ເ−A =1 ⇔ A = Ь = ເ Ѵªɣ 0AЬເ ·u Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 60 Ь i ƚ0¡п 3.17 ເҺ0 0AЬເ ເâ √ S= (a + ь2 + ເ2) 12 ເҺὺпǥ miпҺ г¬пǥ 0AЬເ ·u Lίi ǥi£i √ S = ρ(ρ − a)(ρ − ь)(ρ − ເ) Σ Σ (ρ − a) + (ρ − ь) + (ρ − ເ) 3 ≤ ρ √ Σ3 ρ ρ√2 = (a + ь + ເ)2 = = ρ 3 36 ≤ √ (12 √6 + 12 + 12)(a2 +n ь2 + ເ2) yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ 2 vạăcn n c 2đcạtih nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu (a + ь + ເ ) 12 D§u "=" х£ɣ гa k̟Һi ѵ ເҺ¿ k̟Һi 0AЬເ ·u √ 3 Ь i ƚ0¡п 3.18 ເҺ0 0AЬເ ເâ S = Гг ເҺὺпǥ miпҺ г¬пǥ 0AЬເ = ·u Lίi ǥi£i √ 3 S= = √ 3 Гг ⇔ ρг Гг √ ⇔ a + ь + ເ = 3Г √ ⇔ 2Г [siп A + siп Ь + siп ເ ] = 3Г ⇔ siп A + siп Ь + siп ເ = Ta ເâ Số hóa trung tâm học liệu √ 3 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 61 siп A + siп Ь + siп ເ Σ √ √ Σ Σ siп Ь √ Σ siп A 3 + siп Ь siп A + √ ເ0s Ь + √ ເ0s A =√ 2 3 Σ Σ ΣΣ 3 sin ≤ √ A+ + sin B + 4 Σ ΣΣ √ Σ 2 siп A + ເ0s2Ь + siп Ь + ເ0s2A + 3 √ 3 = D§u "=" х£ɣ гa ⇔ A = Ь = ເ ⇔ 0AЬເ ·u n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Số hóa trung taõm hoùc lieọu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 62 lử ã Đ ƚҺὺເ AM - ǤM ເҺ0 a1, a2, , aп l ເ¡ເ sè ƚҺüເ k̟Һỉпǥ ¥m , k̟Һi â ƚa ເâ a1 + a2 + + aп √ ≥ п a1 a2 aп п D§u = х£ɣ гa ⇔ a1 = a2 = = a ã Đ au - Swaz lằ ợi d số ỹ þ a1, a2, , aп ѵn ь1, ь2, , ьп, ƚa lп ເâ ь§ƚ ¯пǥ ê sỹ c uy c họ+ gь )n ≥ (a1ь1 + a2ь2 + + a пьп)2 ƚҺὺເ (a12 + a22 + + a2 n)(ь2 1+ ь2 2+ĩthạ n c i s ao háọ ăcn n c đcạtih v ă hnọ (a1, a2, , aп) ѵ (ь1, ь2, , ьп) l Һai ьë ƚ¿ D§u = х£ɣ гa k̟Һi ѵ ເҺ¿unậnthkn̟ vҺi viă văl ălunậ nđạ ận n v vălunậ u l n lu lu ã Đ ƚҺὺເ SເҺuг Ѵỵi a, ь, ເ ≥ ѵ k̟ l số ỹ Đ k ẳ a luổ õ ak(a − ь)(a − ເ) + ьk̟(ь − a)(ь − ເ) + ເk̟(ເ − a)(ເ − ь) ≥ D§u = х£ɣ гa ⇔ a = ь = ເ Һ0°ເ a = ь, ເ = ѵ ເ¡ເ Һ0¡п ѵà Soá hoựa bụỷi trung taõm hoùc lieọu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 63 Ká luê Luê ô Đ Ôi số am iĂ ẳ mở số kiá Ê Ã Ă ằ Ôi số ừa Ă áu ố ả ƚг0пǥ ƚam ǥi¡ເ, ເ¡ເ ¯пǥ ƚҺὺເ ѵ ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ liả qua số d i am ǥi¡ເ ƚг0пǥ â ເâ пҺi·u Һ» ƚҺὺເ l ເ¡ເ k̟¸ƚ quÊ mợi õ ỵ ắa mợi u ữủ ôm Ư Ơ Tiá e0, ữa a mở số Ă Ơ dỹ Ă Đ Ôi số mợi ƚam ǥi¡ເ Х²ƚ mëƚ sè ὺпǥ döпǥ ѵ ь i 0Ă ỹyờ ê dÔ am iĂ n s c u ạc họ cng ĩs th ao háọi n c ih vạăc n cạt nth vă ăhnọđ ậ n u n i văl ălunậ nđạv n ậ v unậ lu ận n văl lu ậ lu Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 64 T i li»u ƚҺam kÊ0 [1] ụ ẳ ỏa, Đ ẳ ồ, iĂ0 dử, 2006 [2] uạ ụ Lữ (ừ iả), Mëƚ sè ь i ǥi£пǥ ѵ· ເ¡ເ ь i ƚ0¡п am iĂ, Ôi Quố ia ởi, 2007 [3] uạ ô Mêu, Đ - lẵ Ă dử, iĂ0 Dử, 2006 [4] uạ ô Mêu (ừ iả), uả à lồ lữủ iĂ ѵ ¡ρ n döпǥ, ПХЬ Ǥi¡0 Döເ, 2009.ạc sỹhọc cnguyê h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu [5] m Ѵ«п ПҺ¿, Ь i ǥi£пǥ mëƚ sè ὺпǥ dưпǥ ѵ пҺ a ƚҺὺເ - ເҺi lơɣ ƚҺøa Һ¼пҺ iả u 0Ă s Đ, 2012 [6] TÔ Du ữủ, ữ ẳ ê a Ă ằ ƚҺὺເ ƚг0пǥ ƚam ǥi¡ເ, ПХЬ Ǥi¡0 Dưເ, 2006 [7] Tг¦п ữ (ừ iả), Đ Ă kẳ i 0lmi 0Ă ồ, Ôi Quố ia ởi, 2010 [8] TƯ ữ, ằ lữủ iĂ, ПХЬ Һ Пëi, 2002 Số hóa trung tâm học lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/