Phương pháp lượng giác trong bất đẳng thức và các bài toán cực trị

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THU PHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC TRONG BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC THÁI NGUN - NĂM 2013 Số hóa Trung tâm Học liệu Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THU PHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC TRONG BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số 60.46.01.13 Người hướng dẫn khoa học GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU THÁI NGUYÊN - NĂM 2013 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Mục lục Mở đầu Lời cảm ơn Một số đẳng thức dùng phương pháp lượng giác hóa 1.1 Các hàm lượng giác dùng đặt ẩn phụ 1.2 Một số đồng thức lượng giác tam giác 1.3 Các hệ thức lượng giác để giải phương trình bậc hai bậc ba Phương pháp lượng giác hóa ước lượng nghiệm phương trình bất phương trình 10 2.1 Phương pháp lượng giác hóa ước lượng nghiệm phương trình 10 2.2 Xây dựng phương trình đại số dựa vào hệ thức lượng giác 15 2.3 Sử dụng lượng giác để khảo sát bất phương trình 24 Bất đẳng thức đại số toán cực trị giải biến đổi lượng giác 28 3.1 Bất đẳng thức đại số giải biến đổi lượng giác 29 3.2 Sử dụng lượng giác hóa tốn cực trị 42 Kết luận 58 Tài liệu tham khảo 59 i Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Mở đầu Trong chương trình Tốn học phổ thơng, chun đề lượng giác đóng vai trị công cụ đắc lực nhằm giải hiệu nhiều tốn giải tích, đại số hình học Trong thực tiễn, lượng giác đặc trưng lượng giác chuyên đề cần thiết việc bồi dưỡng học sinh giỏi Toán bậc Trung học phổ thơng, đồng thời ứng dụng hấp dẫn nhiều đối tượng học sinh giáo viên Mục tiêu luận văn “Phương pháp lượng giác bất đẳng thức tốn cực trị” nhằm trình bày vấn đề áp dụng phương pháp lượng giác hoá để giải số toán bất đẳng thức toán cực trị nhằm tạo đề tài phù hợp cho việc giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi cấp trung học phổ thông Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo chương Chương trình bày mối liên hệ số đẳng thức đại số lượng giác để sử dụng lượng giác hoá phần sau Chương trình bày số phương trình bất phương trình đại số giải phương pháp lượng giác Chương trình bày số ứng dụng lượng giác bất đẳng thức toán cực trị đại số Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Lời cảm ơn Trong suốt q trình làm luận văn, nhận hướng dẫn giúp đỡ tận tình GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Tôi xin trân trọng cảm ơn ban lãnh đạo khoa Toán trường Đại học Khoa học, khoa sau đại học - Đại học Thái Nguyên, thầy, giảng dạy lớp cao học khố (2011-2013) trang bị kiến thức, tạo điều kiện cho thời gian học tập Tôi xin cảm ơn gia đình đồng nghiệp ln động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho học tập nghiên cứu Xin chân trọng cảm ơn! Hải Phòng, tháng năm 2013 Người viết Luận văn Nguyễn Thu Phương Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Chương Một số đẳng thức dùng phương pháp lượng giác hóa 1.1 Các hàm lượng giác dùng đặt ẩn phụ Khi giải số dạng toán đại số, nhiều ta gặp phải tốn khó giải kĩ thuật biến đổi phức tạp Trong số có nhiều lớp tốn chuyển dạng tốn lượng giác cho cách giải đơn giản dễ dàng Việc chuyển từ toán đại số hệ thức, hay phương trình, bất phương trình, hệ phương trình lượng giác thường gọi phương pháp “lượng giác hoá” Nhằm lượng giác hoá toán đại số sơ cấp, ta sử dụng nhận xét sau: Nếu −1 ≤ x ≤ tồn số α β với − π π ≤ α ≤ , ≤ β ≤ π cho 2 sin α = x cos β = x Nếu ≤ x ≤ tồn số α β với ≤ α ≤ π π ,0 ≤ β ≤ cho 2 sin α = x cos β = x π π cho tan α = x Nếu số thực x y thoả mãn hệ thức x2 + y = tồn số α với Với số thực x tồn số α với − < α < ≤ α ≤ 2π cho x = cos α y = sin α b−a b+a cos t + với ≤ t ≤ π 2 b−a b+a π π π x= sin t + với − ≤ t ≤ x = (b − a) cos2 t + a với ≤ t ≤ 2 2 x = tan t với arctan a ≤ t ≤ arctan b Nếu x ∈ [a; b] ta đặt : x = Ngồi cịn có số dấu hiệu nhận biết tốn giải Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ phương pháp lượng giác hố • Nếu biến x tham gia tốn thoả mãn điều kiện |x| ≤ a (a > 0), h π πi ta lượng giác hố cách đặt x = a sin α với α ∈ − ; đặt 2 x = a cos α với α ∈ [0; π] • Nếu hai biến x, y tham gia tốn có ràng buộc a2 x2 + b2 y = c2 với c sin α c cos α a, b, c > 0; ta lượng giác hố cách đặt x = ;y = a b với α ∈ [0; 2π] • Trong số tốn, có xuất biểu thức tương tự với công thức lượng giác đó, ta sử dụng công thức lượng giác tương ứng để đặt ẩn phụ Chẳng hạn : +) Biểu thức  π π với t ∈ − ; √ x2 + x2 + tương tự công thức + tan2 t = cos2 t 2 +) Biểu thức 4x3 − 3x tương tự công thức cos3 t − cos t = cos 3t +) Biểu thức 2x2 − tương tự công thức cos2 t − = cos 2t 2x tan t tương tự với công thức tan 2t = − x2 − tan2 t x+y tan α + tan β +) Biểu thức tương tự công thức tan(α + β) = − xy − tan α tan β +) Biểu thức 1.2 Một số đồng thức lượng giác tam giác Tiếp theo, ta nhắc lại số đẳng thức lượng giác quen biết tam giác chương trình tốn phổ thơng để áp dụng chứng minh số dạng bất đẳng thức đại số toán cực trị Chương Tính chất 1.1 Với tam giác ABC ta có cos A + cos B + cos C = + sin A B C sin sin 2 (1.1) Tính chất 1.2 Với tam giác ABC ta có sin2 A + sin2 B + sin2 C = + cos A cos B cos C Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ (1.2) Tính chất 1.3 Với tam giác ABC ta có tan A B B C C A tan + tan tan + tan tan = 2 2 2 (1.3) Tính chất 1.4 Với tam giác ABC , ta có tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C (1.4) Tính chất 1.5 Với tam giác ABC , ta có cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A = (1.5) Tính chất 1.6 Với tam giác ABC ta có cot 1.3 A B C A B C + cot + cot = cot cot cot 2 2 2 (1.6) Các hệ thức lượng giác để giải phương trình bậc hai bậc ba Nhờ cách biểu diễn hàm lượng giác qua số phức (chỉ dùng để biến đổi hình thức) ta áp dụng để giải số dạng tốn Đặt a = et , ta có e3t + e−3t = a + 2  a  e3t − e−3t i sin 3it = i sin i(3t) = = a − 2 a Lại có cos(3it) = cos it − cos it; sin(3it) = sin it − 4sin3 it,  cos 3it = cos i(3t) =  nên i sin(3it) = 3i sin it − 4isin3 it = 3i sin it + 4(i sin it)3 Từ suy đẳng thức   1 a + a3 = 4p − 3p, a − a   = 4q + 3q, 1 1 với p = a+ ;q= a− a a     Tiếp theo, ta viết phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0, a 6= Soá hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ (1) dạng 2y − = m để sử dụng hệ thức cos 2t = cos2 t − để giải biện luận phương trình bậc hai Tương tự, phương trình bậc ba ax3 + bx2 + cx + d = 0, a 6= b ta thu phương trình dạng y + py + q = 3a qp Khi p > ta đặt ẩn phụ y = t, ta thu phương trình 4t3 + 3t = m q3 p Khi p < ta đặt ẩn phụ y = − t, ta thu phương trình 4t3 − 3t = m cách đặt x = y − Các phương trình giải đẳng thức đại số lượng giác tương ứng Ví dụ 1.1 Giải phương trình sau với nghiệm thực a) 4x3 − 3x = m với |m| ≤ 1, b) 4x3 − 3x = m với |m| > Bài giải a) Vì |m| ≤ 1, nên ta đặt m = cos α = cos(α ± 2π) với α ∈ [0; π] Do cos α = cos3 α α α α − cos nên 4x3 − 3x = cos3 − cos 3 3 Vậy phương trình cho có ba nghiệm là: α α + 2π α − 2π x1 = cos ; x2 = cos ; x3 = cos 3 3 b) Vì |m| > 1, nên ta đặt m = a + a   √ với a3 = m ± m2 − Khi 4x3 − 3x = a + a   Theo cơng thức (1) ta suy phương trình cho có nghiệm thực 1 x0 = a+ a   = q m+ p q m2 − + m− p  m2 − Ta chứng minh x0 nghiệm thực phương trình Thật vậy, x0 nghiệm phương trình 4x3 − 3x = m, nên ta có 4x30 − 3x0 = m
Suy 4x3 − 3x = 4x30 − 3x0 ⇔ x3 − x30 = 3(x − x0 ) Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ ⇔ (x − x0 )(4x2 − 4xx0 + 4x20 − 3) = Vì 4x2 − 4xx0 + 4x20 − = có ∆0 = 12 − 12x20 < (do |x0 | > 1) nên phương trình khơng có nghiệm thực Vậy phương trình 4x3 − 3x = m có nghiệm thực q  q p p x0 = m+ m2 − + m− m2 − Ví dụ 1.2 Giải biện luận phương trình sau theo m: 4x3 + 3x = m Bài giải Đặt m = a − a   √ với a3 = m ± m2 + Suy 4x3 + 3x = a − a   Theo công thức (1) suy phương trình có nghiệm q   q p p 3 1 x0 = a− a = m2 + + m+ m−  m2 + Ta chứng minh x0 nghiệm phương trình Thật vậy, xét hàm số y = 4x3 + 3x Ta có y = 12x2 + > 0, ∀x ∈ R Vì y hàm số đồng biến nên x0 nghiệm phương trình Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ a2 − + b − ≤ (28) ⇔ ab 1 Vì |a| ≥ 1; |b| ≥ nên ta đặt a = ;b = cos α cos β h π  h 3π  với α, β ∈ 0; ∪ π; 2 Khi r √ a2 − + ab √ b2 − = r 1 −1+ −1 cos α cos2 β 1 cos α cos β tan α + tan β = cos α cos β(tan α + tan β) = sin(α + β) 1 cos α cos β √ √ a2 − + b − = |sin(α + β)| ≤ 1, ta có điều phải chứng minh Vậy ab = Bài toán 3.11 Chứng minh rằng: q q p 1+ − x2 (1 + x) − q p √ ≤ 2 + − 2x2  (1 − x) Bài giải Điều kiện có nghĩa |x| ≤ Đặt x = cos α với α ∈ [0; π] Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng q q √ + sin α (1 + cos α) − (1 − cos α)  √ √ ≤ 2 + sin α   √ √  α α α 3α ⇔ 2 cos + sin cos − sin ≤ 2(2 + sin α) 2 √ 2 √ ⇔ cos α(2 + sin α) ≤ 2(2 + sin α) ⇔ (2 + sin α)(cos α − 1) ≤ 0(luôn với α ∈ [0, π] ) Bài tốn chứng minh 37 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/