Về một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng

„I HÅC € NŽNG TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M -* - INH THANH HÇNG V— MËT SÈ PH×ÌNG PHP CHÙNG MINH B‡T NG THÙC V€ ÙNG DƯNG LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC   n®ng - 2020 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! 16990151578031000000 „I HÅC € NŽNG TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M -* - INH THANH HÇNG V— MËT SÈ PH×ÌNG PHP CHÙNG MINH B‡T NG THÙC V€ ÙNG DƯNG LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC CHUY–N NG€NH: PH×ÌNG PHP TON Sè CP M Sẩ: 8.46.01.13 Ngữới hữợng dăn khoa håc: TS TR†N ÙC TH€NH   n®ng - 2020 LÍI CAM OAN Tỉi xin cam oan ¥y l  cỉng trẳnh nghiản cựu cừa riảng tổi CĂc số liằu, kát quÊ nảu luên vôn l trung thỹc v chữa tứng ữủc cổng bố bĐt kẳ cổng trẳnh no khĂc  nđng, thĂng 05 nôm 2020 TĂc giÊ inh Thanh Hỗng LI CM èN Trong quĂ trẳnh hồc têp v nghiản cựu à ti khoa hồc ny tĂc giÊ by tọ lỏng cÊm ỡn sƠu sưc án ThƯy giĂo TS TrƯn ực Thnh, ngữới  hữợng dăn ch bÊo tên tẳnh quĂ trẳnh hồc têp v nghiản cựu khoa hồc Bản cÔnh õ, tĂc giÊ xin cÊm ỡn chƠn thnh án Trữớng Ôi hồc sữ phÔm-Ôi hồc  Nđng, Ôi hồc QuÊng Bẳnh  tÔo iÃu kiằn m lợp ThÔc sắ phữỡng phĂp toĂn sỡ cĐp tÔi QuÊng Bẳnh, xin cÊm ỡn gia ẳnh, bÔn b, ỗng nghiằp  cÊm thổng, ừng hở v giúp ù st thíi gian tỉi tham gia håc Cao håc v viát luên vôn Tuy nhiản iÃu kiằn nông lỹc bÊn thƠn cỏn hÔn chá nản à ti nghiản cùu khoa håc n y ch­c ch­n khæng thº tr¡nh khäi nhỳng thiáu sõt TĂc giÊ kẵnh mong cĂc ThƯy cổ giĂo v bÔn ồc cõ nhỳng ỵ kián gõp ỵ  luên vôn hon thiằn hỡn  Nđng, thĂng 05 nôm 2020 TĂc giÊ inh Thanh Hỗng Mửc lưc Líi cam oan Líi c£m ìn Mð Ưu Mởt số phữỡng phĂp chựng minh bĐt ¯ng thùc 1.1 1.2 Mët sè khĂi niằm v tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa bĐt ng thùc ( [7]) Mët sè ph÷ìng ph¡p chùng minh b§t ¯ng thùc Ùng dưng cõa b§t ¯ng thùc 2.1 2.2 2.3 46 Sỷ dửng bĐt ng thực  tẳm giĂ tr lợn nhĐt, nhọ nhĐt ( [7]) 46 Sỷ dửng bĐt ng thực  giÊi phữỡng trẳnh v hằ phữỡng tr¼nh ( [5], [8]) 52 Sû dưng b§t ¯ng thùc  giÊi phữỡng trẳnh nghiằm nguyản ( [5], [8]) 58 Kát luên 64 Ti liằu tham khÊo 65 Mé †U LÞ DO CHÅN — T€I To¡n håc l  mởt mổn khoa hồc tỹ nhiản, õng vai trỏ rĐt quan trồng cĂc lắnh vỹc nghiản cựu khoa hồc v  cuëc sèng h ng ng y Ð bªc håc phê thỉng, to¡n håc ÷đc coi l  mët mỉn håc cì b£n, l  n·n t£ng º c¡c em håc sinh ph¡t huy nông lỹc bÊn thƠn, l tiÃn à  cĂc em håc tèt c¡c bë mỉn khoa håc kh¡c B§t ¯ng thùc l  mët chõ · khâ v  công l  dÔng toĂn rĐt quan trồng chữỡng trẳnh phờ thổng CĂc kát quÊ và nởi dung ny  ữủc trẳnh by rĐt hon chnh, Ưy ừ nhỳng ti liằu nữợc v Quốc tá Mt khĂc, cĂc kẳ thi tuyn sinh Ôi hồc-Cao ng, c biằt l cĂc kẳ thi Hồc sinh giọi, ta văn hay gp cĂc dÔng bi toĂn và bĐt ng thực  giúp hồc sinh phờ thổng tẳm hiu cĂc phữỡng phĂp chựng minh b§t ¯ng thùc v  c¡c ùng dưng cõa b§t ¯ng thực mởt số bi toĂn khĂc nhau, ỗng thới nưm ữủc cĂc kắ thuêt chựng minh cĂc dÔng bĐt ¯ng thùc cư thº v  h» thèng chóng theo mët logic nhĐt nh l nhiằm vử m à ti luên vôn ny à cêp án Vợi mửc ẵch nghiản cựu cĂc phữỡng phĂp chựng minh bĐt ng thực v ựng dửng cụng nhữ dữợi sỹ nh hữợng cừa thƯy giĂo TrƯn ực Thnh, chúng tổi  quyát nh chồn nghiản cùu · t i:  V· mët sè ph÷ìng ph¡p chùng minh b§t ¯ng thùc v  ùng dưng Chóng tỉi hy vồng tÔo ữủc mởt ti liằu tham khÊo tốt cho nhỳng ngữới quan tƠm án mởt số phữỡng phĂp chùng minh b§t ¯ng thùc v  ùng dưng cõa nâ mët sè b i to¡n phê thỉng MƯC CH NGHIN CU Nghiản cựu nhơm tẳm hiu v lm ró cĂc vĐn à sau: (1) KhĂi niằm, tẵnh chĐt cừa bĐt ng thực (2) Mởt số phữỡng phĂp chùng minh b§t ¯ng thùc (3) Ùng dưng cõa b§t ¯ng thùc mët sè b i to¡n phê thỉng nh÷ giÊi phữỡng trẳnh, hằ phữỡng trẳnh, phữỡng trẳnh nghiằm nguyản hay b i to¡n cüc trà ÈI T×ĐNG V€ PH„M VI NGHIN CU ối tữủng nghiản cựu l cĂc chuyản · v· b§t ¯ng thùc v  c¡c ùng dưng cõa chúng PhÔm vi nghiản cựu l mối liản quan giỳa cĂc ối tữủng trản; cĂc ựng dửng  giÊi mởt sè b i to¡n NHI›M VƯ NGHI–N CÙU Nhi»m vư nghiản cựu l tẳm hiu và bĐt ng thực; cĂc dÔng bi têp ựng dửng PHìèNG PHP NGHIN CU Phữỡng phĂp nghiản cựu lỵ thuyát: ồc ti liằu, phƠn tẵch, so sĂnh, tờng hủp v sỷ dửng cĂc phữỡng ph¡p suy luªn cõa to¡n håc C‡U TRĨC CÕA LUN VN Bố cửc luên vôn gỗm chữỡng: Chữỡng 1: Mởt số phữỡng phĂp chựng minh bĐt ng thực Chữỡng ny trẳnh by mởt số khĂi niằm, tẵnh chĐt cì b£n cõa b§t ¯ng thùc, sau â l  mët số phữỡng phĂp chựng minh bĐt ng thực 1.1 Mởt số khĂi niằm v tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa bĐt ¯ng thùc Mưc n y tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m, tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa bĐt ng thực 1.2 Mởt số phữỡng phĂp chựng minh bĐt ng thực Mửc ny dnh  trẳnh by mởt số phữỡng phĂp chựng minh bĐt ng thực nhữ: phữỡng phĂp sỷ dửng nh nghắa, phữỡng phĂp bián ời tữỡng ữỡng, phữỡng phĂp phÊn chựng, phữỡng phĂp quy nÔp toĂn hồc, phữỡng phĂp tam thực bêc hai, phữỡng phĂp sỷ dửng cĂc bĐt ng thực quen thc nh÷ AM-GM, Cauchy-Schwarz, Bernouli, ph÷ìng ph¡p l÷đng gi¡c hay phữỡng phĂp dỗn bián cĂc vẵ dử khĂ a dÔng  minh hồa cho cĂc phữỡng phĂp õ Chữỡng 2: ng dửng cừa bĐt ng thực Chữỡng ny trẳnh by mởt số ựng dửng cừa bĐt ng thùc º gi£i mët sè b i to¡n v· gi£i ph÷ìng trẳnh; hằ phữỡng trẳnh; phữỡng trẳnh nghiằm nguyản hay bi toĂn cỹc tr 2.1 Dũng bĐt ng thực  tẳm cỹc tr Mửc ny trẳnh by mởt số vẵ dử v· vi»c sû dưng b§t ¯ng thùc º gi£i b i to¡n cüc trà 2.2 Dịng b§t ¯ng thùc º gi£i phữỡng trẳnh, hằ phữỡng trẳnh Mửc ny trẳnh by mởt số vẵ dử và viằc sỷ dửng bĐt ng thực  giÊi phữỡng trẳnh, hằ phữỡng trẳnh 2.3 Dũng bĐt ng thực  giÊi phữỡng trẳnh nghiằm nguyản Mửc ny trẳnh by mởt số vẵ dử và viằc sỷ dửng bĐt ng thực  giÊi phữỡng trẳnh nghiằm nguyản 59 Tr÷íng hđp 2: xy = ⇒ x = 1, y = v  ⇒ + z = 2z Suy z = Tr÷íng hđp 3: xy = ⇒ x = 1, y = v  ⇒ + z = 3z Suy z = (loÔi vẳ z y 1 M°t kh¡c x ≥ y ≥ n¶n ≤ Do â x y 1 1 = + ≤ + ≤ x y y y y Vªy y ≤ Tø â suy ≤ y ≤ Vỵi y = ta câ 1 1 = − = ⇒ x = 12 x 12 Vỵi y = ta câ 1 = − = x 15 Trữớng hủp ny loÔi vẳ khổng cõ số nguyản x no thọa mÂn Vợi y = ta câ 1 1 = − = ⇒ x = x 6 Vêy, phữỡng trẳnh câ c¡c nghi»m l  (4; 12), (12; 4), (6; 6) Tẳm cĂc số tỹ nhiản x cho 2x + 3x = 5x Phữỡng trẳnh  cho tữỡng ữỡng vợi  x  x 2.3.6 Vẵ dử + Náu x = thẳ VT(2.16) = (loÔi) Náu x = thẳ VT(2.16) = (úng) = (2.16) 62  x  x 2 3 Náu x thẳ < , < Do â 5 5  x  x 2 3 + < + = 5 5 Vêy phữỡng trẳnh cõ nghiằm nhĐt l x = 2.3.7 Vẵ dử Tẳm cĂc số nguyản x, y, z thọa mÂn x2 + y + z ≤ xy + 3y + 2z BĐt phữỡng trẳnh  cho x2 + y + z − xy − 3y − 2z + ≤   y   3y 2 ⇔ x − xy + + − 3y + + (z − 2z + 1) ≤ 4     2 y y + − + (z − 1)2 ≤ ⇔ x− 2     y y M  x − + − + (z − 1)2 ≥ 0, ∀x, y ∈ R 2 Suy  2 y y 2 x− + − + (z − 1)2 = 2  y  = x −      x = y ⇔ −1=0 ⇔ y =2      z = z − =    x = C¡c sè x,y,z ph£i t¼m l  y =   z = 2.3.8 Vẵ dử Tẳm cĂc cp số nguyản thọa mÂn q x+ x = y Vợi x0 ta cõ q x+ x=y ⇔x+ √ x = y2 63 ⇔ √ x = y − x > √ (2.17) t x = k (k nguyản dữỡng vẳ x nguyản d÷ìng) Ta câ (2.17) ⇔ k = y − k ⇔ k(k + 1) = y Nh÷ng k < k(k + 1) < (k + 1)2 ⇒ k < y < k + M giỳa k v k+1 (2 số nguyản dữỡng liản tiáp) khổng tỗn tÔi mởt số nguyản dữỡng no cÊ Nản khổng cõ cp số nguyản dữỡng no thọa ( mÂn phữỡng trẳnh Vêy phữỡng trẳnh cõ nghiằm nhĐt l 2.3.9 Vẵ dử x=0 y = Tẳm nghiằm nguyản dữỡng cừa phữỡng trẳnh 1 + + = x y z Khổng mĐt tẵnh tờng quĂt ta gi£ sû x ≥ y ≥ z Ta câ 2= 1 + + ≤ x y z z Do â 2z ≤ M  z nguyản dữỡng vêy z = Thay z = vo phữỡng trẳnh ta ữủc Theo giÊ sỷ x y n¶n 1 + = x y 1 + ≥ x y y ⇒ y ≤ 1= M y nguyản dữỡng nản y=1 hoc y=2 Vợi y=1 thẳ x=0 khổng thọa mÂn Vợi y=2 ta cõ x=2 Vêy (2,2,1) l mởt nghiằm cừa phữỡng trẳnh HoĂn v cĂc số trản ta ữủc cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh l (2,2,1);(2,1,2);(1,2,2) 64 KT LUN Luên vôn  Ôt ữủc cĂc kát quÊ sau Ơy: Trẳnh by ữủc mởt số khĂi niằm, tẵnh chĐt cỡ bÊn, mởt số phữỡng phĂp chựng minh bĐt ng thực, sau â ¡p dưng chóng º gi£i mët sè b i to¡n và giÊi phữỡng trẳnh, hằ phữỡng trẳnh, tẳm giĂ tr lợn nhĐt, giĂ tr nhọ nhĐt Trẳnh by ữủc hằ thống cĂc vẵ dử minh hồa cho cĂc phữỡng ph¡p v  ùng dưng cõa b§t ¯ng thùc T¡c giÊ hy vồng s tiáp tửc nghiản cựu án cĂc ựng dửng cừa bĐt ng thực liản quan án cĂc bi toĂn hẳnh hồc v xĂc suĐt toĂn hồc phê thỉng 65 T i li»u tham kh£o [1] Nguy¹n Cam (2006), Ph÷ìng ph¡p gi£i to¡n l÷đng gi¡c, NXB HQG H Nởi [2] PhÔm Kim Hũng (2006), SĂng tÔo BĐt ¯ng thùc, NXB Tri thùc [3] Phan Huy Kh£i (1996), Tuyn têp cĂc bi toĂn BĐt ng thực têp 1, NXB Gi¡o döc [4] Phan Huy Kh£i (2001), 10000 B i to¡n c§p-B§t ¯ng thùc kinh iºn, NXB H  Nëi [5] Nguyạn Vôn Mêu (1996), Mởt số phữỡng phĂp giÊi phữỡng trẳnh v bĐt phữỡng trẳnh, NXB GiĂo dửc [6] Nguyạn Vôn Mêu (2005), BĐt ng thực nh lỵ v ¡p döng, NXB Gi¡o döc [7] °ng Th nh Nam (2015), KhĂm phĂ tữ K thuêt giÊi bĐt ng thực bi toĂn min-max, NXB Ôi hồc Quốc gia H Nởi [8] Nguyạn Vôn Quỵ, Nguyạn Tián Dụng, Nguyạn Viằt H (1998), Phữỡng phĂp giÊi phữỡng trẳnh, bĐt phữỡng trẳnh, hằ phữỡng trẳnh, NXB  Nđng DAI HOC DA NANG TRlfONG DAI HOC str PRAM , pr;JJ)p So:wv IQD-DHSP CQNG BoA XA HOI CHU NGHiA VIET NAM DQcI,p - T., - Hanh phuc DO.Ndng, tft- (hang H nam JOL!J QUYETDJNH V~vi~c giao d~ tai va trach nhijm huong din lu,n van thac si HffiUTRlfONGTRlfONGDAIHOCslfpHAM Can cir Nghi dinh s6 32/CP 04/4/1994 cua Chinh phu v~ viec l~p D~i h9C Da N~ng; Can cir Thong nr s6 08/20 14/TT -BGDDT 20/3/2014 cua B