ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— LÃ THỊ THANH XUÂN MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ CHO ĐA THỨC NHIỀU BIẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên Năm 2017 Tai ngay!!! Ban co the xoa[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— LÃ THỊ THANH XUÂN MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ CHO ĐA THỨC NHIỀU BIẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2017 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— LÃ THỊ THANH XUÂN MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ CHO ĐA THỨC NHIỀU BIẾN Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học GS.TSKH NGUYỄN QUANG DIỆU Thái Nguyên - Năm 2017 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung luận văn Thạc sĩ chun ngành Tốn giải tích với đề tài: "MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ CHO ĐA THỨC NHIỀU BIẾN" hồn thành nhận thức tơi, khơng trùng lặp với luận văn, luận án cơng trình công bố Thái Nguyên, tháng năm 2017 Người viết Luận văn Lã Thị Thanh Xuân i Lời cảm ơn Qua luận văn này, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy khoa Tốn trường Đại học sư phạm Thái Nguyên nói chung thầy chun ngành Tốn Giải tích nói riêng tạo điều kiện cho em học tập nghiên cứu Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS.TSKH Nguyễn Quang Diệu, người tận tình bảo, hướng dẫn giúp đỡ em suốt trình làm luận văn Em xin cảm ơn gia đình, bạn bè tất người quan tâm, tạo điều kiện, động viên cổ vũ em để em hồn thành nhiệm vụ Mặc dù có nhiều cố gắng, song thời gian trình độ cịn hạn chế nội dung luận văn mẻ nên thân khóa luận khó tránh khỏi thiếu sót Em mong thầy cô, bạn học viên nhận xét, đóng góp ý kiến để luận văn hoàn thiện phát triển Em xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2017 Người viết luận văn Lã Thị Thanh Xuân ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục ii Mở đầu 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Định nghĩa hàm chỉnh hình 1.2 Định nghĩa đa thức Chebyshev 1.2.1 Đa thức Chebyshev loại 1.2.2 Đa thức Chebyshev loại hai Tập lồi, nón lồi, phiếm hàm Minkowski 1.3.1 Tập lồi 1.3.2 Nón lồi 1.3.3 Phiếm hàm Minkowski Bất đẳng thức Chebyshev bất đẳng thức Remez 12 1.3 1.4 iii BÀI TOÁN CỰC TRỊ CHEBYSHEV VÀ BÀI TOÁN CỰC TRỊ REMEZ 19 2.1 Bất đẳng thức Chebyshev cho đa thức nhiều biến 21 2.2 Bất đẳng thức Remez cho đa thức nhiều biến 27 Kết luận chung 41 Tài liệu tham khảo 42 iv Mở đầu Trong giải tích, tốn tối ưu hóa cực trị đa thức biến nhiều biến đóng vai trị quan trọng Chẳng hạn nhờ đa thức mà đạt sai số nhỏ trình xấp xỉ hàm phương pháp nội suy Lagrange Kết tối ưu đa thức biến tìm từ kỷ XIX nhà toán học người Nga P L Chebyshev Định lý ( Bất đẳng thức Chebyshev) Cho p(x) đa thức bậc n, hệ số cao p (x) = xn + a1 xn−1 + + an Khi sup |p (x)| ≥ x∈[−1,1] 2n−1 Hơn dấu xảy p (x) = 21−n Tn (x) , Tn (x) đa thức Chebyshev Bằng cách sử dụng đa thức Chebyshev đưa ước lượng chuẩn đa thức tập compact R Kết quan trọng sau tìm Remez đầu kỉ XX Định lý (Bất đẳng thức Remez) Bất đẳng thức 2+s kpk[−1,1] ≤ Tn 2−s với p ∈ Pn s ∈ (0, 2) thỏa mãn m ({x ∈ [−1, 1] : |p (x)| ≤ 1}) ≥ − s Dấu xảy p (x) = ±Tn ±2x + s 2−s Từ định lý trên, cách tự nhiên nghiên cứu toán sau A Bài toán Chebyshev Ước lượng chuẩn đa thức tập F với điều kiện chuẩn tập K biết trước Cụ thể với F,K ⊂ Rm cho trước ước lượng đại lượng ( ) kpkC(F ) sup : p ∈ Pn , p 6≡ kpkC(K) B Bài toán Remez Ước lượng chuẩn đa thức tập K ⊂ Rm chuẩn tập K với độ đo "đủ lớn" Nghĩa đánh giá đại lượng sau mà < ε < cho trước ( ) kpkC(K) sup : p ∈ Pn , p 6≡ 0; F ⊂ K, ηm (F ) ≥ (1 − ε) ηm (K) kpkC(F ) Lời giải hai toán biết trường hợp biến nhờ hai định lý Nội dung luận văn trình bày lại kết báo “ Some Extremal Problems for Multivariate Polynomials on Convex Bodies”, nhằm giải hai toán nêu Để làm điều chúng tơi chia luận văn thành chương: Chương I: Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày khái niệm hàm chỉnh hình, tập lồi, nón lồi, phiếm hàm Minkowski, bất đẳng thức Chebyshev bất đẳng thức Remez ,các kí hiệu, khái niệm số tính chất Đặc biệt chúng tơi trình bày cách xây dựng tính chất đa thức Chebyshev Đồng thời chúng tơi trình bày bất đẳng thức Chebyshev Remez cho đa thức biến Chương II: Một số toán cực trị đa thức nhiều biến vật thể lồi Đây chương luận văn Trong chương mở rộng bất đẳng thức Chebyshev Remez trường hợp nhiều biến, từ đưa lời giải cho toán Chebyshev toán Remez Thái Nguyên, tháng năm 2017 Người viết Luận văn Lã Thị Thanh Xuân Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Định nghĩa hàm chỉnh hình Định nghĩa 1.1.1 Cho hàm số f xác định miền D ⊂ C Xét giới hạn f (z + ∆z) − f (z) , z, z + ∆z ∈ D ∆z→0 ∆z lim Nếu điểm z giới hạn tồn gọi đạo hàm phức f z, kí hiệu f (z) hay df dz (z) f (z+∆z)−f (z) ∆z ∆z→0 Như f (z) = lim Hàm f có đạo hàm phức z gọi khả vi phức hay C - khả vi z f (z+∆z)−f (z) ∆z ∆z→0 Bởi lim [f (z + ∆z) − f (z)] = lim ∆z→0 = nên f C- khả vi z lim [f (z + ∆z) − f (z)] = ∆z→0 Nói cách khác f liên tục z Cũng hàm biến thực, quy nạp ta viết f (k) = (f (k−1) )0 A + B ≤ 1, x ∈ K, β c, x − tức đa thức (2.15) có |p∗n (x)| ≤ 1, x ∈ K (2.16) Mặt khác, x∗ = (A + B) /2 + γα (B − A) /2 (γ = – ) từ (2.15) ta thu B − A = Tn (α) = Tn (% (x∗ , K)) |p∗n (x∗ )| = Tn γβα c, Đẳng thức với (2.16) ta suy cận Định lý 2.1.4 Chú ý Định lý 2.1.4 trùng với Định lý 2.1.1 F = {x∗ }là đơn 26 điểm Hơn rõ ràng % (F, K) = sup % (x, K) x∈F Định lý 2.1.1 suy trực tiếp từ (17) Nhận xét 2.1.5 a) Khi vật lồi K đối xứng, dải tựa miêu tả (8) với a = −b Từ kết hợp với Bổ đề 2.1.2 suy Kα = αK % (x, K) hàm Minkowski trường hợp đối xứng b) Dễ dàng nhìn thấy Định lý 2.1.1 Định lý 2.1.4 khơng e ∈ conv (K) \K K khơng phải vật lồi: Thật vậy, trường hợp đó, tồn x conv(K) bao lồi K Mặt khác, với α > ta có Kα ⊃ e ∈ Kα với bất conv (K) Kα lồi Kα ⊃ K (α > 1) Điều nghĩa x e, K) = Bởi (2.12) với tập K không lồi kỳα > 1, nghĩa % (x dẫn tới với p ∈ Pn cho |p| ≤ K, ta có |p| ≤ conv(K) Nhưng điều sai mặt tổng quát 2.2 Bất đẳng thức Remez cho đa thức nhiều biến Trong phần tìm hiểu tốn Remez nhiều biến Bài toán bao gồm ước lượng kpkC(K) với p ∈ Pn K ⊂ Rm với điều kiện |p| ≤ tập F ⊂ K thỏa mãn ηm (F ) ≥ (1 − ε) ηm (K) Ta giới thiệu đại lượng tương ứng phương tiện để giải toán trên: cho tập K ⊂ Rm với ηm (K) > 0, đặt ) ( kpkC(K) Φn,m (K, ε) = sup : p ∈ Pn , p 6= 0; F ⊂ K, ηm (F ) ≥ (1 − ε) ηm (K) kpkC(F ) 0