Giải một số dạng bài toán thi đại học, cao đẳng bằng công cụ số phức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM QUỐC HIỆU GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN THI ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG BẰNG CÔNG CỤ SỐ PHỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2013 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM QUỐC HIỆU GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN THI ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG BẰNG CƠNG CỤ SỐ PHỨC Chun ngành: TỐN SƠ CẤP Mã số : 60460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS ĐOÀN QUANG MẠNH Thái Nguyên - 2013 i Mục lục Mục lục i Mở đầu Nội dung Các kiến thức 1.1 Số phức 1.2 Biểu diễn hình học số phức mặt phẳng toạ độ Oxy 1.3 Phép cộng phép trừ số phức 1.4 Phép nhân số phức 1.5 Số phức liên hợp môđun số phức 1.6 Phép chia cho số phức khác 1.7 Dạng lượng giác số phức 1.8 Phương trình bậc hai Ứng dụng số phức giải hệ phương trình đại số 2.1 Kiến thức sử dụng 2.2 Bài tập áp dụng 10 11 Ứng dụng số phức chứng minh bất đẳng thức 3.1 10 29 Kiến thức sử dụng 29 i 3.2 Bài tập áp dụng 30 Ứng dụng số phức lượng giác 4.1 44 Phương pháp giải toán 44 Ứng dụng số phức việc tính tổng số Cnk 71 5.1 Kiến thức sử dụng 71 5.2 Phương pháp giải toán 5.3 Phần tập áp dụng 72 71 Kết luận 84 Tài liệu tham khảo 87 ii LỜI CẢM ƠN Qua tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn đến TS Đồn Quang Mạnh tận tình giúp đỡ ân cần bảo cho tơi hồn thành luận văn Đồng thời tác giả xin chân thành cảm ơn tới thầy, cô hội đồng khoa học thuộc Đại học Thái Nguyên, thầy, cô giảng dạy lớp cao học toán K5B trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện cho học tập, nghiên cứu định hướng cho tơi q trình học tập nghiên cứu Tuy cố gắng nghiên cứu kĩ vấn đề luận văn song khó tránh khỏi sai sót Tác giả mong nhận bảo, hướng dẫn thầy đóng góp ý kiến bạn bè, đồng nghiệp để luận văn tơi hồn chỉnh ý nghĩa Thái Nguyên, tháng 05 năm 2013 Tác giả Phạm Quốc Hiệu iii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Tác giả Phạm Quốc Hiệu Mở đầu Lý chọn đề tài Số phức đưa vào giảng dạy lớp 12 trường trung học phổ thông điều tất yếu có vai trị quan trọng thực tiễn toán học Những toán số phức thường xuyên có mặt đề thi đại học, cao đẳng năm gần Số phức có nhiều ứng dụng giải tốn phổ thơng, cầu nối phân mơn đại số - giải tích - lượng giác hình học Tuy nhiên chưa có cơng trình nghiên cứu cách sâu sắc toàn diện ứng dụng số phức để giải dạng tốn: Hệ phương trình, bất đẳng thức, tổ hợp, lượng giác đề thi đại học Để giúp cho giáo viên học sinh trường trung học phổ thơng có cách nhìn sâu rộng số phức ứng dụng việc giải số dạng toán thường gặp đề thi đại học – cao đẳng, đề thi học sinh giỏi Vì tơi chọn đề tài: “Giải số dạng toán thi đại học, cao đẳng công cụ số phức” Đề tài: “Giải số dạng tốn thi đại học, cao đẳng cơng cụ số phức” nhằm đáp ứng mong muốn thân đề tài phù hợp mà sau phục vụ cho việc giảng dạy trường trung học phổ thơng 2 Mục đích nghiên cứu Nhằm khai thác ứng dụng số phức việc giải số dạng toán thường gặp đề thi đại học, cao đẳng thi học sinh giỏi Phân tích cách giải có sử dụng số phức so sánh với cách giải thông thường (không sử dụng số phức) để rút ưu, nhược điểm cách giải Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu ứng dụng số phức để giải dạng toán thường gặp chương trình tốn trung học phổ thơng: giải hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức, tính giá trị biểu thức lượng giác, giải phương trình lượng giác, chứng minh đẳng thức lượng giác, tính tổng số Cnk Nghiên cứu từ tài liệu, giáo trình thầy: Nguyễn Văn Mậu, Trần Nam Dũng, Trần Phương , tài liệu ôn thi đại học, bồi dưỡng học sinh giỏi, tủ sách chun tốn, tạp chí tốn học tuổi trẻ, Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Xây dựng đề tài phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh trung học phổ thơng Đề tài đóng góp thiết thực cho việc giảng dạy học tập chuyên đề tốn trường trung học phổ thơng, đem lại niềm say mê, sáng tạo cho giáo viên học sinh việc dạy học mơn Tốn trường trung học phổ thơng Cấu trúc luận văn Ngồi phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm chương: Chương Các kiến thức số phức Chương 2: Ứng dụng số phức giải hệ phương trình đại số Chương 3: Ứng dụng số phức chứng minh bất đẳng thức Chương 4: Ứng dụng số phức lượng giác Chương 5: Ứng dụng số phức đại số tổ hợp Chương Các kiến thức 1.1 Số phức Định nghĩa Một số phức biểu thức có dạng a + bi a, b số thực i số thoả mãn i2 = −1 Kí hiệu số phức z viết z = a + bi i gọi đơn vị ảo a gọi phần thực, b gọi phần ảo Tập số phức kí hiệu C Đặc biệt: Số phức z = a + 0i có phần ảo coi số thực viết z = a + 0i = a Số phức z = + bi có phần thực gọi số ảo (hay số ảo) viết z = + bi = bi i = + 1i = 1i Số = + 0i vừa số thực, vừa số ảo Định nghĩa 2: 10 47 Nhận xét 4.2: Sử dụng cách giải có sử dụng kiến thức số phức ta thu kết quả: sin π 3π 5π π + sin + sin = cot 7 14 Ngoài ta nhận thấy sử dụng số phức giúp học sinh tư hướng giải theo cách tự nhiên so với cách giải thông thường  π 2  2π 2  nπ 2 Bài toán 4.3: Cho un = cos + cos + + cos 6 Tính u2012 (Đề thi học sinh giỏi thành phố Hải Phòng - 1998) Lời giải: Cách 1: (Không sử dụng số phức) π 2π 3π 2012π + cos + cos + cos + + + + Ta có: U2012 = 2 2  2π 3π 2012π π ⇒ U2012 = 1006 + + cos + + cos cos + cos 3 3 π π 2π π 2012π π 2cos sin + 2cos sin + 2cos sin ⇒ U2012 = 1006 + π sin π π 5π π 4025π 4023π sin − sin + sin − sin + + sin − sin ⇒ U2012 = 1006 + π sin π 4025π − sin + sin ⇒ U2012 = 1006 + π sin 6  π 5π − sin + sin 670π + 6 ⇒ U2012 = 1006 + π sin π π 5π π − sin + sin − sin + sin 6 = 1006 + 6 = 1006 ⇒ U2012 = 1006 + π π sin sin 6 Vậy : U2012 = 1006 + cos Cách 2:(Sử dụng số phức) π 2π 3π 2012π + cos + cos + cos + + + + 2 2 + cos Ta có: U2012 = 53 48 π 2π 3π 2012π cos + cos + cos + + cos 3 3 π π Xét số phức z = cos + i sin 3  π 2π 2012π 2012 z + z + + z = cos + cos + + cos 3  π 2π 2012π + sin + sin + + sin i (1) 3 z 2013 − Lại có: + z + z + + z 2012 = z−1 2013π 2013π 2013 + i sin = cos671π + i sin 671π = −1 z = cos 3 U2012 = 1006 +   Suy π π +i sin − cos 2 3 = + √3i = + z + z + + z 2012 = =   π π π π 1−z − cos −i sin − cos + sin2 3 3 √ Nên ta có z + z + + z 2012 = 3i (2) π 2π 2012π Từ (1) (2) ta có: cos + cos + + cos =0 3 Từ suy U2012 = 1006   Nhận xét 4.3: Ngồi việc giải tốn ta thu kết quả: sin 2π 2012π √ π + sin + + sin = 3 3 Bài tốn 4.4: Tính giá trị biểu thức A = r r 3 2π cos + 4π cos + r cos 8π (Tuyển tập chun đề luyện thi Đại học mơn Tốn - Trần Phương) Lời giải Cách 1:(Không sử dụng số phức) 2π 4π 8π , , ba nghiệm phương trình cos t + cos2t + cos3t = − 7 ⇔ 4cos t + 2cos t − cos t − = ⇔ 8cos t + 4cos t − cos t − = 2π 4π 8π Đặt x = cos t ta có cos , cos , cos ba nghiệm phương trình: 7 8x3 + 4x2 − 4x − = Nhận thấy Theo định lý viet ta có: 54 49   x1 + x2 + x3 = −        x1 x2 + x2 x3 + x3 x = − x1 x2 x3 = √ √ √ x1 + x2 + x3 √ √ √ B = x1 x2 + x x3 + x3 x1 Đặt A = Khi : √ A3 = (x1 + x2 + x3 ) − 3 x1 x2 x3 + 3AB = −2 + 3AB √ √ √
√ √
√ √
B = − + 3 x1 x2 x3 x1 + x2 x2 + x3 x3 + x1 3 √ √ √
√ √
√ √
 √ √ √ B = − + x1 x2 x3 + x1 x2 x + x2 + x1 x3 x1 + x3 + x2 x3 x2 + x3 2  
√ AB − x1 x2 x3 = − + AB − = AB − =− + 2 2 2 Ta có: A3 = 3AB − B = AB − Từ ta có: 4A3 B = (3AB − 2) (6AB − 5) ⇔ 4A3 B = 18A2 B − 27AB + 10 ⇔ 8A3 B − 36A2 B + 54AB − 27 = −7 √ √ − ⇔ (2AB − 3) = −7 ⇔ 2AB − = − ⇔ AB = Ta có: r r √ √ 3 √
7 − 3 − A = 3AB − = 5−337 −2= = 2r r r2 r √
2π 4π 8π Vậy: A = cos + cos + cos = 5−337 7 √ r Cách 2:(Sử dụng số phức)r r r 2π 4π 8π 3 Tính giá trị biểu thức T = cos + cos + cos 7 k2π k2π Xét số phức xk = cos + i sin (k=0,1,2 ,6) nghiệm phương 7 trình: x7 = từ suy xk (k = 0, 1, 2, , 6) nghiệm phương trình: 55 50 x6 + x + x4 + x3 + x2 + x + =       Phương trình tương đương x + + x+ −2 x+ − = (Do x=0 x x x không nghiệm) k2π , yk = xk + = xk + xk = cos (k = 1, 2, 3) nghiệm x xk phương trình: y + y 2 − 2y − =  y1 + y2 + y3 = −1 Theo định lý Viet ta có: y1 y2 + y2 y3 + y3 y1 = −2  y1 y2 y3 = √ √ √ Đặt A = y1 + y2 + y3 A √ √ √ Và B = y1 y2 + y2 y3 + y3 y1 Khi T = √ Đặt y = x + Ta có: √ A3 = (y1 + y2 + y3 ) − 3 y1 y2 y3 + 3AB = −4 + 3AB √ √
√ √
√ √
√ B = −2 + 3 y1 y2 y3 y1 + y2 y2 + y3 y3 + y1  √ √ √ √ √ √
√ √
√ √
 ⇒ B = −2+3 y1 y2 y3 + y1 y2 y1 + y2 + y1 y3 y1 + y3 + y2 y3 y2 + y3 = −2 + AB −
√ y y y = −2 + (AB − 1) = 3AB − Ta có: A3 = 3AB − B = 3AB − Từ ta có: A3 B = (3AB − 4) (3AB − 5) √ ⇔ A3 B − 9A2 B + 27AB − 27 = −7 ⇔ (AB − 3)3 = −7 ⇔ AB − = − ⇔ AB = p p √ √ √ √ 3 − Ta có A = 3AB − = − 3 − = − 3 r r r r √
2π 4π 8π A = 5−337 Vậy: T = cos + cos + cos = √ 7 2 Nhận xét 4.4: Qua số ví dụ ta nhận thấy để tính tổng cos a + cos(a + b) + cos(a + 2b) + + cos(a + nb) sin a + sin(a + b) + sin(a + 2b) + + sin(a + nb) (Trong góc liên tiếp lập thành cấp số cộng có cơng sai b) việc sử dụng số phức giúp học sinh tư theo cách tự nhiên nhiều so với cách giải thông thường khác, 56 51 đồng thời học sinh dễ nhớ, dễ thực phép toán biến đổi đơn giản II.Ứng dụng giải phương trình lượng giác Bài tốn 4.5: Giải phương trình : tan2 x + cot2 x = Lời giải Cách 1:(Không sử dụng số phức) kπ sin2 x cos2 x =6 Phương trình tương đương: + cos2 x sin2 x ⇔ sin4 x + cos4 x = 6sin2 xcos2 x ĐK: x 6=
2 ⇔ sin2 x + cos2 x = 8sin2 xcos2 x ⇔ = 2sin2 2x ⇔ cos4x = π kπ ⇔x= + (tmØk) π kπ Kết luận: x = + Cách 2:(Sử dụng số phức) (z 6= 0) Xét z = cos x + i.sinx Khi ta có:   1 1 cos x = z+ ; sinx = z− z 2i z   Khi phương trình trở thành:  2  2 − z −1 z2 + −
4 z +1 z2 −
4 =6
2 − z2 − − z2 + = z4 −


⇔ − z − 4z + 6z − 4z + − z + 4z + 6z + 4z + = z − 2z + ⇔ 8z + = ⇔ z = −1 Lại có : z = cos8x + i sin 8x π kπ Từ ta có cos8x = −1 ⇔ x = + Bài toán 4.6: Giải phương trình: 57 52 cos x + cos2x − cos3x = Lời giải Cách 1:(Không sử dụng số phức) cos x + cos2x − cos3x = ⇔ cos x − 2sin2 x − 4cos3 x + cos x =
⇔ cos x − cos2 x − 2sin2 x = ⇔ 2sin2 x (2 cos x − 1) = " sinx = ⇔ cos x = " x = kπ π ⇔ x = ± + 2kπ "3 x = kπ π Kết luận: x = ± + k2π Cách 2:(Sử dụng số phức) Xét số phức z = cos x + i.sinx (z 6= 0) Khi ta có:   1 cos x = z+ z ; cos 2x = 1 z + ; cos 3x = z + z z   Thay vào phương trình ta có: z2 + z4 + z6 + + − =1 2z 2z 2z ⇔ z + z + z + z − z − − 2z =


⇔ z6 + z3 − z5 + z2 − z4 + z + z3 + =

⇔ z3 + z3 − z2 − z + =
⇔ z + (z − 1)2 (z + 1) =  z +1=0 ⇔  z = ±1 z = ±1 √ i z= ± 2 " cos x = ±1 ⇔ cos x = " x = kπ π ⇔ x = ± + k2π ⇔ 58   53 " Kết luận : x = kπ π x = ± + k2π Bài toán 4.7: Giải phương trình: sin 3x sin 5x = (Đề thi Đại học Thủy Lợi - 2000) Lời giải Cách 1:(Không sử dụng số phức) sin 3x sin 5x =

 sinx cos 3x cos x + cos2x − 4sin2 x sinx − 4sin2 x = ⇔ sinx (2 cos 2x + 1) sinx [cos 4x + cos 2x + cos2x (2 cos 2x + 1)] ⇔ =
sinx 4cos2 2x + 2cos2x − sinx (2 cos 2x + 1) ⇔ =
⇔ sinx 12cos2 2x − 4cos2x − =  sinx =  cos2x = ⇔ cos2x = − " x = kπ  2 ⇔ x = ± arccos − + kπ "2 x = kπ  2 Kết luận: x = ± arccos − + kπ Phương trình Cách 2:(Sử dụng số phức) Xét số phức z = cos x + i.sinx (z 6= 0)     1 1 Khi ta có sin 3x = z − ; sin 5x = z5 − 2i z 2i Thay vào phương trình ta được:     1 1 z3 − z3 = 10 z5 − z5 59 z 54 ⇔ 5z − 5z = 3z 10 − ⇔ 3z 10 − 5z + 5z − =
3 ⇔ z −
3z + 4z + = z2 = ⇔ √ z2 = − ± i 3 " cos2x = − Mặt khác ta có: z = cos2x+i sin 2x Từ ta suy : " ⇔ " Kết luận: x = kπ  2 x = ± arccos − + kπ Bài tốn 4.8: Giải phương trình: 32cos6 x − cos6x = Lời giải Cách 1:(Không sử dụng số phức) 32cos6 x − cos6x = ⇔ 32cos6 x = + cos6x ⇔ 16cos6 x = cos2 3x ⇔ 16cos6 x − cos2 3x =

⇔ 4cos3 x − cos3x 4cos3 x + cos3x =
⇔ cos2 x 8cos2 x − = ⇔ cos x (4 cos 2x + 1) = " cos x = ⇔ cos2x = −  π x = + kπ  1  x = ± arccos − + kπ 2 π x = + kπ  1 Kết luận:  x = ± arccos − + kπ Cách 2:(Sử dụng số phức) Ta có: (cos x + i.sinx)6 = cos6x + i.sin6x 60 cos2x = x = kπ  2 + kπ x = ± arccos − 55 Mặt khác ta có: (cos x + i.sinx)6 = c06 cos6 x + c16 cos5 x (i.sinx) + + c66 (i.sinx)6
6 = cos x − 15cos xsin x + 15cos xsin x − sin x + 6cos xsinx − 20cos xsin x + cos xsin5 x i ta có:
cos6x = cos6 x − 15cos4 x − cos2 x + 15cos2 x − cos2 x
2 − − cos2 x
3 Thay lại phương trình ta được: 32cos6 x − 32cos6 x + 48cos4 x − 18cos2 x + = ⇔ 48cos4 x − 18cos2 x =
⇔ 6cos2 x 8cos2 x − = ⇔ cos x (4 cos 2x + 1) = " cos x = ⇔ cos2x = −  π x = + kπ  1 ⇔ x = ± arccos − + kπ 2 π x = + kπ  1 Kết luận:  x = ± arccos − + kπ Bài tốn 4.9: Giải phương trình: sin 2x cos x + sin x cos x = cos2x + sinx + cos x (Đề thi đại học khối B-2011) Lời giải Cách 1:(Khơng sử dụng số phức) Phương trình viết lại thành: sin xcos2 x + sin x cos x = 2cos2 x + cos x + sinx − ⇔ sin x cos x (2 cos x + 1) = (2 cos x + 1) cos x + sinx − ⇔ cos x (2 cos x + 1) (sinx − 1) = sinx −
⇔ 2cos2 x + cos x − (sinx − 1) = 61
56  sinx =  ⇔  cos x = −1 cos x =  π x = + k2π  ⇔ x = π + k2π  π x = ± + k2π 3 π x = + k2π  Kết luận:  x = π + k2π  π x = ± + k2π Cách 2:(Sử dụng số phức) Phương trình viết lại thành: sin 3x + sin 2x − sin x = 2cos2x + cos x Xét z = cos x + i.sinx (z 6= 0) Ta có: 1 1 cos x = z+ ; cos 2x = z + ; sin x = z−  z 2i z   z 1 1 sin 2x = z − ; sin 3x = z − 2i z 2i z      Thay vào phương trình ta có: h     i 1 1 1 z3 − + z2 − − z − = z2 + + z + 2i z z z  z 1   z 1 1 z− z2 + + z + = z2 + + z + z z z  z z  1 ⇔ z + +z+ z − − 2i = z z z    1 + z+ ⇔ z+ − (z − i)2 = z z   z=i z=i   z = −1 z+ =1 ⇔ ⇔ √   z z= ± i z + = −2 2 z   π sinx = x = + k2π   Từ ta được:  cos x = −1 ⇔  x = π + k2π  π cosx = x = ± + k2π  π x = + k2π  Kết luận:  x = π + k2π  π x = ± + k2π ⇔ 2i  Bài tốn 4.10: Giải phương trình: 62  57 8cos3  π x+  = cos3x (Đề thi đại học QG năm 1999) Lời giải Cách 1:(Không sử dụng số phức) π phương trình trở thành: 8cos3 y = −cos3y Đặt y = x + Phương trình
⇔ 8cos3 y = − 4cos3 y − cos y ⇔ 12cos3 y − cos y =
⇔ cos y 4cos2 y − = ⇔ cos y (2 cos 2y + 1) = " cos y = ⇔ cos2y = − " π y = + kπ 2π ⇔ y = ± + kπ  π x = + kπ   x = kπ Thay vào x ta được:  2π + kπ x=−  π x = + kπ  x = kπ Kết luận:   2π x=− + kπ Cách 2:(Sử dụng số phức) Đặt y = x + π phương trình trở thành: 8cos3 y = −cos3y Xét z = cos y + i sin y (z 6= 0) Thay vào phương trình ta có: 63 58 z+ z 3 =− z +   z    ⇔2 z+ =− z+ −3 z+ z z z     1 = z+ ⇔ z+ z z  1 z+ =0 z+ =0 z ⇔   z 2 ⇔ z + = −1 z+ =1 z " z " π cos y = y = + kπ 2π Từ ta được: ⇔ cos2y = − y = ± + kπ  π x = + kπ  x = kπ Thay vào x ta được:   2π x=− + kπ  π x = + kπ  x = kπ Kết luận:   2π + kπ x=−    Nhận xét 4.5: So với cách giải thơng thường việc sử dụng số phức để giải phương trình lượng giác khơng khả quan song việc sử dụng số phức để giải phương trình lượng giác giúp cho học sinh có thêm cách lựa chọn đứng trước tốn, đồng thời tạo linh hoạt, tìm tịi, sáng tạo, hứng thú học tập III.Chứng minh đẳng thức lượng giác lượng giác π π π + kπ, b 6= + kπ, c 6= + kπ, k ∈ Z CMR: 2 a tana + tan b + tan c = tana tan b tan c ⇔ a + b + c = kπ π b tan a tan b + tan b tan c + tan c tan a = ⇔ a + b + c = + kπ Bài tốn 4.11: cho a 6= Lời giải Cách 1:(Khơng sử dụng số phức) a Ta có: 64 59 tana + tan b + tan c = tan a tan b tan c ⇔ tan b + tan c = tana(tan b tan c − 1) tan b + tan c ⇔ −tana = − tan b tan c ⇔ tan(−a) = tan(b + c) ⇔ b + c = −a + kπ ⇔ a + b + c = kπ b Ta có: tan a tan b + tan b tan c + tan c tan a = ⇔ tan b (tana + tan c) = − tan a tan c tana + tan c ⇔ = tan b − tan a tan c ⇔ cot b = tan(a + c) ⇔ tan(a + c) = tan π2 − b π ⇔ a + c = − b + kπ π ⇔ a + b + c = + kπ
Nhận xét 4.6: Ta dễ dàng nhận thấy π + kπ ⇔ cos (a + b + c) = Mặt khác sin (a + b + c) ; cos (a + b + c) phần ảo phần thực tích (cos a + i sin a) (cos b + a + b + c = kπ ⇔ sin (a + b + c) = 0; a + b + c = ta có cách giải thứ hai Cách 2:(Sử dụng số phức) Xét số phức z = (1 + i tan a) · (1 + i tan b) · (1 + i tan c) Khai triển số phức z theo quy tắc nhân số phức ta được: z = (1 − tan a tan b − tan b tan c − tan c tan a) + (tan a + tan b + tan c − tan a tan b tan c) i (1) Mặt khác sử dụng công thức Moa-vrơ cho số phức z ta được: (cos a + i sin a) · (cos b + i sin b) · (cos c + i sin c) z= cos a cos b cos c cos(a + b + c) sin(a + b + c) = + i (2) cos a cos b cos c cos a cos b cos c 65 60 Từ (1) (2) suy ra: a tana+tanb+tanc=tana.tanb.tanc ⇔ sin(a+b+c)=0 ⇔ a + b + c = kπ (đpcm) b tana.tanb+ tanb.tanc+tanc.tana = ⇔ cos(a+b+c)=0 ⇔ a + b + c = π + kπ (đpcm) Nhận xét 4.7 Với chứng minh đẳng thức việc sử dụng số phức giúp cho học sinh có hướng tự nhiên, đơn giản, gọn nhẹ thu kết tổng quát so với cách giải thông thường Bài toán 4.12: Cho: a 6= kπ, b 6= kπ, c 6= kπ, k ∈ Z CMR: a cot a cot b + cot b cot c + cot c cot a = ⇔ a + b + c = kπ b cot a cot b cot c = cot a + cot b + cot c ⇔ a + b + c = Lời giải: Cách 1:(Không sử dụng số phức) a Ta có cot a cot b + cot b cot c + cot c cot a = ⇔ cot a(cot b + cot c) = − cot c cot a − cot c cot b ⇔ cot a = cot b + cot c ⇔ cot a = cot(−b − c) ⇔ a = −b − c + kπ ⇔ a + b + c = kπ B Ta có cot a cot b cot c = cot a + cot b + cot c ⇔ cot a.(cot b cot c − 1) = cot b + cot c cot b + cot c ⇔ cot a = cot b cot c − ⇔ cot a = tan (b + c)  π ⇔ cot a = cot −b−c 66 π + kπ 61 π − b − c + kπ π ⇔ a + b + c = + kπ a= Cách 2:(Sử dụng số phức) Do dạng lượng giác số phức cosα + isinα nên ta xét số phức: z = (cot a + i).(cot b + i).(cot c + i) Khai triển số phức z theo quy tắc nhân số phức ta được: z = (cot a cot b cot c − cot a − cot b − cot c) + (cot a cot b + cot b cot c + cot c cot a − 1) i (1) Mặt khác sử dụng công thức Moa-vrơ cho số phức z ta có: (cos a + i sin a).(cos b + i sin b).(cos c + i sin c) z= sin a sin b sin c cos(a + b + c) sin(a + b + c) = + i (2) sin a sin b sin c sin a sin b sin c Từ (1) (2) suy ra: a cot a cot b + cot b cot c + cot c cot a = ⇔ sin(a + b + c) = ⇔ a + b + c = kπ (đpcm) b cot a cot b cot c = cot a + cot b + cot c ⇔ cos(a + b + c) = ⇔a+b+c= π + kπ (đpcm) Nhận xét 4.8: Từ kết hai tốn ta tìm lại đẳng thức quen thuộc tam giác: Tam giác ABC có: tanA + tan B + tan C = tanA tan B tan C A B B C C A tan + tan tan + tan tan = 2 2 2 cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A = A B C A B C cot + cot + cot = cot cot cot 2 2 2 Bài toán 4.13: ∀a, b ∈ R, b 6= k2π.CMR: n+1 nb sin a + b sin n P 2 a sin(a + kb) = b k=1 sin 2 tan 67