Giải một số dạng bài toán thi đại học cao đẳng bằng công cụ số phức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM QUỐC HIỆU GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN THI ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG BẰNG CÔNG CỤ SỐ PHỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2013 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM QUỐC HIỆU GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN THI ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG BẰNG CÔNG CỤ SỐ PHỨC Chuyên ngành: TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS ĐỒN QUANG MẠNH Thái Nguyên - 2013 i Mục lục Mục lục i Mở đầu Nội dung Các kiến thức 1.1 Số phức 1.2 Biểu diễn hình học số phức mặt phẳng toạ độ Oxy 1.3 Phép cộng phép trừ số phức 1.4 Phép nhân số phức 1.5 Số phức liên hợp môđun số phức 1.6 Phép chia cho số phức khác 1.7 Dạng lượng giác số phức 1.8 Phương trình bậc hai Ứng dụng số phức giải hệ phương trình đại số 2.1 Kiến thức sử dụng 2.2 Bài tập áp dụng 10 11 Ứng dụng số phức chứng minh bất đẳng thức 3.1 10 29 Kiến thức sử dụng 29 i 3.2 Bài tập áp dụng 30 Ứng dụng số phức lượng giác 4.1 44 Phương pháp giải toán 44 Ứng dụng số phức việc tính tổng số Cnk 71 5.1 Kiến thức sử dụng 71 5.2 Phương pháp giải toán 5.3 Phần tập áp dụng 72 71 Kết luận 84 Tài liệu tham khảo 87 ii LỜI CẢM ƠN Qua tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến TS Đồn Quang Mạnh tận tình giúp đỡ ân cần bảo cho tơi hồn thành luận văn Đồng thời tác giả xin chân thành cảm ơn tới thầy, cô hội đồng khoa học thuộc Đại học Thái Nguyên, thầy, cô giảng dạy lớp cao học toán K5B trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện cho học tập, nghiên cứu định hướng cho tơi q trình học tập nghiên cứu Tuy cố gắng nghiên cứu kĩ vấn đề luận văn song khó tránh khỏi sai sót Tác giả mong nhận bảo, hướng dẫn thầy đóng góp ý kiến bạn bè, đồng nghiệp để luận văn tơi hồn chỉnh ý nghĩa Thái Nguyên, tháng 05 năm 2013 Tác giả Phạm Quốc Hiệu iii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Tác giả Phạm Quốc Hiệu Mở đầu Lý chọn đề tài Số phức đưa vào giảng dạy lớp 12 trường trung học phổ thông điều tất yếu có vai trị quan trọng thực tiễn toán học Những tốn số phức thường xun có mặt đề thi đại học, cao đẳng năm gần Số phức có nhiều ứng dụng giải tốn phổ thơng, cầu nối phân mơn đại số - giải tích - lượng giác hình học Tuy nhiên chưa có cơng trình nghiên cứu cách sâu sắc toàn diện ứng dụng số phức để giải dạng toán: Hệ phương trình, bất đẳng thức, tổ hợp, lượng giác đề thi đại học Để giúp cho giáo viên học sinh trường trung học phổ thơng có cách nhìn sâu rộng số phức ứng dụng việc giải số dạng tốn thường gặp đề thi đại học – cao đẳng, đề thi học sinh giỏi Vì tơi chọn đề tài: “Giải số dạng toán thi đại học, cao đẳng công cụ số phức” Đề tài: “Giải số dạng toán thi đại học, cao đẳng công cụ số phức” nhằm đáp ứng mong muốn thân đề tài phù hợp mà sau phục vụ cho việc giảng dạy trường trung học phổ thơng 2 Mục đích nghiên cứu Nhằm khai thác ứng dụng số phức việc giải số dạng toán thường gặp đề thi đại học, cao đẳng thi học sinh giỏi Phân tích cách giải có sử dụng số phức so sánh với cách giải thông thường (không sử dụng số phức) để rút ưu, nhược điểm cách giải Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu ứng dụng số phức để giải dạng toán thường gặp chương trình tốn trung học phổ thơng: giải hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức, tính giá trị biểu thức lượng giác, giải phương trình lượng giác, chứng minh đẳng thức lượng giác, tính tổng số Cnk Nghiên cứu từ tài liệu, giáo trình thầy: Nguyễn Văn Mậu, Trần Nam Dũng, Trần Phương , tài liệu ôn thi đại học, bồi dưỡng học sinh giỏi, tủ sách chun tốn, tạp chí toán học tuổi trẻ, Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Xây dựng đề tài phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh trung học phổ thơng Đề tài đóng góp thiết thực cho việc giảng dạy học tập chun đề tốn trường trung học phổ thơng, đem lại niềm say mê, sáng tạo cho giáo viên học sinh việc dạy học mơn Tốn trường trung học phổ thơng Cấu trúc luận văn Ngồi phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm chương: Chương Các kiến thức số phức Chương 2: Ứng dụng số phức giải hệ phương trình đại số Chương 3: Ứng dụng số phức chứng minh bất đẳng thức Chương 4: Ứng dụng số phức lượng giác Chương 5: Ứng dụng số phức đại số tổ hợp Chương Các kiến thức 1.1 Số phức Định nghĩa Một số phức biểu thức có dạng a + bi a, b số thực i số thoả mãn i2 = −1 Kí hiệu số phức z viết z = a + bi i gọi đơn vị ảo a gọi phần thực, b gọi phần ảo Tập số phức kí hiệu C Đặc biệt: Số phức z = a + 0i có phần ảo coi số thực viết z = a + 0i = a Số phức z = + bi có phần thực gọi số ảo (hay số ảo) viết z = + bi = bi i = + 1i = 1i Số = + 0i vừa số thực, vừa số ảo Định nghĩa 2: 10 73 2011 B = C2012 − C2012 + C2012 − − C2012 Nhận xét 5.1 Nhận thấy tổng A,B: Các số chập số tổ hợp cách hai đơn vị Hệ số số tổ hợp có giá trị tuyệt đối đan dấu nên ta dễ dàng nhận A,B phần thực phần ảo khai triển (1 + i)2012 Lời giải Xét khai triển: 2011 x2011 + C 2012 x2012 (1) (1 + x)2012 = C2012 + C2012 x + C2012 x2 + + C2012 2012 Thay x=i vào khai triển ta được: 2011 i2011 + C 2012 i2012 (1 + i)2012 = C2012 + C2012 i + C2012 i2 + + C2012 2012 Lần lượt thay i4k = 1; i4k+1 = i; i4k+2 = −1; i4k+3 = −i ta 2011 (1 + i)2012 = c02012 − c22012 + c42012 − + c2012 2012 + c2012 − c2012 + − c2012 i Mặt khác (1 + i)2012 = √ π π 2(cos + i sin ) 4 2012 = 21006 (cos503π + i sin 503π) = −21006 So sánh phần thực , phần ảo (1 + i)2012 hai cách khai triển ta kết quả: 2010 + C 2012 = −21006 A = C2012 − C2012 + C2012 − − C2012 2012 2011 = B = C2012 − C2012 + C2012 − − C2012 Nhận xét 5.2: Ta tính (1 + i)2012 = (1 + i)2 1006 = (2i)1006 = 21006 i2 503 = −21006 Nếu từ khai triển (1) ta thay x -1 ta được: 2011 + C 2012 = 22012 (∗) C2012 + C2012 + C2012 + C2012 + + C2012 2012 2011 + C 2012 = 0(∗∗) C2012 − C2012 + C2012 − C2012 + − C2012 2012 Từ (∗) ; (∗∗) ta đem cộng trừ cho ta thu kết 2010 + C 2012 = 22011 C = C2012 + C2012 + C2012 + + C2012 2012 79 74 2011 = 22011 D = C2012 + C2012 + C2012 + + C2012 Nếu lấy A+C ta thu kết 2008 + C 2012 = 22010 − 21005 E = C2012 + C2012 + C2012 + + C2012 2012 Nếu lấy B+D ta thu kết 2009 = 22010 F = C2012 + C2012 + C2012 + + C2012 Từ ta sáng tạo nhiều tốn ví dụ u cầu tính tổng C,D,E,F Bài tốn 5.2 Tính tổng sau: − C + C − + (−1)n C 2n A = C2n 2n 2n 2n − C + C − + (−1)n−1 C 2n−1 B = C2n 2n 2n 2n Lời giải + C x + C x2 + + C 2n−1 x2n−1 + C 2n x2n Ta có (1 + x)2n = C2n 2n 2n 2n 2n Cho x = i ta − C + + (−1)n C 2n + C − C + + (−1)n−1 C 2n−1 i (1) (1 + i)2n = C2n 2n 2n 2n 2n 2n Mặt khác √ π nπ π nπ cos + i sin ⇒ (1 + i)2n = 2n cos + i sin 4 2 nπ nπ 2n ⇒ (1 + i) = 2n cos + i2n sin (2) 2 1+i= Từ (1) (2) ta nπ nπ n = sin − C + C − + (−1)n C 2n = 2n cos A = C2n 2n 2n 2n − C + C − + (−1)2n−1 C 2n−1 B = C2n 2n 2n 2n Nhận xét 5.3: Từ kết ta cho n giá trị cụ thể ta kết tổng tương ứng n=1000 ta có 2000 = 21000 A = C2000 − C2000 + C2000 − + C2000 80 75 1999 = B = C2000 − C2000 + C2000 − − C2000 n=1006 ta có: 2010 + C 2012 = −21006 A = C2012 − C2012 + C2012 − − C2012 2012 2011 = B = C2012 − C2012 + C2012 − − C2012 Bài toán 5.3 Tính tổng: − 39 C + 38 C − 37 C + 32 C 16 − 3C 18 + C 20 A = 310 C20 20 20 20 20 20 20 Nhận xét 5.4 Trong tổng A Các số chập số tổ hợp cách hai đơn vị Và số tổ hợp đan dấu nhau, đồng thời số hang c020 số phức: √ 3+i √ 20 nên ta khai triển 20 Lời giải Xét khai triển: √ √ 20 √ 19 √ 18 √ 19 20 20 3+i = C20 + i C20 − C20 − − i 3C20 + C20 − 39 C + 38 C − 37 C + + 32 C 16 − 3C 18 + C 20 + = 310 C20 20 20 20 20 20 20 √ 17 √ 17 √ 19 √ 19 + C20 − C20 + + C20 − 3C20 i Mặt khác: √ 20 3+i = +i 2 20 π π 20π 20π = 220 cos + i sin = 220 cos + i sin 6 √ √ 4π 4π = 220 cos + i sin = 220 − − i = −219 − 219 3i 3 2 √ 20 So sánh phần thực 3+i hai cách tính ta có: √ 20 220 − 39 C + 38 C − 37 C + + 32 C 16 − 3C 18 + C 20 = −219 310 C20 20 20 20 20 20 20 Nhận xét 5.5: Ngồi kết ta cịn thu kết tổng √ 19 − C20 √ 17 + + C20 √ 17 − C20 √ 19 √ 3C20 = −219 Dạng 2: Khai triển (1 + x)n , tính đạo hàm cho x nhận giá trị thích hợp Bài tốn 5.4: Tính tổng sau 81 76 2013 A = C2013 − 3C2013 + 5C2013 − 7C2013 + + 2013C2013 2012 B = 2C2013 − 4C2013 + 6C2013 − 8C2013 + − 2012C2013 Nhận xét 5.6 Để tạo hệ số tăng dần 1,3,5,7 hay 2,4,6,8 , hệ số mà sau ta khai triển nhị thức Niu-Tơn sau lấy đạo hàm hai vế Lời giải: 2012 x2012 + C 2013 x2013 (1 + x)2013 = C2013 + C2013 x + C2013 x2 + C2013 x3 + + C2013 2013 Lấy đạo hàm hai vế ta có: 2012 x2011 + 2013C 2013 x2012 2013(1 + x)2012 = C2013 + 2C2013 x + 3C2013 x2 + + 2012C2013 2013 Thay x=i vào vế ta có: 2012 i2011 + 2013.C 2013 i2012 2013.(1 + i)2012 = C2013 + 2C2013 i + 3C2013 i2 + + 2012.C2013 2013 2012 = c12013 − 3c32013 + + 2013c2013 2013 + 2c2013 − 4c2013 + − 2012c2013 i Lại có: √ π π 2012 + i sin ) 4 = 2013.21006 (cos503π + i sin 503π) = −2013.21006 So sánh phần thực phần ảo 2013(1 + i)2012 hai cách khai triển ta 2013(1 + i)2012 = 2013 2(cos được: 2013 = −2013.21006 A = C2013 − 3C2013 + 5C2013 − 7C2013 + + 2013C2013 2012 = B = 2C2013 − 4C2013 + 6C2013 − 8C2013 + − 2012C2013 Nhận xét 5.7: Ta tính 2013.(1 + i)2012 = 2013 (1 + i)2 1006 = 2013(2i)1006 = 2013.21006 i2 503 Nếu từ khai triển (1) ta thay x -1 ta được: 2012 + 2013C 2013 = 2013.22012 (∗) C2013 + 2C2013 + 3C2013 + + 2012C2013 2013 2012 + 2013C 2013 = 0(∗∗) C2013 − 2C2013 + 3C2013 − − 2012C2013 2013 Từ (∗) ; (∗∗) ta đem cộng trừ cho ta thu kết 2013 = 2013.22011 C = C2012 + 3C2012 + 5C2012 + + 2013C2013 2012 = 2013.22011 D = C2013 + 2C2013 + 3C2013 + + 1006C2013 82 = −2013.21006 77 Nếu lấy A+C ta thu kết 2013 = 2013 22010 − 21005 E = C2013 + 5C2013 + 9C2013 + + 2013C2013 Nếu lấy B+D ta thu kết 10 + + 2012C 2012 = 2013.22010 F = C2013 + 6C2012 + 10C2013 2013 Qua ta sáng tạo nhiều tốn tính tổng C,D,E,F Bài tốn 5.5 Tính tổng 2012 A = 2.3.C2012 − 4.32 C2012 + 6.33 C2012 − 2012.31006 C2012 Nhận xét 5.8: Trong tổng A Các số chập số tổ hợp cách hai đơn vị Các số hạng tổng đan dấu Hệ số hạng tử có giá trị tuyệt đối tăng dần 2,4,6 Trong tổng chứa số hạng c2k 2012 √ 2k Từ nhận xét nên để giải toán √ ta xuất phát từ khai triển + 3x 2012 Lấy đạo hàm hai vế thay x = i , xuất phát từ khai triển (1 + x)2012 Lấy đạo hàm hai vế thay x = √ 3.i Lời giải √ √ √ √ √ 2012 3 2011 3x = C2012 +C2012 3x+C2012 3x +C2012 3x + +C2012 3x √ 2012 2012 C2012 3x 1+ 2011 + Lấy đạo hàm hai vế ta có: √ √ 2012 + 3x 2011 √ √ √ √ 2012 x+3C2012 x + +2012C2012 = C2012 3+2C2012 2012 201 x Thay x=i vào vế ta có: √ √ 2011 √ √ √ 32 √ 2012 2012 + 3i = C2012 +2C2012 i+3C2012 i + +2012.C2012 √ √ √ 2011 2011 = c12012 − 3c32012 + − 2011 c2012 + 2.3c22012 − 4.32 c42012 + 6.33 c62012 − − 2012.31006 c2012 2012 i Lại có: 83 2012 201 i 78 √ √ √ √ π 2011 π = 503 3.22012 +1539.22012 i 2012 3(1 + 3i)2011 = 2012 2.(cos + i sin ) 3 √ √ 2011 So sánh phần thực phần ảo 2012 + 3i hai cách khai triển ta được: 2012 = 1539.22012 A = 2.3.C2012 − 4.32 C2012 + 6.33 C2012 − 2012.31006 C2012 Bài tốn 5.6 Tính tổng sau − 3C + 5C − 7C + + 13C 12 − 15C 14 A = C15 15 15 15 15 15 13 B = 2C15 − 4C15 + 6C15 − 8C15 + + 14C15 − 16C Lời giải Xét khai triển: + xC + x2 C + x3 C + + x13 C 13 + x14 C 14 + x15 C 15 (1 + x)15 = C15 15 15 15 15 15 15 Nhân hai vế với x ta được: 16 x.(1 + x)15 = c015 x + c115 x2 + c215 x3 + c315 x4 + + c15 15 x Đạo hàm hai vế ta có: (1 + x)15 + 15x(1 + x)14 = + 2xC + 3x2 C + 4x3 C + + 14x13 C 13 + 15x14 C 14 + 16x15 C 15 = C15 15 15 15 15 15 15 Với x=i ta có : − 3C + 5C − 7C + + 13C 13 − 15C 14 )+ (1 + i)15 + 15i(1 + i)14 = (C15 15 15 15 15 15 − 4C + 6C − 8C + + 14C 13 − 16C 15 i + 2C15 15 15 15 15 15 Mặt khác: √ √ 15 15 cos π4 + i sin π4 + 15i (1 + i)15 + 15i(1 + i)14 = √ 15 15π 14π = cos 15π + 15.27 i cos 14π + i sin 4 + i sin √ √ √ 15 − 22 − 22 i + 15.27 = 14 cos π4 + i sin π4 14 = −27 − 27 i + 15.27 = 14.27 − 27 i = 7.28 − 27 i So sánh phần thực phần ảo (1 + i)15 + 15i(1 + i)14 hai cách tính ta có: − 3C + 5C − 7C + + 13C 12 − 15C 14 = 7.28 A = C15 15 15 15 15 15 − 4C + 6C − 8C + + 14C 13 − 16C 15 = −27 B = 2C15 15 15 15 15 15 Dạng 3: Khai triển (1 + x)n , cho x nhận giá trị bậc ba đơn vị 84 79 Bài tốn 5.7 Tính tổng: T = c02011 + c32011 + c62011 + + c2010 2011 Nhận xét 5.9: Nhận thấy số tổ hợp cách ba đơn vị nên ta dựa vào bậc ba đơn vị ε = − 21 + √ i: ta có:1 + ε + ε2 = 0; ε3k = 1; ε3k+1 = ε; ε3k+2 = ε2 Từ khai triển nhị thức (1 + x)2011 sau thay x bậc ba 1, cộng vế ba đẳng thức thu ta có kết cần tìm Lời giải 2π Xét z = cos 2π + i sin Khi ta có : + z + z2 =  z 3n = z 3n+1 = z (n ∈ N )  3n+2 z = z2 Khai triển nhị thức Newton (1 + 1)2011 ; (1 + z)2011 ; + z 2011 ta được: 2011 (1 + 1)2011 = c02011 + c12011 + c22011 + + c2010 2011 + c2011 2010 + c2011 z 2011 (1 + z)2011 = c02011 + c12011 z + c22011 z + + c2010 2011 z 2011 2011 = c02011 + c12011 z + c22011 z + + c2010 2011 + c2011 z + z2 2011 4020 + c2011 z 4022 = c02011 + c12011 z + c22011 z + + c2010 2011 z 2011 2011 = c02011 + c12011 z + c22011 z + + c2010 2011 + c2011 z Cộng ba đẳng thức vế với vế ta được: 2011 c02011 + c32011 + c62011 + + c2010 + (1 + z)2011 + + z 2011 = (1 + 1) Ngoài (1 + 1)2011 = 22011 2π 2π 2011 π π + i sin = cos + i sin 3 3 2011π 2011π π π = cos + i sin = cos + i sin 3 3 (1 + z)2011 = + cos 85 2011 2011 80 4π 4π 2011 π π = + cos + i sin = cos − i sin 3 3 2011π 2011π π π = cos − i sin = cos − i sin 3 3 + z2 2011 2011 Do (1 + 1)2011 + (1 + z)2011 + + z 2011 = 22011 + cos 2π = 22011 + Từ ta suy : 22011 + T = c02011 + c32011 + c62011 + + c2010 2011 = Bài toán 5.8 Chứng minh rằng: + Cn3 + Cn6 + + c3k n = 2n + cos nπ (n ∈ N, k ∈ N, n − ≤ 3k ≤ n) Lời giải: 2π Xét: z = cos 2π + i sin ⇒ z = Từ khai triển: (1 + x)n = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x2 + + Cnn xn Lần lượt thay x = 1; x = z; x = z vào khai triển ta (1 + 1)n = c0n + c1n + c2n + c3n + c4n + c5n + c6n + + cnn (1 + z)n = c0n + c1n z + c2n z + c3n z + c4n z + c5n z + c6n z + + cnn z n c0n + c1n z + c2n z + c3n + c4n z + c5n z + c6n + + c3k n + + z2 n = c0n + c1n z + c2n z + c3n z + c4n z + c5n z 10 + c6n z 12 + + cnn z 2n = c0n + c1n z + c2n z + c3n + c4n z + c5n z + c6n + + c3k n + Cộng ba đẳng thức ta được: c02011 + c32011 + c62011 + + c3k = (1 + 1)n + (1 + z)n + + z n Ngoài (1 + 1)n = 2n (1 + z)n = + cos 2π 2π + i sin 3 nπ nπ + i sin 3 4π 4π n 1+z = + cos + i sin 3 n = cos π π + i sin 3 n = cos n = cos 86 π π − i sin 3 n n 81 nπ nπ + i sin 3 n Do (1 + 1) + (1 + z)n + + z = cos Khi đó: n = 2n + cos nπ n 2n + (1 + z)n + + z = Cn0 + Cn3 + Cn6 + + c3k n nπ 3k n = Cn + Cn + Cn + + cn ⇔ + cos n nπ ⇔ + Cn3 + Cn6 + + c3k + cos n = 3 Nhận xét 5.10: Bài toán toán tổng quát, với giá trị n cho trước ta kết + C + C + + C 3k + + C 15 + C 18 = tổng: Cho n=20 ta có S = C20 20 20 20 20 20 22011 + 2012 − n=2012 ta có: S = c02012 + c32012 + c62012 + + c2010 2012 = 2012 − 2 n=2013 ta có : S = c02013 + c32013 + c62013 + + c2013 2013 = 220 − n=2011 ta có: S = c02011 + c32011 + c62011 + + c2010 2011 = Từ với giá trị n ta lại tạo tốn Bài tốn 5.9 Tính tổng: S = c130 + c430 + c730 + + c3k+1 + + c28 30 30 Lời giải Xét khai triển: + C x + C x2 + C x3 + + C 30 x30 (1 + x)30 = C30 30 30 30 30 Nhân hai vế với x2 ta được: 32 x2 (1 + x)30 = c030 x2 + c130 x3 + c230 x5 + c330 x6 + + c30 30 x 2π 2π Xét: z = cos + i sin ⇒ z3 = 3 Lần lượt thay x = 1; x = z; x = z vào khai triển ta (1 + 1)30 = c030 + c130 + c230 + c330 + c430 + c530 + c630 + + c30 30 32 z (1 + z)30 = c030 z + c130 z + c230 z + c330 z + c430 z + c530 z + c630 z + + c30 30 z = c030 z + c130 + c230 z + c330 z + c430 + c530 z + c630 z + + c30 30 z z4 + z2 30 64 = c030 z + c130 z + c230 z + c330 z 10 + c430 z 12 + c530 z 14 + c630 z 16 + + c30 30 z 87 82 z + z2 30 = c030 z + c130 + c230 z + c330 z + c430 + c530 z + c630 z + + c30 30 z Cộng ba đẳng thức vế với vế ta được: 30 30 30 2 c130 + c430 + c730 + + c28 30 = (1 + 1) + z (1 + z) + z + z Lại có 4π π π 4π + i sin = −cos − i sin 3 3 2π π π 2π 31 + i sin = −cos + i sin = z = z = cos 3 3 z (1 + z)30 = z 62 = z = cos z + z2 30 = z(−z)30 Vậy : 30 30 2 c130 + c430 + c730 + + c28 30 = (1 + 1) + z (1 + z) + z + z 30 = 230 − cos π = 230 − Suy : S = c130 + c430 + c730 + + c3k+1 + + c28 30 = 30 230 − Bài tốn 5.10 Tính tổng : 18 S = c020 + 3c320 + 6c620 + + 3kc3k 20 + + 18c20 Nhận xét 5.11: Do tổng S số tổ hợp có hệ số tăng dần 1,3,6, nên khai triển nhị thức Niu-Tơn ta lấy đạo hàm hai vế số tổ hợp cách ba đơn vị nên ta sử dụng ba bậc ba đơn vị hai toán Lời giải + C x + C x2 + C x3 + + C 20 x20 (1 + x)20 = C20 20 20 20 20 Lấy đạo hàm hai vế ta có: + 2C x + 3C x2 + + 20C 20 x19 20(1 + x)19 = C20 20 20 20 Nhân hai vế với x ta có : x + 2C x2 + 3C x3 + + 20C 20 x20 20.x.(1 + x)19 = C20 20 20 20 2π 2π ⇒ z3 = Xét: z = cos + i sin 3 Lần lượt thay x = 1; x = z; x = z vào khai triển ta 88 83 20.219 = c120 + 2c220 + 3c320 + 4c420 + 5c520 + 6c620 + + 20c20 20 z + 2C z + 3C z + + 20C 20 z 20 20.z.(1 + z)19 = C20 20 20 20 z + 2C z + 3C + + 20C 20 z = C20 20 20 20 20.z + z 19 z + 2C z + 3C z + + 20C 20 z 40 = C20 20 20 20 z + 2C z + 3C + + 20C 20 z = C20 20 20 20 Cộng vế ba đẳng thức ta được: 19 19 2 3c320 + 6c62011 + + 18c18 20 = 20.2 + 20.z(1 + z) + 20.z + z 19 Có: 19 z(1 + z)19 = z −z z2 + z2 19 = −z 39 = −1 = z (−z)19 = −z 21 = −1 Từ ta có : 19 3c320 + 6c62011 + + 18c18 20 = 20.2 − 40 Suy : 3c320 + 6c62011 + + 18c18 20 = Vậy: S = c020 + 3c320 + 6c620 40 218 − + + 3kc3k 20 + + 18c18 20 40 218 − = +1 BÀI TẬP: − 3C + − (8n − 1)C 8n−1 Bài 1:Tính tổng: S = C8n 8n 8n Bài 2.Chứng minh đẳng thức : − Cn2 + Cn4 − + Cn1 − Cn3 + Cn5 − = 2n Bài 3: Tính tổng: A= − 3C + 32 C − − 323 C 46 + 324 C 48 − 325 C 50 C50 50 50 50 50 50 250 Bài : Tính tổng: + C + C + + C 3k+1 + + C 16 + C 19 T = C20 20 20 20 20 20 Bài Tính tổng: 2008 A = C2009 − C2009 + C2009 − + C2009 2009 B = −C2009 + C2009 − C2009 + − C2009 89 84 + 42 C + 72 C + + 372 C 37 + 402 C 40 Bài Tính tổng A = C40 40 40 40 40 Hướng dẫn: Khai triển (1 + x)40 , đạo hàm hai vế, nhân hai vế với x, sau lấy đạo hàm hai vế tiếp , cho x nhận giá trị 1; ε; ε2 + 5C + 8C + + 20C 20 + 23C 23 Bài 7:Tính tổng A = 2C25 25 25 25 25 Hướng dẫn: Khai triển (1 + x)25 , đạo hàm hai vế, nhân hai vế với x2 , cho x nhận giá trị 1; ε; ε2 + 4C + 7C + + 37C 36 + 40C 39 Bài 8:Tính tổng A = C40 40 40 40 40 Hướng dẫn: Khai triển (1 + x)40 ,nhân hai vế với x, đạo hàm hai vế, cho x nhận giá trị 1; ε; ε2 90 85 Kết luận Từ vấn đề trình bày rút số kết luận sau: Số phức chủ đề toán học chương trình tốn trung học phổ thơng, đồng thời dạng tốn số phức ứng dụng đa dạng Tuy nhiên khuôn khổ luận văn nghiên cứu mảng nhỏ dạng tốn ứng dụng số phức , ứng dụng số phức để giải số dạng tốn đề thi đại học (hệ phương trình, bất đẳng thức, tính giá trị biểu thức lượng giác, giải phương trình lượng giác, chứng minh đẳng thức lượng giác , tính tổng liên quan đến Cnk ) Luận văn hệ thống số dạng toán thường gặp đề thi đại học mà giải nhờ công cụ số phức , đồng thời so sánh với cách giải thông thường (không sử dụng số phức) để rút ưu, nhược điểm cách giải Các ví dụ minh họa luận văn chủ yếu lấy từ đề thi tuyển sinh đại học mơn tốn Bộ GDĐT số sách tham khảo ôn thi đại học Điều chứng tỏ kết luận văn hữu ích cho việc giảng dạy giáo viên việc ôn luyện học sinh để chuẩn bị cho kỳ thi đại học Sau chương tác giả đươa phương pháp sáng tạo tập giúp giáo viên tự nhiều tập theo mức độ từ dễ đến khó cho học sinh luyện tập Luận văn làm tài liệu giảng dạy cho giáo viên, tài liệu học tập cho học sinh q trình giảng dạy , học tập ơn thi đại học Qua luận văn cho thấy mối quan hệ số phức với đại số, giải tích, lượng giác Qua luận văn, ta thấy việc 91 86 khai thác định nghĩa tính chất số phức , giúp cho người học sử dụng số phức công cụ đắc lực , giải hiệu nhiều toán đại số , giải tích, lượng giác, từ giúp người học có thêm phương pháp giải tốn, có linh hoạt tưu nâng cao chất lượng dạy học, đáp ứng yêu cầu đổi dạy học 92 87 Tài liệu tham khảo [1] Biến phức định lí, Tác giả Nguyễn Văn Mậu, Trần Nam Dũng, Đinh Công Hướng, Nguyễn Đăng Phất, Tạ Duy Phượng, Nguyễn Thủy Thanh NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2009 [2] Tuyển tập đề thi Ôlimpic 30-4 lần thứ V,VI,VII,VIII, NXB Giáo dục,2012 [3] Tuyển tập chun đề luyện thi đại học mơn tốn - Trần Phương - NXB Hà Nội,2010 [4] Toán nâng cao giải tích 12 - Phan Huy Khải - NXB Đại học Quốc gia Hà Nội,1997 [5] Tuyển tập đề thi Đại học - NXB Giáo dục,2012 [6] Tuyển chọn theo chuyên đề toán học tuổi trẻ - NXB Giáo dục,2006 [7] 500 toán chọn lọc bất đẳng thức- Phan Huy Khải - NXB Hà Nội,1997 [8] Phương pháp tọa độ để giải toán sơ cấp- Phan Huy Khải - NXB TP Hồ Chí Minh,1996 [9] Tuyển chọn giải hệ phương trình, phương trình không mẫu mực - Hà Văn Chương - NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội,2003 93 ... thi đại học – cao đẳng, đề thi học sinh giỏi Vì tơi chọn đề tài: ? ?Giải số dạng toán thi đại học, cao đẳng công cụ số phức? ?? Đề tài: ? ?Giải số dạng toán thi đại học, cao đẳng công cụ số phức? ?? nhằm...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM QUỐC HIỆU GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN THI ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG BẰNG CÔNG CỤ SỐ PHỨC Chuyên ngành: TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60460113 LUẬN... nhân số phức phép cộng, nhân số thực Đặc biệt đẳng thức trường hợp số phức 1.5 Số phức liên hợp môđun số phức 1 .Số phức liên hợp Định nghĩa 6: Số phức liên hợp số phức z = a + bi; (a, b ∈ R) số phức