SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NINH - KỲ THI LẬP ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2010-2011 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Họ tên, chữ ký GT 1: MƠN : TỐN Ngày thi : 15/11/2010 …………………… Thời gian làm : 180 phút (không kể thời gian giao đề) ……………… (Đề thi có 01 trang) Bài (5,0 điểm) 1 2 x 2y 2 x y Giải hệ phương trình: y x2 x y với x; y Bài (3,0 điểm) ; n 0,1,2, Cho dãy số xn xác định sau : x0 2010 ; xn1 xn2 a) Đặt: un = x2n với n = 1, 2, 3, …Chứng minh: dãy un có giới hạn hữu hạn b) Chứng minh dãy xn có giới hạn hữu hạn Bài (4,0 điểm) π π Cho số thực x, y, z t thuộc đoạn ; Chứng minh rằng: 2 1 1 ≤ 18 s inx s iny s inz s int 16 ≤ s inx sin y sin z sin t Các dấu đẳng thức xảy ? Bài (5,0 điểm) Cho tam giác ABC Tìm tất điểm M tam giác thoả mãn : MAB + MBC + MCA 90 Bài (3,0 điểm) Tìm số nguyên tố x, y, z cho: x y 1 z Hết -Họ tên học sinh: ……………………………………….… Số báo danh: …………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NINH HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG NĂM HỌC 2010-2011 ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN TỐN LỚP 12 Bài Bài điểm Sơ lược lời giải Cho điểm Điều kiện: x; y Biến đổi hệ cho (A), x2 y x x 3xy 2 (A) (B) 2 y x y 1 y 3x y x y x y 4 x y 3 x y 3 Giải hệ: (B) 3 3 x y x y 2 x y 1 x y 1 x ( 3 1) / x y 3 , cỏc giỏ trị x, y thoả điều kiện x y 1 y ( 3 1) / 2,0 2,0 Vậy hệ cho cú nghiệm (x; y) = ( ( 3 1) / ; ( 3 1) / ) 1,0 Chỳ ý: cú thể giải hệ (B) cỏch đặt: x+y=a; x-y=b đưa hệ với ẩn a,b giải được: a= 3 b=1, từ đú tỡm x ; y Bài 2a 1,5 điểm g ( x) f ( f ( x)) cựmg xỏc định trờn 0; x2 Ta cú f ( x) hàm giảm nhận giỏ trị dương trờn 0; nờn g ( x) hàm tăng trờn 0; Do un x2 n ; n N ; x2 n 2 f ( x2 n 1 ) f ( f ( x2 n )) nờn cú un 1 g (un ) n N Do g(x) tăng trờn 0; nờn dóy un đơn điệu (tăng giảm) chứng tỏ được: un , x l (đpcm !) mà g(x) liờn tục trờn 0; suy tồn tại: lim un lim n n Xột cỏc hàm số: f ( x) n Bài 2b 1,5 điểm 0,5 0,5 0,5 Do tính liên tục hàm g(x) 0; nên ta có g(l)=l => v vl (*) 1 l 2 v vl Ngồi cịn có: f (v ) f ( f (l )) g (l ) l => => (v-l) (v l-1)=0 2 l lv Nếu v l vl=1 theo Viet hệ thức (*) => v+l=2 => v, l nghiệm phương trình x 2x 0 => v=l=1 điều mâu thuẫn, Đặt f (l)= v, từ cơng thức hàm f(x) ta có: f (l ) 0,5 0,5 xảy v=l hay f(l) = l x lim x l (đpcm !) 0,5 Lại tính liên tục hàm f(x) nên suy tồn lim n n n n 1 Bài Bài điểm Sơ lược lời giải Cho điểm 1 1 Đặt A = s inx sin y sin z sin t s inx s iny s inz s int ỏp dụng BĐT AM-GM, chứng minh được: 16 ≤ A (1) π π Dấu "=" xảy sinx=sin y=sinz= sint x=y=z=t= với tuỳ ý ; 2 a b c Đặt xinx=a,siny=b,sinz=c,sint=d, ta cần ch/m: (a+b+c+d)( + + + 1 0,75 0,25 ) ≤ 18 d từ giả thiết => a,b,c,d ; 1 đú cú: (a- )(a-1) ≤ => a2- a + ≤ => 2 2 3 - ≤ => a+ ≤ 2a 2a 3 Tương tự cú: b+ ≤ ; c+ ≤ d+ ≤ 2b 2c 2d 1 1 từ đú suy ra: (a+b+c+d) + ( + + + ) ≤ = (2) 2a 2b 2c 2d Dấu "=" xảy (2) a, b, c, d = = a+ 0,5 1,0 Mặt khỏc, ỏp dụng BĐT AM-GM được: 1 1 1 1 1 + + + ) ≥ a b c d (3) 2a 2b 2c 2d 2 a b c d 1 1 từ (2) (3) suy ra: (a+b+c+d)( + + + ) ≤ 18 hay A ≤ 18 (4) (đpcm !) a b c d (a+b+c+d) + ( Dấu "=" xảy (4) dấu "=" xảy đồng thời (2) (3) a, b, c, d = = 0,5 0,25 1 1 (a+b+c+d) = ( + + + ) (*) 2a 2b 2c 2d giả sử cỏc số a,b,c,d cú m số nhận giỏ trị =1 n số nhận giỏ trị = , từ 2 (*) suy hệ: m+n=4; m+ n = (m+2n), giải hệ tỡm m=n=2 đú dấu "=" xảy (4) cỏc số a,b,c,d cú số nhận giỏ trị =1 số nhận giỏ trị = Vậy A=18 số x,y,z,t cú số nhận giỏ trị = số nhận giỏ trị = 0,5 0,25 Bài Sơ lược lời giải Bài điểm Trước hết chứng minh cỏc điểm nằm trờn cỏc đường cao tam giỏc ABC (trừ đỉnhA, B, C) thoả điều kiện MAB + MBC + MCA 900 (*) Ta chứng minh: cỏc điểm đú khụng tồn điểm khỏc thoả (*) phương phỏp phản chứng Thật vậy, giả sử tồn điểm M tam giỏc thoả (*) M khụng nằm trờn đường cao nào, đú điểm M phải nằm ớt sỏu tam giỏc đỉnh O tạo cỏc đường cao AD, BE, CF (với O tõm ABC) khụng tớnh tổng quỏt, giả sử chẳng hạn M nằm tam giỏc BOF (hỡnh vẽ) Nối AM , AM cắt cỏc đường cao CF, BE M M theo thứ tự AB M BC M CA 900 Khi đú đồng thời cú: MAB MBC MCA 900 (1); M 1 Cho điểm 2,0 0,5 AB M BC M CA 900 (3) (2) M 2 BC M CA BC M CA M Từ (1); (2) (3) => MBC MCA M 1 2 BM M CM M BM M CM => M 1 2 Để ý B,C nằm khỏc phớa so với AM khụng đối xứng nờn ta lấy B' đối xứng với B qua AM ta cú B' phõn biệt với C (hỡnh vẽ) B ' M M CM => B'CM1M B'CMM2 B ' M M CM M Nhận thấy: M 1 2 cỏc tứ giỏc nội tiếp Do cỏc điểm M, M1, M2 phõn biệt thẳng hàng nờn đường trũn ngoại tiếp tứ giỏc phõn biệt Điều vụ lý cỏc đường trũn ngoại tiếp chỳng cú điểm chung phõn biệt B',C, M Vậy giả sử trờn sai, ta cú điều phải chứng minh 1,0 1,0 0,5 A E F M1 M O M2 B C D B' Bài Bài điểm Sơ lược lời giải Giả sử cỏc số nguyờn tố x,y,z thoả món: x y 1 z => x 2; y 2; z 5 Trước hết nhận thấy x khụng thể số lẻ vỡ x lẻ thỡ z số chẵn, đú z2 điều vụ lý, x=2 k 1 (2 1) A Từ đú suy y khụng thể lẻ vỡ ngược lại ta z 2 z 3 => z hợp số => y = z = Vậy cú số nguyờn tố (x; y; z) = (2;2;5) thoả yờu cầu toỏn Cho điểm 1,0 1,0 1,0 Các ý chấm: Hướng dẫn chấm trình bày sơ lược cách giải Bài làm học sinh tiết, lập luận chặt chẽ, tính tốn xác điểm tối đa Các cách giải khác cho điểm Tổ chấm trao đổi thống điểm thành phần không vượt số điểm dành cho câu phần Mọi vấn đề phát sinh khác trình chấm phải trao đổi cho điểm theo thống tổ chấm Điểm toàn tổng số điểm phần chấm Khơng làm trịn điểm -