Câu [HH12.C1.1.E02.d] (HSG Toán 12 – Triệu Sơn, Thanh Hóa năm 2020) Cho hình chóp S ABCD Gọi E giao điểm AB CD , F giao điểm AD BC Mặt phẳng không qua S , song song với mặt phẳng ( SEF ) cắt cạnh SA , SB , SC , SD hình chóp lần SM SP SN SQ lượt M , N , P , Q Chứng minh SA SC SB SD Lời giải S Q M P F D A N B C E // SEF , SAB MN , MN , SE SAB nên suy MN //SE // SEF , SAD MQ , MQ, SF SAD nên suy MN //SF // SEF , SBC NP , NP, SF SBC nên suy NP //SF // SEF , SCD PQ , PQ, SE SCD nên suy PQ //SE Vậy MNPQ hình bình hành uur uur uur uur uuur uur uur uur SM SA SP SC SN SB SQ SD SA SC SB SD Suy SM SP SN SQ uur SA SP uur SN uur SQ uur SM uur SP uur SN uur SQ uur SA SC SB SD SA SC SB SD SM SC SB SD SA SC SB SD SA SP SN SQ 1 Vì bốn điểm A , B , C , D đồng phẳng nên ta có SM SC SB SD Câu SM SP SN SQ SP SN SQ SM SC SB SD SA SA SC SB SD [HH12.C1.1.E02.d] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A B Biết AB = SD = 3a , AD = SB = 4a , đường chéo AC vng góc với mặt phẳng ( SBD ) Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD khoảng cách hai đường thẳng BD SA Lời giải AC ^ (SBD ) Þ (SBD ) ^ (ABCD ) Ta có: (SBD ) Ç (ABCD ) = BD Kẻ SH ^ BD H Þ SH ^ (ABCD ) BD = AB + AD = 5a Tam giác SBD vuông S nên: SH = SB SD 12a = BD Gọi K giao điểm AC BD Ta có AK AC = AB Û AC = AK BD = AB AD Û AK = AB AD 12a = BD AB 15a = AK 1 15a 75a2 SABCD = AC BD = 5a = 2 1 12a 75a2 15a3 SH SABCD = = 3 Kẻ đường thẳng d qua A song song với BD V S ABCD = Kẻ HE / / K A , E Ỵ d (SHE) ^ (SA,d); (SHE ) Ç (SA,d ) = SE ( SA,d ) Kẻ HF vng góc với SE F HF vng góc với BD / / ( SA,d ) nên ( ) ( ) d ( BD ; SA ) = d BD ;( SA,d ) = d H ;( SA,d ) = HF 1 25 25 25 = + = + = 2 2 SH HE 144a 144a 72a2 Trong tam giác SHF ta có HF 2a 2a Þ d(BD , SA ) = 5 Câu Cho mặt cầu có tâm O bán kính R Từ điểm S mặt cầu ta dựng ba cát · · · tuyến nhau, cắt mặt cầu điểm A, B ,C ( khác với S ) ASB = BSC = CSA = a Tính thể tích khối chóp S ABC theo R a Khi a thay đổi, tìm a để thể tích khối chóp HF = S ABC lớn Lời giải ( ABC ) O ¢là tâm đường trịn ngoại tiếp Tam giác ABC đều, kẻ SO ¢vng góc với tam giác ABC O ¢thuộc SO Giả sử SO ¢cắt mặt cầu D tam giác SAD vuông A Gọi SA = SB = SC = Trong tam giác SAD ta có SO '.SD = SA Þ SO ' = SA l2 = (1) SD 2R Gọi E trung điểm BC ta có 2l sin a BC Þ AO ' = = 3 a Þ SO ' = SA - O ' A = l 1- sin2 (2) BC = 2BE = 2l sin a l2 a a = l 1- sin2 Û l = 2R 1- sin2 3 Từ (1) (2) ta có 2R Þ SABC = 3R 2(1Þ SO ' = 2R (1- 2a a sin )sin2 2 2a 3 a a sin ) Þ V S ABC = SO '.SABC = R (1- sin2 )2.sin2 3 3 2 [HH12.C1 1.E04.d] x = sin2 Đặt a Þ 0< x