D03 các bài toán chứng minh muc do 2

Câu [HH11.C2.1.E03.b] Cho hình vng ABCD , H trung điểm AB , K trung điểm AD Trên đường thẳng vng góc với  ABCD  lấy điểm S khác H Chứng minh AC   SHK  Lời giải Vì H , K trung điểm AB, AD nên HK đường trung bình tam giác ABD nên HK / / BD mà AC  BD  HK  AC (1) Măt khác Câu SH   ABCD   SH  AC (2) AC   SHK  Từ (1) (2) , ta có [HH11.C2.1.E03.b] Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC cạnh a ( a  ) tam giác a BCD cân D với DC Chứng minh AD  BC Lời giải BC Gọi M trung điểm , ta có ABC nên AM  BC BCD cân nên DM  BC  BC  ( AMD)  BC  AD (đpcm)  A D C G M N B Câu [HH11.C2.1.E03.b] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng; cạnh SA vng góc với ABCD  mặt phẳng  Gọi H , I , K hình chiếu vng góc điểm A SB , SC , SD Chứng minh AH , AK vng góc với SC Lời giải S I K H A D O B Câu C BC   SAB     BC  AH  1 AH   SAB   Ta có AH  SB   mà AH   SBC  SC   SBC  Từ   ,   suy mà nên AH  SC AK   SCD  Chứng minh tương tự ta có nên AK  SC [HH11.C2.1.E03.b] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng; cạnh SA vng góc với  ABCD  Gọi H , I , K hình chiếu vng góc điểm A SB , SC , mặt phẳng SD Chứng minh HK vng góc với AI Lời giải S I K H A D O B C Gọi O  AC  BD , ta có  SA  AB SA   ABCD     SA  AD Hai tam giác SAB SAD vng A có SA chung, AB  AD nên chúng nhau, từ SB SD  BD  AC    HK / / BD   BD   SAC  HK   SAC  SH SK  BD  SA  mà nên HK   SAC     HK  AI AI   SAC   Ta có Câu o [HH11.C2.1.E03.b] Cho hình chóp S ABCD đáy hình thoi tâm O , cạnh a , góc BAD 60 ; SO vng góc với mặt phẳng Chứng minh  ABCD  ; SO  3a Gọi E trung điểm AD , F trung điêm DE  SOF    SAD  Lời giải OF  BE  OF  AD (1) Tam giác ABD nên BE  AD ; SO   ABCD   SO  AD (2) Từ (1) (2) Câu  AD   SOF    SAD    SOF  [HH11.C2.1.E03.b] (HSG Toán 11 – Cụm Hoàn Kiếm Hai Bà Trưng năm 1617) Trên  P  , cho  C  đường kính AB S điểm nằm đường thẳng qua A hai điểm cố định A , B đường tròn vng góc với  P , S khơng trùng với A M điểm di động  C  không trùng với A , B Gọi  Q  mặt phẳng qua A , vng góc với SB ,  Q  cắt SB , SM H , K Chứng minh tam giác AHK vuông Lời giải S H K A α B M BM   SAM   BM  AK AK   SBM   AK  HK Ta có , mà AK  SB nên AHK K Vậy tam giác vuông Câu [HH11.C2.1.E03.b] (N LẠC VĨNH PHÚC 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình  thang có AD 2a, AB BC CD a, BAD 60 , SA  ( ABCD ), SA a M I hai điểm       MB  MS  0, IS  3ID 0 Mặt phẳng ( AIM ) cắt SC N thỏa mãn a) Chứng minh đường thẳng SD vuông góc với mặt phẳng ( AIM )   b) Chứng minh ANI 90 ; AMI 90 Lời giải       a) Đặt AB a, AD b, AS c            BC  b, a a, b 2a, c a 3, a.b a , a.c 0, c.b 0 Ta có         4 SD b  c, AI  b  c, AM  a  c 7 4 Ta có:     Suy SD AI 0, SD AM 0 Do SD  AI , SD  AM Vậy SD  ( AMI ) b) Trog mặt phẳng ( ABCD), AC cắt BD E Trog mặt phẳng ( SBD), SE cắt MI F Khi đó, mặt phẳng ( SAC ), AF cắt SC N     1    AN  a  b  c, NI  a  b  c 2 28 14 có: Ta    AN NI 0  AN  NI  ANI 90    1  3  AM  a  c, MI  a  b  c 4 28    AM MI 0  AM  MI  AMI 900 Câu [HH11.C2.1.E03.b] (HSG Toán 11 - TX Quảng Trị năm 2019) Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC cạnh a tam giác BCD cân D với Lời giải DC  a Chứng minh rằng: AD  BC Gọi M trung điểm BC , ta có: ABC nên AM  BC , DBC cân nên DM  BC  BC  ( AMD)  BC  AD