Câu [HH11.C2.1.E03.b] Cho hình vng ABCD , H trung điểm AB , K trung điểm AD Trên đường thẳng vng góc với ABCD lấy điểm S khác H Chứng minh AC SHK Lời giải Vì H , K trung điểm AB, AD nên HK đường trung bình tam giác ABD nên HK / / BD mà AC BD HK AC (1) Măt khác Câu SH ABCD SH AC (2) AC SHK Từ (1) (2) , ta có [HH11.C2.1.E03.b] Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC cạnh a ( a ) tam giác a BCD cân D với DC Chứng minh AD BC Lời giải BC Gọi M trung điểm , ta có ABC nên AM BC BCD cân nên DM BC BC ( AMD) BC AD (đpcm) A D C G M N B Câu [HH11.C2.1.E03.b] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng; cạnh SA vng góc với ABCD mặt phẳng Gọi H , I , K hình chiếu vng góc điểm A SB , SC , SD Chứng minh AH , AK vng góc với SC Lời giải S I K H A D O B Câu C BC SAB BC AH 1 AH SAB Ta có AH SB mà AH SBC SC SBC Từ , suy mà nên AH SC AK SCD Chứng minh tương tự ta có nên AK SC [HH11.C2.1.E03.b] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng; cạnh SA vng góc với ABCD Gọi H , I , K hình chiếu vng góc điểm A SB , SC , mặt phẳng SD Chứng minh HK vng góc với AI Lời giải S I K H A D O B C Gọi O AC BD , ta có SA AB SA ABCD SA AD Hai tam giác SAB SAD vng A có SA chung, AB AD nên chúng nhau, từ SB SD BD AC HK / / BD BD SAC HK SAC SH SK BD SA mà nên HK SAC HK AI AI SAC Ta có Câu o [HH11.C2.1.E03.b] Cho hình chóp S ABCD đáy hình thoi tâm O , cạnh a , góc BAD 60 ; SO vng góc với mặt phẳng Chứng minh ABCD ; SO 3a Gọi E trung điểm AD , F trung điêm DE SOF SAD Lời giải OF BE OF AD (1) Tam giác ABD nên BE AD ; SO ABCD SO AD (2) Từ (1) (2) Câu AD SOF SAD SOF [HH11.C2.1.E03.b] (HSG Toán 11 – Cụm Hoàn Kiếm Hai Bà Trưng năm 1617) Trên P , cho C đường kính AB S điểm nằm đường thẳng qua A hai điểm cố định A , B đường tròn vng góc với P , S khơng trùng với A M điểm di động C không trùng với A , B Gọi Q mặt phẳng qua A , vng góc với SB , Q cắt SB , SM H , K Chứng minh tam giác AHK vuông Lời giải S H K A α B M BM SAM BM AK AK SBM AK HK Ta có , mà AK SB nên AHK K Vậy tam giác vuông Câu [HH11.C2.1.E03.b] (N LẠC VĨNH PHÚC 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang có AD 2a, AB BC CD a, BAD 60 , SA ( ABCD ), SA a M I hai điểm MB MS 0, IS 3ID 0 Mặt phẳng ( AIM ) cắt SC N thỏa mãn a) Chứng minh đường thẳng SD vuông góc với mặt phẳng ( AIM ) b) Chứng minh ANI 90 ; AMI 90 Lời giải a) Đặt AB a, AD b, AS c BC b, a a, b 2a, c a 3, a.b a , a.c 0, c.b 0 Ta có 4 SD b c, AI b c, AM a c 7 4 Ta có: Suy SD AI 0, SD AM 0 Do SD AI , SD AM Vậy SD ( AMI ) b) Trog mặt phẳng ( ABCD), AC cắt BD E Trog mặt phẳng ( SBD), SE cắt MI F Khi đó, mặt phẳng ( SAC ), AF cắt SC N 1 AN a b c, NI a b c 2 28 14 có: Ta AN NI 0 AN NI ANI 90 1 3 AM a c, MI a b c 4 28 AM MI 0 AM MI AMI 900 Câu [HH11.C2.1.E03.b] (HSG Toán 11 - TX Quảng Trị năm 2019) Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC cạnh a tam giác BCD cân D với Lời giải DC a Chứng minh rằng: AD BC Gọi M trung điểm BC , ta có: ABC nên AM BC , DBC cân nên DM BC BC ( AMD) BC AD