D03 các bài toán chứng minh muc do 4

Câu 1.[HH11.C2.1.E03.d](HSG CỤM TRƯỜNG THPT THANH CHƯƠNG LẦN NĂM 2019-2020) Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G, cạnh AB a; O tâm tam giác BCD M điểm thuộc mặt phẳng ( BCD) Gọi H , K , L hình chiếu vng góc M lên mặt phẳng ( ACD ), ( ABD), ( ABC ) Chứng minh đường thẳng GM qua trọng tâm E tam giác HKL Lời giải Độ dài đường cao tam giác BCD Độ dài đường cao tứ diện ABCD MH MM  hTD hTG Tương tự hTG  hTD  a a MK MM ML MM   hTD hTG ; hTD hTG Mặt khác a2 S BCD  SMBC  SMCD  SMBD a2  a ( MM  MM  MM )  a  MM  MM  MM  MM  MM  MM  hTG Ta có  3 MM MM MM MM MM  MM   1  GB  GC  GD GM hTG hTG hTG hTG hTG hTG     Do E trọng tâm tam giác HKL nên ta có 3ME MH  MK  ML   MM MM  MM     GB  GC  GD   GM  hTG hTG hTG   Câu [HH11.C2.1.E03.d] (Đề Ơn thi HSG Tốn 11 – Thanh Hóa năm 1819) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với Gọi A, B, C ba góc tam giác ABC  ,  ,  lần cos  cos  cos    ABC  lượt góc tạo OA, OB, OC với mặt phẳng  Chứng minh sin A sin B sin 2C Lời giải  ABC   H trực tâm tam giác Gọi H hình chiếu vng góc điểm O mặt phẳng ABC Ta có OAH  ; OBH  ; OCH  cos   AH AH AH   (1) OA AH AK AK Gọi AK đường cao tam giác ABC Ta có AB  AC  BC 2.OA2 cos A   0 AB AC AB AC Mặt khác Tương tự ta có cos B  0; cos C  nên tam giác ABC nhọn Gọi R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC , ta có: BC BC 2 R,sin A sin BHC  2 R  R sin A sin BHC bán kính tam giác BHC Trong tam giác ABH ta có: AH 2 R sin ABH 2 R cos A BC AH sin A 2sin A.cos A  (2) 2R Suy cos A R2  Từ (1) (2) ta có sin A S ABC cos B R cos C R2   Chứng minh tương tự, ta có sin B SABC , sin 2C S ABC suy ĐPCM