Câu [DS11.C3.3.E03.d][HSG 12 THẠCH THÀNH - THANH HÓA 2019] Cho dãy số u1 2018 , u2 2019 u (u u ) 2un un1 , n , n 2 định n n n1 Tìm lim un un xác Lời giải 1 un un 1 un Ta có un (un un 1 ) 2un 1.un 1 , n , n 2 Đặt 2vn vn 1 vn 1 vn (v ) cấp số cộng có cơng sai un n d v2 v1 1 v1 2018.2019 số hạng đầu 2018 2020 n 2018.2019 un 2018.2019 2020 n 2018.2019 2018.2019 n lim un lim lim 0 2020 2020 n 1 n Vậy Câu [DS11.C3.3.E03.d] Cho dãy số với n 1, n Tìm lim an an thỏa mãn: a1 n a n a n 1 a a n n 1 n n 1 , Lời giải n 2 * Dễ thấy un 0, n Từ giả thiết ta có un 1 1 yn * un ta có y1 1 Với n , đặt n 2 2 n2 n 1 un 1 1 n2 2 y n y n n y n y y y n 1 n n 1 n 1 n n 4 4 n 2 2 2 4n n 1 n 1 n un yn y1 2 n 1 n 16 n n 1 n 1 n Do Vậy lim un 4 Câu [DS11.C3.3.E03.d] (HSG Tốn 12 – Triệu Sơn, Thanh Hóa năm 2020) Cho dãy số định sau u1 1 un 1 un2020 2018un2019 un , u12019 u32019 un2019 u22019 lim un 1 2018 u2 2018 u3 2018 u4 2018 với n ¥ * un xác Tính Lời giải Ta dễ dàng thấy un 1 với n ¥ * 2020 2019 u Xét un 1 un un 2018un với n ¥ * nên dãy n tăng u u Giả sử dãy n bị chặn trên, n có giới hạn Giả sử lim un a 1 2020 2019 Từ hệ thức un 1 un 2018un un chuyển qua giới hạn có a a 2020 2018a 2019 a a 0 a 2018 (vô lý) u Vậy dãy n không bị chặn Suy lim un Ta có uk2019 uk 2018 uk2019 uk 1 uk uk 1 2018 uk 1 2018 uk 2018 uk 1 2018 uk 2018 1 uk 2018 uk 1 2018 u32019 un2019 u12019 u22019 1 u2 2018 u3 2018 u4 2018 un 1 2018 u1 2018 un 1 2018 u12019 u32019 un2019 u22019 lim un 1 2018 u2 2018 u3 2018 u4 2018 Vậy 1 1 lim u 2018 u 2018 n 1 u1 2018 2019 Câu u [DS11.C3.3.E03.d] (HSG 11 – Vĩnh Phúc 2012-2013) Cho dãy số n xác định sau: un u1 1 , u2 3 , un 2 2un 1 un , n 1, 2, Tính nlim n Lời giải u u Ta có un 2 un 1 un 1 un , n 1, 2, suy n 2 n 1 lập thành cấp số cộng có cơng sai 1 nên un 2 un 1 u2 u1 n.1 n Từ 1 ta un u1 un un un un u2 u1 n n un 1 n n n 1 n n 1 un u lim lim n2 2 n n n n 2n Vậy n lim Câu [DS11.C3.3.E03.d] (HSG 11 – Vĩnh Phúc 2014-2015) Cho dãy số u u1 1, un 1 n , n 1, 2,3, un Tính: lim un xác định bởi: 2014 u1 1 u2 1 un 1 2015n Lời giải u 1 un 1 n 1 un u1 un 0, n * Ta có un un 1 un n , n 1, 2, Do n 1 1 1 1 n n 1 n u1 1 u2 1 un 1 Suy Câu 1 2014 2014 u1 1 u2 1 un 1 2014 n 1 n 2014 lim lim lim 2015n 2015n 2015 2015 2014 u1 1 u2 1 un 1 2014 lim 2015n 2015 Vậy u [DS11.C3.3.E03.d](HSG 12 VĨNH LONG 2018-2019) Cho dãy số n xác định sau n u1 1 v n * i 1 ui un 1 un 3un 1, n Đặt , tính lim Lời giải Dễ thấy un 0, n Theo ta có un 1 un 3un 1 un 1 un 1 un un 1 un un Suy * n n 1 1 1 ui 1 u1 un 1 un 1 i 1 ui i 1 ui Do 1 lim lim un 1 Từ đó, ta có Câu [DS11.C3.3.E03.d] (HSG 11 – VĨNH PHÚC 2013-2014) Cho dãy số x1 1 xn 1 xn xn 1 xn xn 3 n n 1, 2,3 Đặt yn i 1 xn xác định sau: n 1, 2,3 . xi Tính lim yn x Lời giải Ta có xn 1 xn xn 1 xn xn 3 x n xn xn2 3xn xn2 xn k1 k Dễ thấy xn với n x2 5 nên xk 1 xk 3xk xk 3.3 3 xn 3n n 1, 2,3 Nên dễ dàng quy nạp ta xn 1 xn2 3xn xn 1 xn2 3xn xn 1 xn Do xn 1 xn 1 xn 1 1 xn xn xn xn xn 1 n Vậy Do n 1 1 1 yn xi 1 x1 xn 1 xn 1 i 1 xi i 1 xi xn 1 3n lim xn1 lim yn x x u1 2 un n 1 u u un un n 2un , n 1 Câu [DS11.C3.3.E03.d] Cho dãy số thỏa mãn Tìm giới hạn lim n 2un Lời giải Theo giả thiết ta có : n 1 un 1 u1 u2 un un 1 n 2un un 1 n 2n un 1 n 2un n un 1 nun n n n n n n un un un n2 n n 1 n n 1 n n n n u1 n n 1 n n n 1 un 1 un 4n 4n n 2un lim n 2un lim 4 n n 1 n 1 n 1 Câu [HH12.C1.1.E02.c] Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B , AB a Gọi I trung điểm AC Biết hình chiếu S lên mặt phẳng ABC điểm H thỏa mãn BI 3IH góc hai mặt phẳng SAB ; SBC 600 Tính thể tích khối chóp S ABC Lời giải Cách 1: BH AC AC SBH AC SB SH AC Từ giả thiết tốn ta có AJ SB IJ SB SAB SCB góc hai đường thẳng CJ SB Kẻ góc hai mặt phẳng AJ CJ SAB SBC Dễ thấy AIJ tam giác cân J , kết hợp với giả thiết góc hai mặt phẳng 60 ta có hai trường hợp sau : 0 TH1: AJC 60 AJI 30 Ta có IJ AI tan 600 a a BIJ BI IJ 2 vuông J có 0 TH2: AJC 120 AJI 60 IJ AI tan 300 Ta có BIJ BSH SH a a BIJ BJ BI IJ vng J có IJ BH a 2a IB AC BH BJ Mặt khác 2 2a a3 SH VS ABC SH S ABC 3 Ta có Câu [HH11.C2.1.E05.c] Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân B , AB a Gọi I trung điểm AC Biết hình chiếu S lên mặt phẳng ABC điểm H thỏa mãn BI 3IH góc hai mặt phẳng SI theo a SAB ; SBC 600 Tính khoảng cách hai đường thẳng AB , Lời giải d AB , SI d AB , SIE d B , SIE Gọi E trung điểm BC IE //AB Do ta có Do BI 3IH d B , SIE 3d H , SIE Kẻ HK IE , K IE SH ABC SH IE IE SHK SIE SHK Mặt khác ta lại có HF SK HF SIE d H , SIE HF d AB , SI 3HF Kẻ 1 SH HK HF 2 HK HS SH HK Xét tam giác vng SHK ta có : HF HK IH 1 a 2a 17 HK BE HF 51 Mặt khác BE IB Vậy d AB , SI 3HF 2a 17 17 Cách 2: Chọn hệ trục tọa độ Bxyz với A Bx , C By, Bz // SH Không tính tổng quát ta chọn a 1 1 C 0;1;0 I ; ;0 B 0;0;0 A 1;0;0 2 Ta có : , , 2 2 BI 3IH H ; ;0 S ; ;h 3 Gọi 3 với h Do 2 BS ; ; h BA 1;0;0 3 , BC 0;1;0 , 2 2 n1 BA , BS 0; h ; n2 BC , BS h ;0; 3 , 3 n1 n2 2 2 cos 600 h S ; ; 3 3 n1 n2 SAB SBC 600 nên Do góc 1 1 a3 VS ABC SH S ABC VS ABC 3 Do chọn a 1 nên 1 1 1 SI ; ;0 BA , SI 0;0; BI ; ;0 BA 1;0;0 6 , 6 , 2 Ta có : , BA , SI BI 17 d AB , SI 2a 17 17 d AB , SI BA , SI 17 Do chọn a 1 nên Bài [DS10.C4.2.E03.d] Cho số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện biểu thức x2 y2 P 7 x y x xy y Lời giải Ta có: Suy Tìm giá trị lớn x xy y 16 x 32 xy 128 y x y x 10 y 3 x 10 y 2 P 7 x y x xy y 7 x y 3x 10 y 4 x y 1 x y 1.x y x y 2 P 4.2 8 2 Mặt khác: 7 x y 0 x 2y 1 x y 2 x2 y2 3 Dấu đẳng thức xảy và x y 2 Câu Vậy GTLN P 8 đạt [DS11.C3.3.E03.d] Cho dãy số un , biết u1 12 , 2un 1 un n n u lim 2n 2 n 5n n n 2n với n 1 Tìm Lời giải Ta có: 2un 1 un n n 2un 1 un n 1 n 2 n 5n n n n n 1 n n 3 n n 1 n 2 n 1 n n 3 n n 1 n n n 1 n 2un 1 un un 2un 1 n 1 n n 3 n n 1 n n 1 n n n 1 un 1 * n 1 n n 3 n 1 n n n 1 n n n 1 un 1 v n n n , từ * ta có n n 1 n nên cấp số nhân có cơng bội Đặt un 1 q 1 v1 2, suy v1q n n n 1 n un 1 n n un n 3n 2 n 2 n n 1 n n n 1 Khi n n 1 n n 3n un lim lim n 2n 2n 2n 1 n n 1 n 2n C0n C1n C 2n C3n C nn C3n n 3 Ta có Do ta có bất đẳng thức sau 0 n n 1 n 2 2n 2n 1 6n n 1 n 2 n 3 n n 1 n 2n 1 6n n 1 n 2 lim n n 1 n 2n 1 Vì 0 lim nên n n 1 n 2 2n 1 n 0 lim Vậy Câu lim n 3n u lim 2n 2n nên 2n un 2n u1 1 2un u , n 1, n n 1 5un un [DS11.C3.3.E03.d] Cho dãy số thỏa mãn Đặt S n u12 u2 u32 un Chứng minh dãy S n có giới hạn hữu hạn tính giới hạn Lời giải u 0, n Bằng quy nạp ta dễ dàng chứng minh n un 1 Ta có: 2un 5un 5u 5un n 1 2 5un un un1 S n u12 u2 u32 un u12 u1 un un 5 Do đó: u Chứng minh n dãy giảm 25u n 1 20un 1 20un u n1 Thật vậy: uk 1 u2 u 61 5uk Giả sử uk uk uk 1 Ta chứng minh uk 1 uk 2 5uk 1 uk 1 uk 2 u u 0, n nên tồn lim un l ( l 0 l hữu hạn) Do dãy S n Vì n dãy giảm mà n có giới hạn hữu hạn Lấy giới hạn vế đẳng thức lim S n Vậy Câu 5un 1 2 5un ta có: 5l 2 5l l 0 [DS11.C3.3.E03.d] (HSG11-HÀ NAM-2013-2014) Cho dãy số u1 2014 * un 1 1 u1u2 un n n lim S k 1 uk Tìm n n S n Đặt Lời giải ui 1 1 u1u2 ui , i 1 ui 1 ui ui 1 ui i 1 ui 1 u1 i 1 , un xác định sau: 1 1 1 ui 1 ui ui ui ui ui 1 1 1 1 1 S n u1 un u1 u2 u3 un un1 u1 un 1 un1 u1u2 un u1 u1 0 un1 n 2014.2015n 1 2014.2015n 1 0 0 nlim n u n 2014.2015 n 1 lim S n n u1 1007 Vậy lim Câu [DS11.C3.3.E03.d] Tìm giới hạn dãy số có số hạng tổng quát: un 2 2 2 n Lời giải Ta có: 2 cos 2 cos 2 cos 2 2 cos 2 cos 2n (Chứng minh quy nạp) 2n 1 2n sin un 2n 1 cos cos cos cos n 1 sin 2 2 Ta có 1 sin n 1 lim u lim n n n 2n 1 2n sin