D03 giới hạn dãy số muc do 3

Câu xn 1  xn2  xn2 với số tự nhiên x  [DS11.C3.3.E03.c] Cho số thực a dãy số n n 0 với x0 a a n Khi Chứng minh dãy số  xn  có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn Lời giải Ta có xn 1  xn  xn  xn  1  xn    xn2 Do quy nạp ta Từ suy dãy  xn  xn   0;1 , n   giảm bị chặn nên tồn l lim xn , l  x0  xn2 l2 xn 1  l   l  l  2l 0 2  x 2 l n , chuyển qua giới hạn ta Từ  l  l  1  l   0  l 0 Do lim xn 0 Câu xn 1  xn2  xn2 với số tự nhiên x  [DS11.C3.3.E03.c] Cho số thực a dãy số n n 0 với x0 a n Khi a   0;1 Chứng minh dãy số  xn  có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn Lời giải Với Với a   0;1 a   0;1 , ta có xn a, n   suy lim xn a , ta có xn 1  xn  Do quy nạp ta Kết hợp với dãy xn  xn  1  xn    xn2 xn   0;1 , n   dãy số  xn  giảm  xn  bị chặn nên tồn l lim xn , l  x0 a  xn2 l2 l  l  l  2l 0 2  x 2 l n , chuyển qua giới hạn ta Từ  l  l  1  l   0  l 0 Do lim xn 0 xn 1  Câu n  1 un 1un nun2   ( u ) u  n [DS11.C3.3.E03.c] Cho dãy số xác định bởi: với số u  c nguyên dương n Tìm số thực c lớn cho n với số nguyên dương n Lời giải Ta chứng minh c 1 * Trước hết ta chứng minh un  1, n   (2) quy nạp Với n 1, hiển nhiên (2) Giả sử (2) với n k (k 2)  1 (uk  1)  k   k 1 uk   Khi đó: (a) k1 k1 k uk  uk   2    , k 2 k ku k k u k  k Mặt khác: (b) uk 1   uk 1    1 (uk  1)  k     uk 1  k 1 u k   Từ (a), (b) giả thiết quy nạp ta Vậy (2) với n k  Theo nguyên lí quy nạp (2) Vậy c 1  1 k 1 (uk  1)  k  ( uk  1)    uk 1   | un  | ( u1  1)  k 1 u k  k   n n Từ nên Suy lim uk 1 Do c 1 Vậy c 1 (đpcm) u1 1; u2 2   un 1  un  un   u  2 [DS11.C3.3.E03.c] Cho dãy số n xác định sau  , n 2 Tìm lim un Lời giải 1 un 1  un   un  un   1  v  u  u n 1 n 2 , n 2 Biến đổi ta đặt n 1 q v v v v  Nghĩa dãy , ,…, n ,… cấp số cộng có số hạng đầu , uk 1   Câu un  un    un   un     un  u1 v2  v3    v2 u2  u1 n n  1  1  un 1        3        2     n  lim un lim      3   2    Khi Câu u1 2013   un 1 n 1 unn   u  2013n [DS11.C3.3.E03.c] Cho dãy số n xác định sau:  u  thức số hạng tổng quát giới hạn dãy số n ? Lời giải * Ta có un  0, n  N 1  unn11  unn  n 2013 2013n u22  u11  20131 Do đó: u33  u22  20132 unn  unn 11  2013n  unn11 unn  Suy ra: unn  u11  1    2013 2013 2013n    1   2013    2012 n (n 1) Tìm cơng   1   n 2013  un  2013   2012 n   1   n 2013   un  2013   2012 n  n 2014      2014 2013 1  n n (Cô si) 2013   lim    1 n   Mặt khác Vậy lim un 1 Câu 1 an2 a  , a  a  ,  n  N*  n 1 n an   2013 [DS11.C3.3.E03.c] Cho dãy số thỏa mãn điều kiện n Sn  i 1  2013 , tìm lim Sn Đặt Lời giải an 1  an  n a  0, n 1 2013 Theo đề ta suy a  Vậy n dãy số tăng Giả sử bị chặn phải có giới hạn hữu hạn L Chuyển đẳng thức truy hồi sang giới hạn, L2 L L   L 0 2013 ta có an   Nhưng dãy số tăng bắt đầu nên điều xảy a  Vậy điều giả sử sai dãy số n không bị chặn an2 1 a  a 2013   n 1 n   an an 1 an 1.an  a  an  2013 a n  an  n  2013   Ta có n 1 Sn    a1 an 1 i 1  2013 Từ Ta có Câu lim an   lim Sn  [DS11.C3.3.E03.c] Cho dãy số u lim n n   n  un  xác định sau: u1 1, u2 3, un 2 2un 1  un  Tính Lời giải  u  un1 lập thành cấp số cộng có cơng sai Ta có un 2  un 1 un 1  un  1, n 1, 2, suy n 2 nên un 2  un1 u2  u1  n.1 n  (1) Từ (1) ta un  u1 un  un   un   un    u2  u1 n  n    n  n  1  un 1    n  n  n  1 un  lim  n   n n  2n 2 lim un  2 Vậy n  n lim Câu u  [DS11.C3.3.E03.c] Cho dãy số n xác định sau: n u1 2014  n   * S n   lim S un 1 1  u1u2 un k 1 uk Tìm x   n Đặt Lời giải ui 1 1  u1u2 ui i 1  ui 1  ui  ui  1  ui  1, i  1; ui 1   u1 , i  1 1 1      ui 1  ui  ui ui ui  ui 1  1 1 1 1 1 Sn              u1 un u1 u2  u3  u3  u4  un  un 1  u1 un 1  un 1  u1u2 un  u1   u1   0 Câu 1  n 2014.2015n  1 2014.2015n  un 1  1 lim 0  lim 0  lim Sn   n   2014.2015n  n  u n   2014 1007 n 1  Mà n * u  [DS11.C3.3.E03.c] Cho dãy số n biết u1 2 un 1 3un  với n   Tìm số hạng tổng u lim n u  un 1 quát dãy n Tính Lời giải n Ta có un 1 3un   : un 1   4n 1 3  un   4n    Tìm số n n 1 n  1 ,      3.4   4    Từ   : un1  4n1 3  un  4n  n v 2, 1 3vn  n 1 v  Xét dãy n với un  n n n n n Khi  2.3  un   2.3  un 4  2.3 lim Câu un 4n  2.3n  1 lim n 1  un 1  2.3n x  [DS11.C3.3.E03.c] Cho dãy số n xác định sau:  x1 1  n 1, 2,3   x  x x  x  x         n n n n  n 1 n y n   n 1, 2,3 . lim y x  i  i Đặt Tính x  n Lời giải Ta có xn 1  xn  xn  1  xn    xn  3   x n  3xn   xn2  3xn     xn2  3xn  k k Dễ thấy xn  với n x2 5 nên xk 1  xk  3xk   3xk  3.3 3 xn  3n   n 1, 2,3  Nên dễ dàng quy nạp ta x  xn2  3xn   xn1   xn2  3xn   xn  1  xn   Do n 1 1 1 1        xn 1   xn  1  xn   xn  xn  xn  xn  xn 1  n n  1  1 1        xi 1   x1  xn 1  xn 1  i 1 xi  i 1  xi  Vậy xn 1  3n  lim xn 1   lim yn  x   x   Do u1 1  *  ,  nN   u  un1  un  2n [DS11.C3.3.E03.c] Cho dãy số n có  Tính lim un Lời giải 1 un 1  un2  n un21 un2  n  n  N*  nên , Do Khi  2 u2 u1   u u  22    u u   un2 u12          n  n n    2n  2 2n y n  Câu Câu 1   lim un lim   n   2   Vậy u  [DS11.C3.3.E03.c] Cho dãy số n xác định sau: u1 1 , u2 3 , un 2 2un 1  un  , u lim n n 1, 2, Tính n   n Lời giải +) Ta có un 2  un 1 un 1  un  1, n 1, 2,  u  un1 lập thành cấp số cộng có cơng sai Suy n 2  1 Do un 2  un1 u2  u1  n.1 n  +) Từ  1 ta un  u1 un  un  un  un   u2  u1 n  n    n  n  1 u 1    n  n n  n  1 u lim n2  lim  n   2n 2 +) Từ n  n u lim n2  Vậy n  n Suy Câu u1 2018  n  *   un   u  2018 u  u n n [DS11.C3.3.E03.c] Cho dãy số xác định sau:  n 1 u u u u  lim      n  un 1   u2 u3 u4 Tìm Lời giải CM dãy tăng: un 1  un 2018u  n - giả sử có giới hạn a thì: a 2018a  a  a 0  2018 ( Vơ lí) nên lim un  n un un2 (u  u ) 1   n 1 n  (  ) - ta có: un 1 un 1un 2018un 1un 2018 un un 1 1 1 S lim(  ) 2018 n  u1 un 1 20182 Vậy: xn 1  Câu   cos 2  xn  cos2    cos 2  xn   cos 2 x  [DS11.C3.3.E03.c] Cho dãy n : x1 1 ; n y n  i 1 xi  , n 1 Tìm  để dãy số  y n  có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn Đặt Lời giải Ta có: 2sin  3xn  2sin  xn  cos     xn 1  2 xn 1 3  xn  1 4sin  xn   2sin  1    n    n   sin  xn 1   n n n 1  3  1  1   y n   i  sin     i      n    n    n   sin     2   i 1 xi  i 1 i 1  lim n 0 y  Vì nên dãy n có giới hạn hữu hạn  sin  0   k  x1 1  1 2013   xn 1   xn   , n 1  2 xn  x  [DS11.C3.3.E03.c] Cho dãy số n xác định sau  lim x Chứng minh dãy số có giới hạn tìm n  n Lời giải  Câu Dễ thấy xn  với n 1 2013  2013 xn 1   xn   2013, n 1   xn 2 xn  xn Ta có x  Như vậy, xn  2013, n 2 x1 1 nên n bị chặn  2013  xn2  2013 xn 1  xn    xn   0, n 2  xn xn  Mặt khác, x   x  Do từ số hạng thứ hai n dãy giảm Từ suy dãy n có giới hạn hữu hạn 1 2013  a  a    a  2013 0  a  2013 a  lim x a   n , Đặt mà xn  0, n nên a  2013 Vậy lim xn  2013 Câu u1 1, un 1  un , n 1, 2,3, un  Tính u  [DS11.C3.3.E03.c] Cho dãy số n xác định bởi: 2014  u1  1  u2  1  un  1 lim 2015n Lời giải un 1 un 1    1  un  * un  un 1 un n , n 1 , ,…, Do u1   un  , n   Ta có         n 1 1 1    n  u  u  u  u          n         n  n 2014  u1  1  u2  1  un  1 2014  n  1 2014 lim  2015n 2015n 2015 Suy 2014  u1  1  u2  1  un  1 2014 lim  2015n 2015 Vậy lim Câu [DS11.C3.3.E03.c] Cho số thực dương u1 a ; v1 b   un  * un 1  ; 1  un ,  n   Chứng minh hai dãy a, b  a  b  hai dãy số  un  ;  xác định sau:  un  ;  có giới hạn hữu hạn lim un lim Lời giải v2  u1v1  ab  b v1 u1  v1 a  b   a u1 2 Ta có: Chứng minh quy nạp v1  v2   vk ; u1  u2   uk u2  uk   vk   uk  1.vk  vk (do uk  vk  ) u v uk 1  k k  uk vk 1  uk vk  vk nên v1  v2   vk  vk 1  uk 1  uk  u1 Vậy (un ) giảm bị chặn dưới; ( ) tăng bị chặn nên tồn uk  lim un  ; lim  u v   un 1  n n       2 Vậy lim un lim Câu u1 2012   n  4n  u  un , n 1  n 1 un   n  n [DS11.C3.3.E03.c] Cho dãy số xác định u lim u n Hãy lập cơng thức tính n theo n tính Lời giải u1 2012   n  4n  u  un , n 1  n 1 n  4n Cho dãy số (un) xác định  un 1  Ta có un 1  1    v  q n n  2n 2 số hạng đầu Đặt cấp số nhân có cơng bội 2012 4024 n  2n u 2012    un  v1   n 3 3 2n n(n  1)( n  2) 2n (1  1)n Cn0  Cn1  Cn2  Cn3   Cn2 Cn3  +) Ta có n  2n  un  8048 n( n  1)(n  2)    n  2n n n2 lim  8048  8048.lim 0  2 n( n  1)( n  2)    1  1   lim un 0 n  n  u0 u1 1  u  un  uu  ,  n  N , n 2  u  [DS11.C3.3.E03.c] Cho dãy số n xác định sau  n 1 Tìm lim un  Câu 1 ( n  1)2  2(n  1) un 1 u un   n 2 n  2n ( n  1)  2(n  1) n  2n Lời giải Chứng minh dãy số  un  dãy số tăng quy nạp n 3, un  un   uu   un  un  4un  un   vi un   Suy  un  dãy số tăng bị chặn nên dãy số  un  có giới hạn Đặt lim un a  a 4 Câu [DS11.C3.3.E03.c] Cho un  f  n   n  n  1  f (1) f (3) f (5) f (2n  1) Xét dãy số  un  thỏa mãn , n 1, 2, 3, lim n un Tính n  Lời giải f (2n  1) (2n  1)   2 2 f ( n ) (n  n  1)  (n  1)  ( n  1)  1 (2n  1)  Ta có Suy f (2n ) 12  32  (2n  1)2  un  2    2 1 1 (2n  1)  (2n  1)  n  n Do f (2) f (4) f (6) f (2 n) lim n un Vậy n  Câu lim n = n  1 2n  n = 2 u1 4   un  un    n  , n 2  un   [DS11.C3.3.E03.c] Cho dãy số xác định cơng thức , Hãy tìm cơng thức tổng quát un tính lim un Lời giải 1 un  un   un   un   2 Ta có , 1  un  un    un   un     un   un    n   u2  u1   2 Từ u2  u1 u2  u1  u3  u2   u2  u1     u4  u3   u2  u1     un  un   n   u2  u1   1 1   un u1   u2  u1        n   2 2   1  n 1 1 1      n   2  n   1 2 2  1 2n  Mà u2  u1 1 Nên  n   1 un 4  2n     lim un lim     n      6   Suy Câu u1 2, u2 5  un 2 5un 1  6un , n 1 ( u )  n [DS11.C3.3.E03.c] Cho dãy số xác định sau Tính giới hạn u  lim  nn  3  Lời giải Từ giả thiết ta có un 2  2un 1 3(un1  2un ), n 1 Suy dãy 1 un 1  2un cấp số nhân n n n (1) có cơng bội q 3  1 3 v2 3 (5  2.2) 3 Cũng từ giả thiết ta có un 2  3un 1 2(un 1  3un ), n 1 Suy dãy wn 1 un1  3un cấp số n n n (2) nhân có cơng bội q 2  wn 1 2 w2 2 (5  3.2)   un 1  2un 3n   un 3n   2n   n u  3un  Từ (1) (2) ta có hệ  n 1  1  n   3n   2n    un  lim  n  lim   lim       3n 3        Suy Có thể giải theo cách sau:   5  0 Xét phương trình đặc trưng dãy truy hồi Phương trình có nghiệm 1 2, 2 3 1 u1 2, u2 5  a  , b  n n u  a  b 3 Do n Với n Suy un 3 2 n u  lim  nn   3   n Câu [DS11.C3.3.E03.c] Tính lim   1 sin  n  n n    Lời giải   n   n lim   1 sin  n  n  lim   1 sin  n   n2  n  n  n    n n  n  n  lim sin    1 n   n   n2  n  n   [DS11.C3.3.E03.c] (HSG cấp tỉnh lớp 11 – Quảng Bình – 2012 - 2013) Tính     lim sin  Câu n  lim  n4  n2   n6 1  Lời giải Ta có: lim  n  n2 1   n6  lim  n4  n2 1  n2  ( n6 1  n2 )    1      n 1 n  lim n  n 1  n lim  lim   2   1  n  n 1  n     1  n n   lim( n   n ) lim 0 (n  1)  n (n  1)  n lim n  n   n6 1  Do    Câu  3 [DS11.C3.3.E03.c] (HSG 11 – VĨNH LONG 2013-2014) Tính giới hạn A lim n  n   n Lời giải (n3  n  1)  n3 lim 3 n  n n3  n   (n3  n  1) Ta có A lim n  n   n = 1 n lim  1 1     (1   )2 n n n n Câu [DS11.C3.3.E03.c] (HSG 2018 - 2019 - THPT Đan Phượng - Hà Nội) Tính giới hạn  23  33  n3   I  lim   n     n 1   Lời giải 2 k  k  k  k 1 k  k  k 1   k  k  k  k  k   k  1   k  1  Ta có: 23  33  n3  un   1 n 1 suy   2     32         n  n2  n         12     22     32     n   n  1   n  1    =  n  n  1  n  1 !   n  n  1  3n  n 1  n  1 ! Câu [DS11.C3.3.E03.c] (HSG cấp tỉnh Nam Định 2014-2015 – Dự bị) Cho dãy số  un  xác định u lim n2 u  1, u  3, u  u  u  n   n 2 n 1 n n sau: Tính Lời giải u u Ta có un 2  un 1 un 1  un  1, n 1, 2, suy  n 2 n 1 lập thành cấp số cộng có cơng sai nên un 2  un 1 u2  u1  n.1 n  (1) Từ (1) ta un  u1 un  un   un   un    u2  u1 n  n    n  n  1  un 1    n  n  n  1 un  lim  n   n n   2n 2 u lim n  n   n 2 Vậy lim Câu [DS11.C3.3.E03.c] (HSG cấp tỉnh Hà Nam 2013-2014) Cho dãy số u1 2014  un 1 1  u1u2 un  un  xác định sau: n  n   * Đặt lim S n k 1 uk Tìm x  Lời giải S n  ui 1 1  u1u2 ui i 1  ui 1  ui  ui  1  ui  1, i  1; ui 1   u1 , i  1 1 1      ui 1  ui  ui ui ui  ui 1  Sn  1 1 1 1             u1 un u1 u2  u3  u3  u4  un  un 1  u1 un 1  un 1  u1u2 un  u1   u1   0 un 1   n 2014.2015n  1 2014.2015n  1 0  lim 0  lim Sn   n  n   2014.2015 n  u n   2014 1007 n  Mà lim Câu [DS11.C3.3.E03.c] (HSG OLIMPIC 11– Quảng Nam – 2018) Cho dãy số un 1 3un  với n   Tìm số hạng tổng quát dãy  un  Tính Lời giải n Ta có un 1 3un  n Tìm số Từ *  : un 1   4n 1 3  un   4n     1 ,      3.4   : un1  n 1 n 4 n 1 3  un  n  4  n    lim un un 1  un  biết u1 2  v  v 2, 1 3vn  n 1 un  4n Xét dãy n với n n n n n Khi  2.3  un   2.3  un 4  2.3 lim Câu un 4n  2.3n  1 lim n 1  un 1  2.3n u1 1   u  u   n  n u  n , n  * Tính lim un [DS11.C3.3.E03.c] Cho dãy số n có  Lời giải un1  un2  1)Do Khi 1 un21 un2  n n nên với n  *  2 u2 u1  21  u2 u2   22   u2 u2  n  n n un2 u12  1 1 1      n 1     n 2   n  2 2 2    1 lim un lim   n     Vậy Câu [DS11.C3.3.E03.c] Cho dãy số n 1, 2, u lim n n  n2 Tính  u  xác định sau: n u1 1 , u2 3 , un2 2un1  un  , Lời giải +) Ta có un2  un1 un1  un  1, n 1, 2,  u  un1  lập thành cấp số cộng có cơng sai Suy n2  1 Do un2  un 1 u2  u1  n.1 n   1 ta un  u1 un  un  un  un   u2  u1 n  n    +) Từ n  n  1 un 1    n  Suy n  n  1 u lim n2  lim  n  2 n2 +) Từ n  n u lim n2  Vậy n  n Câu [DS11.C3.3.E03.c] [HSG11_BẮC GIANG_2012-2013] Cho dãy số (u n ) xác định sau  x1 1  1 2013  , n 1  x  x   n  n  2 xn   lim xn Chứng minh dãy số có giới hạn tìm x  Lời giải Dễ thấy xn  với n 1 2013  2013 x2 n1   xn   2013   xn 2 xn  xn Ta có Do xn 2013 với n 1  xn dãy số bị chặn  2013  xn2  2013 xn1  xn    xn   0  xn xn  Mặt khác (do xn  2013 với n 2 ) Do dãy  x  giảm kể từ số hạng thứ ba trở n Từ suy dãy  x  có giới hạn hữu hạn n 1 2013  2013 a  a     a a lim xn 2 a  n  a  a  2013 Đặt suy Vậy Câu lim xn  2013 n  xn  với n x [DS11.C3.3.E03.c] (HSG cấp trường Dương Xá – Hà Nội) Cho dãy  n  :  cos2  xn  cos2   xn1  x1 1 ;   2cos2  xn   cos2 n yn  i 1 xi  , n 1 Tìm  để dãy số  yn  có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn Đặt Lời giải Ta có: 2sin  xn  2sin  xn  cos2     2 xn 1 3  xn  1 4sin  xn   2sin  1     n    n  sin  xn1   n n n 1  3  1  1   yn   i  sin     i      n    n    n   sin     2   i 1 xi  i 1 i 1  lim n 0 y Vì nên dãy  n  có giới hạn hữu hạn  sin  0   k xn1  Câu  un  [DS11.C3.3.E03.c] [HSG11-VĨNH PHÚC-14-15] Cho dãy số u 2014  u1  1  u2  1  un  1 u1 1, un 1  n , n 1, 2,3, lim un  2015n Tính: Lời giải xác định bởi: un 1   1  un  un  un 1 un n , n 1 , ,…, Do u1   un  , n   Ta có         n 1  u1  1  u2  1  u3  1  un  1    1   1   1  n  1  n n  * Suy Vậy Câu lim lim un 1  2014  u1  1  u2  1  un  1 2015n 2014  u1  1  u2  1  un  1 2015n  lim 2014  n 1 2015n  2014 2015 2014 2015 [DS11.C3.3.E03.c] (HSG K11 Bắc Giang 2013 – 2014) Cho số thực dương u ; v dãy số  n   n  xác định sau: a, b  a  b  hai u1 a ; v1 b   un  * un 1  ; 1  un ,  n   Chứng minh hai dãy  un  ;  có giới hạn hữu hạn lim un lim Lời giải v2  u1v1  ab  b v1 u1  v1 a  b   a u1 2 Ta có: Chứng minh quy nạp v1  v2   vk ; u1  u2   uk u2  uk   vk   uk  1.vk  vk (do uk  vk  ) uk  vk u   uk k  vk 1  uk vk  vk nên v1  v2   vk  vk 1  uk 1  uk  u1 Vậy (un ) giảm bị chặn dưới; (vn ) tăng bị chặn nên tồn lim un  ; lim  u v   un 1  n n       2 Vậy lim un lim uk  Câu [DS11.C3.3.E03.c] (HSG lớp 11 – sở GD Thanh Hóa – 2017 - 2018) Cho dãy số định {u1=2012 ¿ ¿¿¿ u lim un Hãy lập cơng thức tính n theo n tính Lời giải {u1=2012 ¿ ¿¿¿ Cho dãy số (un) xác định u u ( n+1) +2( n+1) n+1 un+1 = u n⇔ = n 2 n +2 n (n+1) + 2(n+1) n +2 n Ta có  u  xác n v n= Đặt un ⇒ v n+1 = v n  v  n  cấp số nhân có cơng bội n + 2n u1 2012 v1= = 3 +) Ta có ⇒ v n= q= 2012 4024 n2 +2 n ⇒u = n 2n−1 2n 2n =( 1+1) n=C 0n + C1n +C2n +C3n + +C2n≥C 3n = số hạng đầu n(n−1)( n−2) n +2n ⇒|u n|≤|8048 | n(n−1)(n−2 )   n  2n  n n lim  8048 8048.lim 0  n(n  1)( n  2)        n  1  n  ⇒ lim u n=0    Câu [DS11.C3.3.E03.c] (HSG cấp trường lớp 11 – THPT Cẩm Thủy – Thanh Hóa – 2017 - 2018) u0 u1 1  lim un u  un  uu  ,  n  N , n 2  un   Cho dãy số xác định sau  n 1 Tìm n   Lời giải u0 u1 1  lim un u  un  uu  ,  n  N , n 2  un   Cho dãy số xác định sau  n 1 Tìm n   Chứng minh dãy số  un  dãy số tăng quy nạp n 3, un  un   uu   un  un  4un  un   vi un   Suy Đặt Câu  un  dãy số tăng bị chặn nên dãy số  un  có giới hạn Lim un a  a 4 n   [DS11.C3.3.E03.c] (HSG trường THPT Nga Sơn-Thanh Hóa 2017-2018) Cho tứ Cho f  n   n  n  1  un  Tính Xét dãy số f (1) f (3) f (5) f (2 n  1) f (2) f (4) f (6) f (2n) lim n un n    un  thỏa mãn , n 1, 2, 3, Lời giải f (2 n  1) (2 n  1)   f (n) (n  n  1)  (n  1)  (n  1) 1 (2n  1)  Ta có Suy f (2n) 12  32  (2n  1) 1 un  2    2 1 1 (2n  1)  (2 n 1) 1 n  n Do 1 n lim n un nlim Vậy n   =   2n  2n = 2 2 Câu [DS11.C3.3.E03.c] (HSG trường THPT DTNT Con Cuông- Nghệ An 2009-2010) Cho dãy số u1 4   u   n  un  xác định công thức  un  ,  n  , n 2  Hãy tìm cơng thức tổng qt un tính lim un Lời giải 1 un  un  un  un  2 Ta có , 1  un  un   un  un    un  un   n  u2  u1   2 Từ u2  u1 u2  u1  u  u   u  u   2   u4  u3   u2  u1     un  un  n1  u2  u1    1 1  un u1   u2  u1        n  2 2   1  n 1 1 1      n  2 n  1 2 2  1 2n Mà u2  u1 1 2 n  un 4  2n Nên    lim un lim     n     6   Suy   Câu   [DS11.C3.3.E03.c] (HSG CẤP TỈNH - THANH HÓA- 2017-2018) Cho dãy số (un ) xác định u1 2, u2 5 u   lim  nn  u  u  u ,  n  n 1 n 3  sau  n 2 Tính giới hạn Lời giải Từ giả thiết ta có un 2  2un 1 3(un 1  2un ), n 1 Suy dãy vn1 un 1  2un cấp số nhân n n n (1) có cơng bội q 3  1 3 v2 3 (5  2.2) 3 Cũng từ giả thiết ta có un 2  3un 1 2(un 1  3un ), n 1 Suy dãy wn 1 un 1  3un cấp số n n n (2) nhân có cơng bội q 2  wn 1 2 w2 2 (5  3.2)   un 1  2un 3n   un 3n   n  n u  3un  Từ (1) (2) ta có hệ  n 1  1  n   3n   2n   u  lim  nn  lim   lim        3n 3    3 3  Suy Có thể giải theo cách sau: Xét phương trình đặc trưng dãy truy hồi Phương trình có nghiệm 1 2, 2 3   5  0 1 u1 2, u2 5  a  , b  u  lim  nn   n n 3  Suy un 3  [DS11.C3.3.E03.c] (HSG Tốn 11 – Cụm Hồn Kiếm Hai Bà Trưng năm 1617) Tìm giới hạn n n Do un a.2  b.3 Với Câu dãy  un  biết u1 1 ; un1  2un2  3un  3un  Lời giải + Ta có un  , ta chứng minh un  Thật u1 1  , giả sử uk  , ta cần chứng minh 2u  3uk   k 2    uk  2 uk 1   2uk  3uk   3uk  2 (đúng) Vậy un  u  + Chứng minh n dãy tăng  un1  un   un2  un     un  (đúng) Suy  2un2  3un   un  2un2  3un   3un2  2un 3un   un  dãy tăng bị chặn nên tồn lim un c c  3c  3c   c 2  lim un 2 * x [DS11.C3.3.E03.c] Cho dãy số n với n   xác định sau:  c Câu  x1 3   xn 1  xn  xn  a) Chứng minh dãy số b) Xét dãy số  yn   xn  không bị chặn xác định yn  1    x1  x2  xn  Tìm lim yn Lời giải x  x  xn2  xn   xn   0  xn 1  xn , n  * a) Ta có n 1 n Giả sử dãy  xn  bị chặn suy dãy  xn  có giới hạn hữu hạn Ta giả sử lim xn a , a 3 2 Mặt khác xn 1  xn  xn  xn  nên a a  3a   a 2 mâu thuẫn với điều kiện a 3 x Vậy dãy số n không bị chặn 2  xn 1   xn  1  xn   b) Ta có xn 1  xn  xn   xn 1   xn  xn   1 1 1       xn 1   xn  1  xn   xn  xn  xn  xn  xn 1  Do yn  1    x1  x2  xn 