D05 phương pháp đánh giá muc do 4

Câu  y  y  y  ln    [DS10.C3.2.E05.d] Giải hệ phương trình  x  x  y  y  Lời giải    x   x  ln    y   y  x  x  ln   x2 1  x f  u  u  u  ln u   u Xét hàm số  2 f  u  u         y  y  y  ln x   x  ln    y  y  x3  x Ta viết lại hệ phương trình dạng  Cộng vế hai phương trình     , thu phương trình: y  y  ln y 1  y y 1  y   1  2   3  với u   , ta có   0, u   2 u 1  u 1  f u  hàm số   đồng biến  Từ phương trình   suy x  y , thay vào phương trình   ta thu phương trình: x  x  x  0   7 t  x   * t3  t  0  5 3 27 Đặt , ta phương trình Nếu (VN) t    7 1 t       , , ta đặt  5    1  0        0  7 Xét 3t 3t cos   1 t cos  **   0;    7 Đặt , tồn cho , thay vào  5 ta thu phương trình: t   7 arccos    14  2k 7  4cos   3cos   cos3      ,k  14 14 3   7 7 arccos   arccos     14  14  2    ;      0;   3 , thay vào Vì nên ta thu nghiệm  **  * ta thu nghiệm:     7 7 arccos    arccos      14  14  2  7    x1   ; x2    3 3  3         7   arccos     14  2    x3     3      Vậy hệ phương trình cho có nghiệm:     7 7 arccos   arccos       14  14   2    ;    3 3     x; y    ,         7 7    arccos     arccos      14  2   14  2   2      ;      3 3  3              ’         7 7     arccos      arccos      14  2   14  2   2      ;     3  3  3  3               Câu   x 2 y 2   x  xy  y 0 [DS10.C3.2.E05.d] Giải hệ phương trình  Lời giải   x 2 y 2 (1)  4  x  xy  y 0 (2) x   y 2   x 3  y  Kết hợp (2) x 0 ; x 0 không thỏa mãn 2     2     y     y  x  x Xét f  t  t  t   y  x  y x 2 Thay vào (1)  0;  , chứng minh f (t ) đồng biến  0;  4 2 y 2 g  t     2t  2  ;  y t Xét nghịch biến  g    0 nên y  từ x =  x; y   1;   Câu KL [DS10.C3.2.E05.d] (HSG11 - THPT Lê Quý Đôn – 2013 – 2014) Giải hệ phương trình :  x  y  x  1 (1)   (2) 3 y  z  y  y  1   z x  z  z  z  1 (3) Lời giải Nếu x 0 từ (1) suy y 0 từ (2) suy z 0 Thay vào (3) thỏa mãn Nếu x 0 từ (1) ta y  , từ (2) suy z  từ (3) suy x  x  y   x  2 xy  x  y Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có 2 y  z y  y   z.3 y  y  z Tương tự 4 z  x z  z  z  x.4 z  z x Và x  y  z  x x  y  z Suy hay x  y  z 1 Hệ có nghiệm: (0;0;0), (1;1;1) Khi thay vào hệ ta được:    Câu   y   x   y  y  x  x 0 (1)   3 x    x  y  1  x  1   y  1 (2) [DS10.C3.2.E05.d] Giải hệ phương trình sau Lời giải: x  Điều kiện: (1)  x   y   x  y  y  y 0  Ta có Thay    y  y   y  Do x 2 y x  y  y   (loại) x vào pt (2) ta  x   x  x  x  VP  x    x  2 x  Câu 3 VT  1 x  1  4.4  x    x   x  10   x   2 2 Dấu “=” xảy x 2  x; y   2;1 Hệ có nghiệm xy  2  x  y  x  y 16   x x  x x  y 4y 2y 2 [DS10.C3.2.E05.d] Giải hệ phương trình  Lời giải: x x y  y   0 y      x  y 0  x  0 y Từ phương trình thứ hai hệ ta suy ra:  xy xy x2  y  16  ( x  y )  16  xy  0 x  y x  y Ta có   x  y    ( x  y )  4( x  y )  xy  0   x  y    x  y  4( x  y )  0 (*) x2  x y  x2  x y  x3 x     2      4y  2  4y  2  2y x2  x  y y Suy phương trình thứ hai hệ  x  y 4    x2   x  y 2y  Do hệ cho  x  y 4   2 x  xy  y    x  y 4   x   48; x   48  x   48  x   48  ;  y 8  48  y 8  48 nghiệm hệ Câu 1.[DS10.C3.2.E05.d] Giải hệ phương trình sau  x  xy  y  x  xy  y 3  x  y    x  y   x  12 y  2 xy  y   1  2  x, y    Lời giải Ta có: x  xy  y  x  xy  y    2x  y  2  2x 2   x  y   y2   2y 2   x  y   x2   x  y    x  y  3  x  y  Dấu “=” xảy  x  y 0 Khi đó:  2    3x   19 x  2 x  x  3x     x  1 3x 1    19 x   2 x  x  38  x  1   x 1     3x 1    19 x    19 x    x  1  x  3 38  19 x    3 19 x   2 x  (*) Xét phương trình (*) , ta thấy x 0 nghiệm (*) Với x  , ta có:  3x 1  38  19 x  8  3 19 x     2x  Nên (*) nghiệm dương Câu  x, y     0;0  ,  1;1  Vậy hệ phương trình có nghiệm [DS10.C3.2.E05.d] Giải hệ phương trình sau  x  y   3 y  x   x  1  y  1    y  35   x  3  y    x  y  23  Lời giải ĐKXĐ: x  1, y 1, x  y  23 0 Ta có  1   x  y    x  y    x   2   x  y  2   x 1  y   x  y  0   y x   x   y  Thay vào phương trình (2) ta 0  x  1  y  1  y  0 x  3  x     x  17  x  x  25   x  x  25  x  3x  x  12 x    x  x  25  x  3  x  1   x  x  1   x  1 a  x  x  1, b  x   a  0, b 0  Đặt  a  26  ab 3a 2b2  9a  3b2 , ta phương trình  a 3b  3a 2b 26ab  9a  3b   a  3b   a 2b  9a  b  0  a 3b Từ ta có x  x  3 x   x  10 x  0  x 5  33 Kết hợp với điều kiện suy hệ phương trình cho có nghiệm: (5  33;7  33), (5  33;7  33) Câu     y x  lg x   x    z  y  lg y   y   x  z  lg z   z [DS10.C3.2.E05.d] Giải hệ phương trình     Giải + Nhận xét  y x  lg    z  y  lg   x  z  lg  x   x  0x x  y z  1 y  1 z   x2 2  f  x  x  lg x   x  + Chỉ hàm số hàm số đồng biến y  f  x   f  y  z  y z + Giả sử x  y Khi Do Câu z  f  y   f  z  x  x  y z + Thay x  y  z vào hệ, thu x  y  z 0 [DS10.C3.2.E05.d] Giải hệ 2 2  x  xy  y y  xy  x  ( x  y )  2 45 y  18 xy  18 x  45 x  18 xy  18 y   ( y  1)  x   2(   x )    y   x y  Lời giải Điều kiện x  y  phương trình sau: x  xy  y Phương trình thứ tương đương  x  xy  y  y  xy  y x  xy  y Mặt khác:  (2 x  y )  ( x  y )  y  xy  x 2y  x 2   2x  y y  xy  x (1) (2) x  xy  y y  xy  x Cộng (1) (2) ta có trình thứ tương đương x  y Phương Thế vào phươn  1  2x  y y  x 1 Tương tự ta có:  2  1  2x  y y  x g trình thứ hai ta có x  x  x   2  x    x     x  3  x    x     x Đặt a  x   0; b    x  Khi phương trình (*) viết thàn a  a b`4 b   a  b   (a  b)(a  b )  1 0 2  a b (vì ( a  b)( a  b )   )    x  x    x  x   x  x  0  x 1 hay x 3 (chọn hai nghiệm)  x 1  x 3   Kết luận:  y 1 hay  y 3 Câu [DS10.C3.2.E05.d] Giải hệ phương trình: 3 x   x (4  y )  y   2y  y 9 x  x   1 y y   (1) (2) Lời giải y  Điều kiện: Do x 0 không nghiệm nên   (1  y )  y   y x x (1) (3) Đặt f (t ) t  3t , ta có f '(t ) 3t   , với t nên f tăng  Do x   1 (3)  f    f  y    y   x  x  x 1  y  Khi (2) viết lại   x  x     1 1 y  1 y     3x  y (2 x  y )(2 y  x)  x  x   x    x (4) 0t  Để x nghiệm  x 1 nên tồn Ta có (4)  9sin t  sin t   9sin t   cos t  cho x sin t   sin t  cos3 t   7(sin t  cos t )  0 (5)  0t  nên u  Đặt u sin t  cos t , Khi (5) viết lại   u  (lo¹i)    u  (lo¹i)   u  3  9u  13u  0  sin t  cos t   sin t cos t  u 18 ta có hệ  Với Khi sin t , cos t nghiệm phương trình 2    0 18 1,2  Câu 4  4   1,  x 6 nên Phương trình có hai nghiệm  113 72 y 49 Khi Thử lại tất điều kiện, ta thấy thỏa    113 72  ( x, y )  ,  49   Vậy hệ có hai nghiệm [DS10.C3.2.E05.d] Giải hệ 8( x  x)  (11x  11) 11x   y  xy  12 x y  y (1)  2 (2)  x  x   ( x  2)  y Lời giải Điều kiện: x  phương 11 Phương trình (1) viết lại  11x    11x  ( y  x)3  4( y  x) (3) Xét hàm số f ( x )  x  x Ta có f ( x1 )  f ( x2 )  x12  x1 x2  x22   x1  x2 , với x1 , x2   nên f tăng  Do trình: (3)  f   11x   f ( y  x)  11x   y  x  y 2 x  11x  Thế vào (2), ta x  x   11x   x  x    x  x   (2 x  1)  ( x  3)  11x   x  x  x2  5x  x2  5x    x  x  2 x  x   x  x   11x   x  x  0   1   (VN)  x  x   x  x   11x   x  17 Kết hợp điều kiện, phương trình có hai nghiệm Câu x  17 [DS10.C3.2.E05.d] Giải hệ phương trình  x( y  1)  y ( z  1) z ( x  1)   x  y  z  0 Lời giải Xét x(1  y )  y (1  z ) z (1  x) Đẳng thức thứ suy ra: y ( z   x) x nên Nếu z   x x 0 , suy z  không thỏa mãn x y z   x đẳng thức thứ trở thành Nếu z   x x( z  1)  z ( x  1)  z   x and ( z  x)(( x  1) z  1) 0 z 1  x Từ đó: Nếu z  x x  y  z z  ( x  1) z  x  , x 0 ( z   x ) Nếu z  x z   x x  Ta được: ( x, y, z ) (u, u, u ) 1 ( x, y, z ) (u ,   ,  ) u u  với u  { 1, 0} Thay vào phương trình x  y  3z  0 ta nghiệm cụ thể Câu 3 y  x  y   x  y  x  4 y     x  y 1  x  y [DS10.C3.2.E05.d] Giải hệ phương trình:  Lời giải Điều kiện:  x 2  y     y  x  y  0 5 y  x 0   0;0  không nghiệm hệ Ta có: x 0 Từ (1)  y 0 Thay vào (2) không thỏa nên y  x  y  0  xy   t  Xét x y 0 Đặt y tx Ta có Phương trình (1) viết lại: t   t   5t  4t (1 đ) t 2 Điều kiện: Áp dụng BĐT AM – GM, ta có: t   t  3 t 2t   t   Cộng vế theo vế, ta được: 3  2t    t  1 2 5t   5t  (1 đ) t   t   5t  4t Do có nghiệm t 1 hay x  y Thay vào phương trình (2), ta được:  x  x    x  x (*) Suy x  x    x  (1 đ) (*)  x  x   x   2 x  x x  0 1     x  x  1     0 x    x x  x 1   1  x  x  0  x  y   1 1  ;   2   Vậy hệ có nghiệm (1 đ) Câu  x  y   x  3 y     2x  x  y   y  x  y  3  x  y  [DS10.C3.2.E05.d] Giải hệ phương trình Lời giải Điều kiện: x  x  y  0 Ta có 2x  x  y  2x  x  y    x  y  3x  4xy  y   2 y  x2  y   y  x2  y x2  y  2 2x  x  y   y  x  y  2 x  2xy  y 3  x  y  Suy  2x  x  y   x  y    2  x  y 0 y  x  y x y  Dấu xảy  x  y Thay vào phương trình ban đầu ta được: x  3x   x  3 x      x 1   x 1  x  0 x   x  x   3 0 x2 1  x 2 2  x  x   x 2  x  3 So với điều kiện x  y 0 ta x  y 2  Câu   x; y   2; 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm [DS10.C3.2.E05.d] Tìm tất nghiệm (x,y) với x>0, y> 1 hệ phương trình: ( y  y )  x  x ( y  1) 0  x(4 y  3)  3( y  1)  Lời giải  1; y  + Khi x 1 , (1)  y  0 (1) Hệ khơng có nghiệm y2  y  x2   x2 + Với  x  , (1) viết lai: y  1  y 1    x2  (*) y 1  x2 f  t  1  t với t   0;   Xét hàm f  y  1  f (*) viết lai: Vì f  t  1    x2  f  y  1  f t hàm đồng biến t   0;    y  1  x  (2) viết lại: Ta giải phương trình (3):   x   x x    x  3   x sin u  u   0;   2 Vì  x  , đặt  cos u 4sin u  (3)    sin u  sin 2u sin  u   3     x2  nên y 1   x    u   k 2   k    u  2  k     2      2  u   0;   u  ;   x  ;sin    2 3    Vì u 2 2 x sin y cos 1 y  , 2; , Vậy 1 nghiệm hệ phương trình thỏa x  0; y   x Câu  1 2    2 4y  x  4x  y 2 x  y  x  y   x   y  1 x y   y x   [DS10.C3.2.E05.d] Giải hệ phương trình:  Lời giải Điều kiện: x 1; y 1 Khi sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có 1   2 4x  y 4y  x  4x2  y   y  x  Suy 2 2 x  y  x  y 2  4x 2   4x  y   y2  x   y   y  x  2  x  y   x  y   x  y   y  x    x  y   x  y     16 x y   x3  y   xy  x  y    x  y    x  y 1    x  y    x  y  xy   x  y   0 4  1    x  y    x  y    x  y   xy   0 4   x y 1 2 x  y    x  y   xy   x  y    x  y      4 (Vì x 1; y 1 nên ) x  y Thay vào phương trình (2) ta x   x  1 2x x   2  x  x x    x  1 0   x x  0  x 2 x   x 2 Vậy hệ có nghiệm x 2; y 2 Câu [DS10.C3.2.E05.d] Giải  x ( y  2) ( x  1)( y  1) x  x 1   x y   x (4 x  x  3) x   Điều kiện x   1; y  phương trình, hệ phương trình sau: Phương trình thứ hệ tương đương với: x x3  ( y  2) y   ( y  1)3  y   x 1 ( x  1) x  y 1 x 1 thay vào phương trình thứ hai hệ ta có: x 4x  x (4 x  x  3) x   x  x x   4( x  1) (4 x  x  1)( x  1) x 1  (2 x  x  1) (2 x  1) ( x  1)  x  x  (2 x  1) x   x (2 x  3) x  (1)    x  x   (2 x  1) x   x  (2 x  1) x  (l )  x  (1)    x 3  y   x  12 x  x  0  pt Câu [DS10.C3.2.E05.d] (HSG LÀO CAI 2018-2019) Giải hệ phương trình  17  x   x   y  14   y 0 ,  x, y     2 x  y   3 x  y  11  x  x  13  Lời giải 5  x 0   y 0   *   x  y  0  Điều kiện: 3 x  y  11 0 Đặt  x a 0 ;  y b 0 ,phương trình  17  x   x   y  14   y 0 trở  17    a   a     b   14  0   3a   a  3b   b  3a  2a 3b  2b     2 2 3 y  f  t  3t  2t 0;  Xét hàm số  f  t  9t   0, t   0;   y  f  t 0;  Ta có nên hàm số đồng biến  3 3a  2a 3b  2b  f  a   f  b   a b Vì với a 0, b 0 Suy  x   y   x 4  y  y  x  Thay y x  vào phương trình thứ hai hệ ta phương trình: x   x   x  x 13  1   x    ;5   Điều kiện Khi phương trình  1    3x     x    36 3x    x   x  x   x    x    x  1  x      thành:  x  1 15  x  1  x  1  x   3x  1 5x    x  0  15   x   x   5x      x   15   x    5x    x   Phương trình Đặt   tương đương với 15   x 5 3x  1 5x   15     x, x    ;5 3x  1 5x     9 75   g  x      0, x    ;5  2   3x  1 x  x   x  g  x  Ta có         ;5 g  x Suy hàm số nghịch biến       ;5 g  x  5 Vì phương trình có nhiều nghiệm g x    nên nghiệm Ta lại có x 0 nghiệm phương trình Với x  y  Với x 0 y   * ,hệ cho có hai nghiệm  x ; y    ;   ;  ;  1 So sánh điều kiện