Câu y x 1 x có đồ thị C Viết phương trình tiếp tuyến d đồ [DS12.C1.5.E03.c] Cho hàm số C biết d cắt trục Ox , Oy A , B cho AB 10.OA (với O gốc tọa độ) thị Lời giải 1 \ 2 TXĐ: 3 y 2 x 1 Ta có: d C cắt Ox , Oy A B thỏa mãn AB 10.OA - Giả sử tiếp tuyến Khi tam giác OAB vng O có AB 10.OA OB 3.OA OB tan OAB 3 k 3 , với k hệ số góc tiếp tuyến d OA x 1 x 1 3 y x 1 1 x 1 x x 0 M 1; M 0; 1 tiếp điểm d thỏa mãn yêu cầu toán : y 3x y 3x Vậy có tiếp tuyến Câu y x mx 2m C [DS12.C1.5.E03.c] Cho hàm số ,với m tham số Gọi A điểm thuộc C có hồnh độ Tìm giá trị m để tiếp tuyến đồ thị C A cắt đường đồ thị T : x y 4 hai điểm phân biệt tạo thành dây cung có độ dài nhỏ tròn Lời giải y x mx 2m y 1 m A 1; m 1 Ta có y 4 x3 2mx y 1 4 2m Phương trình tiếp tuyến đồ thị C điểm A 1; m 1 là: y 2m x 1 m 2m x y 3m 0 Tiếp tuyến cắt đường tròn T : x y 4 hai điểm phân biệt tạo thành dây cung có độ lớn dài nhỏ tức khoảng cách từ tâm O(0;0) đến đường thẳng Cách 1: 3m d O, a 2 m Ta có: Suy 3m 5 a 9m2 30m 25 a 4m2 16m 17 2m 4a m 2m 8a 15 17 a 25 0 * 53 53 a2 a 6m 0 m hay 4 Nếu a phương trình * có nghiệm Nếu 13 13 0 8a 15 4a 17 a 25 0 a Suy d O, lớn 8a 15 11 13 m 4 a 11 m giá trị cần tìm Vậy 3 M ;1 : y 2m x 1 m điểm M nằm đường Cách 2: Ta có ln qua trịn T : x y 4 O M H T : x y 4 hai điểm phân biệt tạo thành dây cung có độ dài Do cắt đường trịn nhỏ OH max H M OM 2 11 y x 2m 2m 2m nên 2 Mà đường thẳng OM có phương trình 11 m Câu y f x x 2mx 3m [DS12.C1.5.E03.c] Cho hàm số số cắt trục hai điểm y f x A 3;0 B 1;0 với m tham số Tìm m để đồ thị hàm Khi lập bảng biến thiên vẽ đồ thị hàm số Lời giải A 3;0 B 1;0 Đồ thị hàm số cắt trục hoành hai điểm nên ta có hệ phương trình 9 9m 0 m 1 1 m 0 Hàm số y f x x2 x Hàm số nghịch biến khoảng Đồ thị hàm số y f x có bảng biến thiên hình vẽ sau ; đồng biến khoảng 0; hình sau Câu [DS12.C1.5.E03.c](HSG 12 ĐỒNG THÁP 2018-2019) Cho hàm số y x m 1 x m 1 x C có đồ thị m , m tham số Tìm tất giá trị tham số m để đường d : y x cắt Cm ba điểm phân biệt A, B, C cho tích hệ số góc tiếp tuyến thẳng A, B, C Cm 28 Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm x 0 2 x m 1 x mx 0 x x m 1 x m 0 x 1 x m d Cm là: m 0 d : y x cắt Cm ba điểm phân biệt A, B, C m 1 Để đường thẳng y , y 1 y m Ta có hệ số góc tiếp tuyến A, B, C , y y 1 y m 28 m 1 m m m 1 28 Theo giả thiết ta có m 3 m 2m3 m 30 0 m m 3 Vậy giá trị m cần tìm m Câu [DS12.C1.5.E03.c] Cho hàm số hoành độ m 1;1 Tiếp tuyến y x 1 C có đồ thị C Xét điểm M di chuyển C có M cắt C hai điểm A, B phân biệt khác M Tìm giá trị lớn tung độ trung điểm I đoạn thẳng AB Lời giải Vì M C nên M m; m 1 , m 1;1 2 y 4m3 4m x m m 1 , Tiếp tuyến d d C là: Phương trình hồnh độ giao điểm C M có phương trình là: x 2 1 4m3 4m x m m 1 2 x m x 2mx 3m 0 x m 2 x 2mx 3m 0, * Từ yêu cầu toán, suy phương trình 1 m m x m 0 * phải có hai nghiệm phân biệt khác m * ta có: A x1; y1 , B x2 ; y2 Khi gọi x1; x2 hai nghiệm phân biệt Suy trung điểm I đoạn thẳng AB có tung độ là: 2 2 2 3m 2mx1 3m 2mx2 y1 y2 x1 1 x2 1 yI 2 2 yI 2 3m 2m 3m x1 x2 2m x12 x22 y I f m 7m 4m Bảng biến thiên hàm số f m khoảng max yI Từ bảng biến thiên suy 1;1 32 1;1 sau: C , đường thẳng d qua A 1;2 có Câu [DS12.C1.5.E03.c] Cho hàm số y x 3x có đồ thị d cắt C ba điểm phân biệt A , B , C cho BC 4 hệ số góc m Tìm m để Lời giải d qua điểm A có hệ số góc m y m x 1 Phương trình đường thẳng d C Phương trình hồnh độ giao điểm x x m x 1 x 3x mx m 0 x 1 x 1 x x m 0 g x x x m 0 g x 0 Giả sử có hai nghiệm x1 , x2 , x1 , x2 hoành độ điểm B C Theo định lí Vi-et ta có x1 x2 2 x1 x2 m d nên B x1 ; m x1 1 , C x2 ; m x2 1 Vì hai điểm B C thuộc đường thẳng 2 BC x2 x1 y2 y1 x2 x1 m x2 1 m x1 1 Khi 2 x2 x1 m x2 x1 x2 x1 m 2 1 m 1 x1 x2 x1 x2 m 1 m m 1 4m 12 4m 12m 4m 12 32 m 1 g x x x 0 x1 1; x2 3 m Thử lại, thay vào m Vậy Câu [DS12.C1.5.E03.c] (HSG 12 Cần Thơ 2017 - 2018) Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số 2x - y= x - để tiếp tuyến đồ thị M cắt hai trục tọa độ hai điểm A , B cho diện tích tam giác OAB 2, với O gốc tọa độ Lời giải æ 2m - 1ữ Mỗ m; ữ, m ỗ ç ÷ Gọi è m - ø điểm thuộc đồ thị - y ¢= x - 1) ( Ta có - 2m - y= x- m+ ( d) m m ( ) Phương trình tiếp tuyến M A = d Ç Ox A ( 2m2 - 2m +1; 0) ổ ỗ 2m2 - 2m +1ữ ữ ỗ ữ B = d ầ Oy B ỗ 0; ữ ỗ ữ ỗ m ữ ỗ ( ) è ø Ta thấy 2m - 2m +1> 0, " m Ỵ ¡ nên A khác B Khi ( 2m 2 2 ( 2m - 2m +1) ( 2m - 2m +1) SOAB = = =2 2 2 ( m - 1) ( m - 1) - 2m +1) - 4( m - 1) = ( 2m2 - 4m + 3)( 2m2 - 1) = é ê é2m - 4m + = êm = ê ê ê2m2 - 1= ê ê ë êm =- ê ë æ 2 - 2ö æ 2 +2ử ữ ữ ỗ ữ ữ ỗ ỗ M1 ỗ ; ; M ; ữ ữ ỗ ỗ ữ ố ữ ỗ ỗ 2 ữ ữ 2- ø +2 ø è Vậy điểm cần tìm 2x + y= x + có đồ thị (C ) , điểm I (3;3) đường thẳng Câu [DS12.C1.5.E03.c] Cho hàm số d : y = - x + m Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C ) hai điểm phân biệt A, B cho diện tích tứ giác OAIB (O gốc tọa độ) Lời giải TXĐ: D = ¡ \ { - 1} Phương trình hồnh độ giao điểm: 2x + =- x +m x +1 Û x + (3 - m)x + 1- m = D = m2 - 2m + > 0" m Đường thẳng d cắt (P) hai điểm phân biệt A, B Gọi A (x1;- x1 + m), B (x 2;- x2 + m) Theo Vi-ét x1 + x2 = m - 3; x1x2 = 1- m Þ AB = 2(x2 - x1)2 = 2[(x1 + x2)2 - 4x1x2 ] = 2(m2 - 2m + 5) OI = 1 SOAIB = OI AB = 2(m2 - 2m + 5) = m2 - 2m + 2 m2 - 2m + = Û m = Þ SDOAIB = Û Câu y = x - ( m +1) x +( 5m +1) x - 2m - , với m tham số Tìm A ( 2;0) giá trị m để đồ thị hàm số cắt trục hoành ba điểm phân biệt A , B , C , , cho C hai điểm B , có điểm nằm điểm nằm đường trịn có phương trình x2 + y =1 [DS12.C1.5.E03.c] Cho hàm số Lời giải x - ( m +1) x +( 5m +1) x - 2m - = ( 1) Xét phương trình éx = ê Û ( 1) Û ( x - 2) ( x - 2mx + m +1) = ê ê ëg ( x ) = x - 2mx + m +1 = ( Cm ) cắt trục Ox ba điểm phân biệt Û ( 2) có nghiệm phân biệt x1 ; x2 khác ìï ïï m Ỵ ïï Û í ìï m - m - > ïìï D ¢> ïï ï Û í Û í ï ïï g ( 2) ¹ ï - 4m + m +1 ùù m ùợ ùợ ợ ổ 1- ổ ữ ỗ- Ơ ; ỗ1 + ; +Ơ ữ ẩ ỗ ỗ ữ ỗ ỗ ữố ỗ ỗ ứ ố ïìï x1 + x2 = 2m í ïïỵ x1.x2 = m +1 ÷ ÷ ÷ ÷ ø ( *) A ( 2;0) B ( x1 ;0) C ( x2 ; 0) , , ; Û ( OB - 1) ( OC - 1) < Û ( x1 - 1) ( x2 - 1) < Hai điểm B , C thỏa mãn điều kiện đầu Û x1 x2 +1 < x1 + x2 ổ - 2ử 2 mẻ ỗ - Ơ; ữ ữ ỗ ữẩ ( 2; +Ơ ) ỗ ( x1 x2 ) +1 < ( x1 + x2 ) - x1 x2 Û 3m - 4m - > è ø Khi ú ổ - 2ử mẻ ỗ - Ơ; ữ ữ ỗ ữẩ ( 2; +Ơ ) ỗ ( *) ta có è ø Kết hợp với điều kiện thỏa yêu cầu toán Câu [DS12.C1.5.E03.c] Cho hàm số y 2x m , Hm mx a Khi m 1 , hàm số cho có đồ thị B Tính diện tích tam giác OAB H cắt trục Ox,Oy hai điểm A H m cắt đường thẳng b Chứng minh với m 0 đồ thị hàm số d : y 2 x 2m hai điểm phân biệt C, D thuộc đường H cố định Đường d cắt Ox,Oy điểm M ,N Tìm m để SOCD 3.SOMN thẳng Lời giải a Khi m 1 H1 : y x H Ox A ; OA x 1 , 2, H Oy B ; 1 OB 1 S OAB 1 OA.OB d Hm 2x m 2 x m 1 là: mx b Phương trình hồnh độ giao điểm x m 1 2 x mx 0 f x 2 x mx , Đặt 1 f 0 d cắt H m hai Ta có: ' m m m với m 0 điểm phân biệt C, D x1 x2 m x x 2 , theo vi ét thì: Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình C x1 ; y1 , D x2 ; y d H m Gọi hai giao điểm 1 y1 2 x1 m 2 x1 x1 x2 x2 y2 x1 x2 Ta có: , tương tự Vậy hai điểm C , D y H x nằm đồ thị hàm số ( DPCM) Ta có: d Ox M m; OM m , d Oy N ; 2m ON 2 m S OC x ; x 2m ,OD x ; x 2m OMN SOCD 2 2 OC OD OC.OD 5x mx1 m2 5x 2 mx2 m x1 x2 m x1 x2 4m 2 = OM.ON m 2 m2 x1 x2 m x1 x2 m4 2m SOCD 3.SOMN Câu [DS12.C1.5.E03.c] 1 m m2 3m m2 m (HSG y 2 x3 3mx (m 1) x 12 tỉnh 1 với Thanh đồ thị Hóa năm Cm m R 1314) Cho hàm Tìm m để đường thẳng số d : y 2 x 1 cắt đồ thị Cm ba điểm A, B, C phân biệt cho điểm C 0;1 nằm A 55 B đồng thời đoạn thẳng AB có độ dài Lời giải d đồ thị Cm hàm số: y 2 x3 3mx (m 1) x Hoành độ giao điểm nghiệm phương trình: x 3mx (m 1) x 2 x x 0 x(2 x 3mx m 3) 0 x 3mx m 0 (*) d cắt đồ thị Cm điểm C , A, B phân biệt C nằm * có nghiệm trái dấu 2.(m 3) m phương trình Đường thẳng A B 3m x A xB y A 2 x A x x m A B yB 2 xB Khi tọa độ A B thỏa mãn (Trong x A ; xB nghiệm phương trình (*)) Ta có: AB 55 ( xB x A ) ( yB y A ) 55 ( xB x A ) 11 ( xB x A ) xB x A 11 m 2 9m 8m 20 0 m 10 Câu 9m m 11 t / m m 2; m Vậy 10 giá trị cần tìm y x 3x C Tìm tọa độ điểm M thuộc C [DS12.C1.5.E03.c] Cho hàm số có đồ thị C hai điểm phân biệt A, B ( A, B, M ba điểm phân biệt) cho cho tiếp tuyến M cắt MA 3MB Lời giải ỉ 2÷ ç ÷ M m ; m m ç ÷ ỗ ữ ứthuc th C phương trình Tính y ' = 2x - 6x , giả sử điểm è y = 2m3 - 6m x + m4 - 3m2 tiếp tuyến M có dạng uuur uuur uuu r uuu r uuur MA = 3MB Û OA - 3OB = - 2OM Þ x1 - 3x2 = - 2xM = - 2m Từ (*) ( ) 4 x x = m x mx + m - 3m2 x1, x2 Mặt khác nghiệm phương trình: Û x4 - 4m3x + 3m4 = 6( x - m) Þ x1,2 = - m ± - 2m2 (vì x ¹ m ) Þ ( x + m) = - 2m2, m £ Thay vào (*) ta m = ± (thỏa mãn) Vậy ta có hai điểm M cần tìm Câu ( M - ) M ( 2;- y ) 2;- 2x x có đồ thị C hai điểm M 3;0 , N 1; 1 Tìm [DS12.C1.5.E03.c] Cho hàm số C hai điểm A, B cho chúng đối xứng qua đường thẳng MN đồ thị hàm số Lời giải x y Phương trình đường thẳng MN là: Phương trình đường thẳng AB là: y 2 x m 2x 2 x m Khi hai điểm A , B có hoành độ thỏa mãn: x Điều kiện: x 1 Phương trình tương đương với: x mx m 0 C hai điểm phân biệt phương trình 1 có hai Đường thẳng AB cắt đồ thị nghiệm phân biệt khác -1 m 44 2 m m m m 8m 32 x1 x2 ; x1 x2 m , với x1 , x2 nghiệm Trung điểm I đoạn thẳng AB có tọa độ m m m I ; x x 1 Mà nên phương trình Hai điểm A, B đối xứng qua đường thẳng MN điểm I thuộc đường thẳng MN , m m 0 m ( thỏa mãn) A 0; A 2;0 A 2;0 B 0; Suy , ,