D03 sự tương giao của hai đồ thị muc do 3

Câu y x 1 x  có đồ thị  C  Viết phương trình tiếp tuyến  d  đồ [DS12.C1.5.E03.c] Cho hàm số  C  biết  d  cắt trục Ox , Oy A , B cho AB  10.OA (với O gốc tọa độ) thị Lời giải 1  \  2 TXĐ: 3 y  2 x  1  Ta có:  d   C  cắt Ox , Oy A B thỏa mãn AB  10.OA - Giả sử tiếp tuyến Khi tam giác OAB vng O có AB  10.OA  OB 3.OA OB   tan OAB  3  k 3 , với k hệ số góc tiếp tuyến  d  OA  x  1  x 1 3  y      x  1 1     x  1  x    x 0  M  1;     M  0;  1 tiếp điểm  d  thỏa mãn yêu cầu toán : y  3x  y  3x  Vậy có tiếp tuyến Câu y x  mx  2m   C  [DS12.C1.5.E03.c] Cho hàm số ,với m tham số Gọi A điểm thuộc  C  có hồnh độ Tìm giá trị m để tiếp tuyến đồ thị  C  A cắt đường đồ thị  T  : x  y 4 hai điểm phân biệt tạo thành dây cung có độ dài nhỏ tròn Lời giải y  x  mx  2m   y  1 m   A  1; m  1 Ta có y 4 x3  2mx  y 1 4  2m Phương trình tiếp tuyến đồ thị  C  điểm A  1; m  1 là: y   2m   x  1  m    2m   x  y  3m  0    Tiếp tuyến cắt đường tròn  T  : x  y 4 hai điểm phân biệt tạo thành dây cung có độ    lớn dài nhỏ tức khoảng cách từ tâm O(0;0) đến đường thẳng Cách 1: 3m  d  O,    a  2 m     Ta có: Suy  3m  5 a  9m2  30m  25 a 4m2  16m 17    2m      4a   m  2m  8a  15   17 a  25 0  * 53 53 a2  a    6m  0  m  hay 4 Nếu a  phương trình  * có nghiệm Nếu 13 13  0   8a  15    4a    17 a  25  0   a  Suy d  O,   lớn  8a  15  11 13  m  4 a    11 m giá trị cần tìm Vậy 3  M  ;1  : y   2m   x  1  m    điểm M nằm đường Cách 2: Ta có  ln qua trịn  T  : x  y 4 O M H  T  : x  y 4 hai điểm phân biệt tạo thành dây cung có độ dài Do  cắt đường trịn nhỏ  OH max  H M  OM   2 11 y x   2m     2m    2m  nên 2 Mà đường thẳng OM có phương trình 11  m Câu y  f  x  x  2mx  3m [DS12.C1.5.E03.c] Cho hàm số số cắt trục hai điểm y f  x  A   3;0  B  1;0  với m tham số Tìm m để đồ thị hàm Khi lập bảng biến thiên vẽ đồ thị hàm số Lời giải A   3;0  B  1;0  Đồ thị hàm số cắt trục hoành hai điểm nên ta có hệ phương trình 9  9m 0  m 1  1  m 0 Hàm số y  f  x  x2  x  Hàm số nghịch biến khoảng Đồ thị hàm số y f  x  có bảng biến thiên hình vẽ sau   ;  đồng biến khoảng  0;  hình sau Câu [DS12.C1.5.E03.c](HSG 12 ĐỒNG THÁP 2018-2019) Cho hàm số y  x   m  1 x   m  1 x  C  có đồ thị m , m tham số Tìm tất giá trị tham số m để đường  d  : y  x  cắt  Cm  ba điểm phân biệt A, B, C cho tích hệ số góc tiếp tuyến thẳng A, B, C  Cm   28 Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm  x 0 2 x   m  1 x  mx 0  x  x   m  1 x  m  0   x 1   x m  d   Cm  là: m 0  d  : y  x  cắt  Cm  ba điểm phân biệt A, B, C m 1 Để đường thẳng y  , y 1 y m  Ta có hệ số góc tiếp tuyến A, B, C , y  y  1 y  m   28   m  1   m    m  m  1  28  Theo giả thiết ta có  m 3 m  2m3  m  30 0    m   m 3  Vậy giá trị m cần tìm  m  Câu [DS12.C1.5.E03.c] Cho hàm số hoành độ m    1;1 Tiếp tuyến y  x  1  C có đồ thị  C  Xét điểm M di chuyển  C  có M cắt  C  hai điểm A, B phân biệt khác M Tìm giá trị lớn tung độ trung điểm I đoạn thẳng AB Lời giải Vì M  C nên   M m;  m  1 , m    1;1 2 y  4m3  4m   x  m    m  1 , Tiếp tuyến d  d   C  là: Phương trình hồnh độ giao điểm  C M có phương trình là: x 2  1  4m3  4m   x  m    m  1 2   x  m   x  2mx  3m   0  x m  2  x  2mx  3m  0,  * Từ yêu cầu toán, suy phương trình 1  m         m   x m  0  * phải có hai nghiệm phân biệt khác m  * ta có: A  x1; y1  , B  x2 ; y2  Khi gọi x1; x2 hai nghiệm phân biệt Suy trung điểm I đoạn thẳng AB có tung độ là: 2 2 2  3m  2mx1     3m  2mx2   y1  y2  x1  1   x2  1 yI    2 2  yI 2   3m   2m   3m   x1  x2   2m  x12  x22   y I  f  m   7m  4m  Bảng biến thiên hàm số f  m khoảng max  yI   Từ bảng biến thiên suy   1;1 32   1;1 sau:  C  , đường thẳng  d  qua A  1;2  có Câu [DS12.C1.5.E03.c] Cho hàm số y  x  3x  có đồ thị  d  cắt  C  ba điểm phân biệt A , B , C cho BC 4 hệ số góc m Tìm m để Lời giải  d  qua điểm A có hệ số góc m y m  x  1  Phương trình đường thẳng  d   C  Phương trình hồnh độ giao điểm x  x  m  x  1   x  3x  mx  m  0  x 1    x  1  x  x  m   0  g  x   x  x  m  0 g  x  0 Giả sử có hai nghiệm x1 , x2 , x1 , x2 hoành độ điểm B C Theo định lí Vi-et ta có  x1  x2 2   x1 x2  m   d  nên B  x1 ; m  x1  1   , C  x2 ; m  x2  1   Vì hai điểm B C thuộc đường thẳng 2 BC  x2  x1    y2  y1   x2  x1    m  x2  1  m  x1  1  Khi 2  x2  x1    m  x2  x1    x2  x1  m 2  1  m  1   x1  x2   x1 x2     m  1     m     m  1  4m  12 4m  12m  4m  12 32  m 1 g  x   x  x  0  x1  1; x2 3 m  Thử lại, thay vào m  Vậy Câu [DS12.C1.5.E03.c] (HSG 12 Cần Thơ 2017 - 2018) Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số 2x - y= x - để tiếp tuyến đồ thị M cắt hai trục tọa độ hai điểm A , B cho diện tích tam giác OAB 2, với O gốc tọa độ Lời giải æ 2m - 1ữ Mỗ m; ữ, m ỗ ç ÷ Gọi è m - ø điểm thuộc đồ thị - y ¢= x - 1) ( Ta có - 2m - y= x- m+ ( d) m m ( ) Phương trình tiếp tuyến M A = d Ç Ox  A ( 2m2 - 2m +1; 0) ổ ỗ 2m2 - 2m +1ữ ữ ỗ ữ B = d ầ Oy B ỗ 0; ữ ỗ ữ ỗ m ữ ỗ ( ) è ø Ta thấy 2m - 2m +1> 0, " m Ỵ ¡ nên A khác B Khi ( 2m 2 2 ( 2m - 2m +1) ( 2m - 2m +1) SOAB = = =2 2 2 ( m - 1) ( m - 1) - 2m +1) - 4( m - 1) =  ( 2m2 - 4m + 3)( 2m2 - 1) = é ê é2m - 4m + = êm = ê  ê ê2m2 - 1= ê ê ë êm =- ê ë æ 2 - 2ö æ 2 +2ử ữ ữ ỗ ữ ữ ỗ ỗ M1 ỗ ; ; M ; ữ ữ ỗ ỗ ữ ố ữ ỗ ỗ 2 ữ ữ 2- ø +2 ø è Vậy điểm cần tìm 2x + y= x + có đồ thị (C ) , điểm I (3;3) đường thẳng Câu [DS12.C1.5.E03.c] Cho hàm số d : y = - x + m Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C ) hai điểm phân biệt A, B cho diện tích tứ giác OAIB (O gốc tọa độ) Lời giải TXĐ: D = ¡ \ { - 1} Phương trình hồnh độ giao điểm: 2x + =- x +m x +1 Û x + (3 - m)x + 1- m = D = m2 - 2m + > 0" m Đường thẳng d cắt (P) hai điểm phân biệt A, B Gọi A (x1;- x1 + m), B (x 2;- x2 + m) Theo Vi-ét x1 + x2 = m - 3; x1x2 = 1- m Þ AB = 2(x2 - x1)2 = 2[(x1 + x2)2 - 4x1x2 ] = 2(m2 - 2m + 5) OI = 1 SOAIB = OI AB = 2(m2 - 2m + 5) = m2 - 2m + 2 m2 - 2m + = Û m = Þ SDOAIB = Û Câu y = x - ( m +1) x +( 5m +1) x - 2m - , với m tham số Tìm A ( 2;0) giá trị m để đồ thị hàm số cắt trục hoành ba điểm phân biệt A , B , C , , cho C hai điểm B , có điểm nằm điểm nằm đường trịn có phương trình x2 + y =1 [DS12.C1.5.E03.c] Cho hàm số Lời giải x - ( m +1) x +( 5m +1) x - 2m - = ( 1) Xét phương trình éx = ê Û ( 1) Û ( x - 2) ( x - 2mx + m +1) = ê ê ëg ( x ) = x - 2mx + m +1 = ( Cm ) cắt trục Ox ba điểm phân biệt Û ( 2) có nghiệm phân biệt x1 ; x2 khác ìï ïï m Ỵ ïï Û í ìï m - m - > ïìï D ¢> ïï ï Û í Û í ï ïï g ( 2) ¹ ï - 4m + m +1 ùù m ùợ ùợ ợ ổ 1- ổ ữ ỗ- Ơ ; ỗ1 + ; +Ơ ữ ẩ ỗ ỗ ữ ỗ ỗ ữố ỗ ỗ ứ ố ïìï x1 + x2 = 2m í ïïỵ x1.x2 = m +1 ÷ ÷ ÷ ÷ ø ( *) A ( 2;0) B ( x1 ;0) C ( x2 ; 0) , , ; Û ( OB - 1) ( OC - 1) < Û ( x1 - 1) ( x2 - 1) < Hai điểm B , C thỏa mãn điều kiện đầu Û x1 x2 +1 < x1 + x2 ổ - 2ử 2 mẻ ỗ - Ơ; ữ ữ ỗ ữẩ ( 2; +Ơ ) ỗ ( x1 x2 ) +1 < ( x1 + x2 ) - x1 x2 Û 3m - 4m - > è ø Khi ú ổ - 2ử mẻ ỗ - Ơ; ữ ữ ỗ ữẩ ( 2; +Ơ ) ỗ ( *) ta có è ø Kết hợp với điều kiện thỏa yêu cầu toán Câu [DS12.C1.5.E03.c] Cho hàm số y 2x  m ,  Hm  mx  a Khi m 1 , hàm số cho có đồ thị B Tính diện tích tam giác OAB  H  cắt trục Ox,Oy hai điểm A  H m  cắt đường thẳng b Chứng minh với m 0 đồ thị hàm số  d  : y 2 x  2m hai điểm phân biệt C, D thuộc đường  H  cố định Đường  d  cắt Ox,Oy điểm M ,N Tìm m để SOCD 3.SOMN thẳng Lời giải a Khi m 1   H1  : y  x   H   Ox  A  ;     OA    x 1 , 2,  H   Oy B  ;  1  OB 1  S OAB 1  OA.OB   d  Hm  2x  m 2 x  m  1 là: mx  b Phương trình hồnh độ giao điểm   x  m  1   2 x  mx  0   f  x  2 x  mx   , Đặt  1 f      0  d  cắt  H m  hai Ta có:  ' m    m  m với m 0  điểm phân biệt C, D  x1  x2 m   x x   2   , theo vi ét thì:  Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình C  x1 ; y1  , D  x2 ; y   d   H m  Gọi hai giao điểm 1 y1 2 x1  m 2 x1   x1  x2   x2  y2  x1 x2 Ta có: , tương tự Vậy hai điểm C , D y   H x nằm đồ thị hàm số ( DPCM) Ta có:  d   Ox M  m;   OM  m ,  d   Oy N  ;  2m   ON 2 m  S   OC  x ; x  2m  ,OD  x ; x  2m  OMN  SOCD  2  2  OC OD  OC.OD   5x  mx1  m2   5x 2     mx2  m  x1 x2  m  x1  x2   4m 2 =  OM.ON m 2 m2  x1  x2   m x1 x2  m4  2m  SOCD 3.SOMN  Câu [DS12.C1.5.E03.c] 1 m  m2 3m  m2   m  (HSG y 2 x3  3mx  (m  1) x  12 tỉnh  1 với Thanh đồ thị Hóa năm  Cm   m  R  1314) Cho hàm Tìm m để đường thẳng số d : y 2 x 1 cắt đồ thị  Cm  ba điểm A, B, C phân biệt cho điểm C  0;1 nằm A 55 B đồng thời đoạn thẳng AB có độ dài Lời giải  d  đồ thị  Cm  hàm số: y 2 x3  3mx  (m  1) x  Hoành độ giao điểm nghiệm phương trình: x  3mx  (m  1) x  2 x   x 0  x(2 x  3mx  m  3) 0    x  3mx  m  0 (*)  d  cắt đồ thị  Cm  điểm C , A, B phân biệt C nằm  * có nghiệm trái dấu  2.(m  3)   m  phương trình Đường thẳng A B 3m   x A  xB    y A 2 x A   x x  m   A B  yB 2 xB  Khi tọa độ A B thỏa mãn  (Trong x A ; xB nghiệm phương trình (*))  Ta có: AB  55 ( xB  x A )  ( yB  y A )  55  ( xB  x A ) 11  ( xB  x A )  xB x A 11   m 2  9m  8m  20 0    m   10  Câu 9m m  11  t / m m 2; m  Vậy  10 giá trị cần tìm y  x  3x  C  Tìm tọa độ điểm M thuộc  C  [DS12.C1.5.E03.c] Cho hàm số có đồ thị  C  hai điểm phân biệt A, B ( A, B, M ba điểm phân biệt) cho cho tiếp tuyến M cắt   MA 3MB Lời giải ỉ 2÷ ç ÷ M m ; m m ç ÷ ỗ ữ ứthuc th C phương trình Tính y ' = 2x - 6x , giả sử điểm è y = 2m3 - 6m x + m4 - 3m2 tiếp tuyến M có dạng uuur uuur uuu r uuu r uuur MA = 3MB Û OA - 3OB = - 2OM Þ x1 - 3x2 = - 2xM = - 2m Từ (*) ( ) 4 x x = m x mx + m - 3m2 x1, x2 Mặt khác nghiệm phương trình: Û x4 - 4m3x + 3m4 = 6( x - m) Þ x1,2 = - m ± - 2m2 (vì x ¹ m ) Þ ( x + m) = - 2m2, m £ Thay vào (*) ta m = ± (thỏa mãn) Vậy ta có hai điểm M cần tìm Câu ( M - ) M ( 2;- y ) 2;- 2x  x  có đồ thị  C  hai điểm M   3;0  , N   1;  1 Tìm [DS12.C1.5.E03.c] Cho hàm số  C  hai điểm A, B cho chúng đối xứng qua đường thẳng MN đồ thị hàm số Lời giải x  y   Phương trình đường thẳng MN là: Phương trình đường thẳng AB là: y 2 x  m 2x  2 x  m Khi hai điểm A , B có hoành độ thỏa mãn: x  Điều kiện: x   1 Phương trình tương đương với: x  mx  m  0  C  hai điểm phân biệt phương trình  1 có hai Đường thẳng AB cắt đồ thị nghiệm phân biệt khác -1 m  44      2  m  m    m     m  8m  32   x1  x2  ; x1  x2  m    , với x1 , x2 nghiệm Trung điểm I đoạn thẳng AB có tọa độ   m m m I ;  x  x   1 Mà nên   phương trình Hai điểm A, B đối xứng qua đường thẳng MN điểm I thuộc đường thẳng MN , m m    0  m  ( thỏa mãn) A  0;   A  2;0  A  2;0  B  0;   Suy , ,