D03 sự tương giao của hai đồ thị muc do 4

 P  : y  x  mx  3m  , đường thằng Câu [DS12.C1.5.E03.d] Trong mặt phẳng Oxy cho parabol  d  : x  y  m 0 ( m tham số thực) hai điểm A   1;  1 , B  2;  Tìm m để đường thẳng  d  cắt parabol  P  hai điểm phân biệt M , N cho A , B , M , N bốn đỉnh hình bình hành Lời giải  P   d  : Xét phương trình hồnh độ giao điểm x  mx  3m   x  m  x   m  1 x  2m  0  1  Đường thẳng  d  cắt parabol  P  hai điểm phân biệt   1 có hai nghiệm phân biệt m 1  m  10m        m  1   2m    m   d  cắt  P  hai điểm Khi đó, x1  x2 ) M  x1 ; x1  m  N  x2 ; x2  m   1 (giả sử , với x1 , x2 nghiệm  Bốn điểm A , B , M , N bốn đỉnh hình bình hành xảy trường hợp sau: ABNM Trường   hợp 1: Bốn điểm lập thành hình bình hành  AB MN   x2  x1 2m   x1   x1  x2 1  m  4 m    x1 x2 2m    x2   x  x 3   x x   2m    Kết hợp với định lý Vi-et ta có hệ:  m 0 2m 4 m  2m   m  10m 0   2  m 10 Suy  x   M   1;  1  A x  x  0     x      N  2;   B Với m 0 , trở thành: (loại)  x   M   6;  x  x  18 0     x      N   3;7  thỏa mãn ABNM tạo thành Với m 10 , trở thành: hình bình hành Trường hợp 2: Bốn điểm lập thành hình bình hành ANBM 1 1 I ;  Khi đó,  2  trung điểm AB trung điểm MN nên  x1  x2    m 0  x  x  m 1    2 (loại) m  10 Vậy Câu [DS12.C1.5.E03.d] (HSG Tốn 12 - Thanh Hóa năm 1718) Cho hàm số  C  , hai đường thẳng qua điểm I  1;1 có tổng hệ số góc y x 1 x  có đồ thị Mỗi đường thẳng cắt  C  bốn điểm phân biệt bốn giao điểm bốn đỉnh hình chữ nhật Viết đồ thị phương trình hai đường thẳng Lời giải I  1;1 C  C  tạo thành hình bình Do tâm đối xứng nên hai đường thẳng qua I cắt hành Hình bình hành hình chữ nhật độ dài hai đường chéo d : y k  x  1  Gọi d đường thẳng qua I có hệ số góc k   C  nghiệm phương trình Hoành độ giao điểm d x 1 k  x  1   kx  2kx  k  0  * x  C  hai điểm phân biệt  * phải có hai nghiệm phân biệt Để d cắt  k 0     ' k  k  k     k  C  Gọi A , B giao điểm d A  x1; kx1  k  1 , B  x2 ; kx2  k  1 x1 , x2  x1  x2 2   k x1 x2    * Ngĩa  k nghiệm AB  x2  x1    kx2  kx1   AB    k    x1  x2   2  k  2    k   k        x1x2 k k =    8 1 k  k  k k2  hệ số góc hai đường thẳng cần tìm Khi hai đường chéo Gọi k1 , k2   k12  hình bình hành có độ dài   k12   k1   k1  k2  2  k1k2 1  k1   k2  k2   k2  k2 2  k2   k1  k1   k   k1 2   k2    k1    k2 2 Vậy hai đường thẳng cần tìm y 2 x  1 y  x 2  k1  k2    k1k2  0  k1k2 1