Bất đẳng thức

(HSG NAM ĐỊNH 2014-2015) Xét số thực dương x, y, z thoả mãn x  y  z  xyz Câu Chứng minh x2  y  z  1 1    1  1  1 x y z x y z Lời giải Với số thực dương x, y, z ta có: xyz x  y  z 2 xy  z  z  xy   xy  z 0  1 1 z2 xy  z Lại có z ( x  y ) 2 z xy  z ( x  y ) 2 z   z 2(1   z ) z 1  x  y 2    z2 z    1 Tương tự có: y  z 2    x2 x 1    z  x     y y    Suy ra: 1 1 1   x  y  z  2       1  1 x y z x2 y2 z    x2  y  z  1 1          đpcm x y z x y z Dấu xảy  x  y  z  Câu 10: (HSG ĐÀ NẴNG NĂM 2011-2012) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = Chứng minh: x3  y3  z3 1 xy  yz xz  yz xy  xz Lời giải Cho x, y, z ba số dương thỏa mãn x + y + z =  x  z 1  y, x  y 1  z , y  z 1  x Khi T x3  y3  z3 x3  y3  z3  xy  yz xz  yz xy xz y  y  z  z  x  x  x3  y  1 y  3 x3 y  y 3x Xét y 1 y  y 1 y  y3 z 1 z 3y y3 z  z    3  z  1 z  z 1 z  z3  x  1 x  3 z x  x  3z x 1 x  x 1 x Cộng vế tương ứng bất đẳng thức ta 3  x  y  z 1 T   x  y  z    x  y  z  T  2 dấu "=" xảy  x  y  z  Vậy x3  y3  z3  , dấu "=" xảy  x  y z 1 Câu 10: (HSG ĐỀ 047) Cho ba xy  yz xz  yz xy xz số thực dương a, b, c thỏa mãn abc 1 Chứng minh : a2 b2 c2    ( ab  2)(2ab  1) (bc  2)(2bc  1) ( ac  2)(2ac  1) Lời giải Ta có VT = a b c2   ( ab  2)(2ab  1) (bc  2)(2bc  1) ( ac  2)(2ac 1) 1 (c  )(2c  ) b b  ( a  )(2a  ) c c y z x Vì a, b, c dương abc = nên đặt a  , b  , c  với x, y, z > x y z 1   Khi VT = ( y  z )( z  y ) ( z  x )( x  z ) ( x  y )( y  x ) x x x x y y y y z z z z = (b  )(2b  ) a a  x2 y2 z2   = ( y  z )( z  y ) ( z  x)( x  z ) ( x  y )( y  x) 2 2 Ta có ( y  z )( z  y )  yz  y  z  yz 2( y  z )  yz  ( y  z ) 2 x x  2 (1) Suy ( y  z )( z  y ) y  z y2 y2 z2 z2   Tương tự có (2); (3) ( z  x)( x  z ) x  z ( x  y )( y  x) y  x 2 x2 y2 z2   ) Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta VT  ( y  z x2  z y  x 1 x2 y2 z2 ( x  y  z )(   )   Lại có 2 2 2 2 = y z x z y  x2 y z x z y x 1 1 2 2   )     = (( x  y )  ( y  z )  ( z  x ))( 2 2 y z x z y x 2 (BĐT Netbit) Suy VT   (đpcm) HẾT Câu 10: (HSG ĐỀ 048) Cho a, b, c số thực dương a  b  c 3 Chứng minh : 2a  b  ab  bc  abc 7 Lời giải 3 1 a.4b  b.4c  a.4b.16c Ta có M 2a  b  ab  bc  abc 2a  b  4 2 a  4b b  4c a  4b  16c 28(a  b  c) M 2a  b     7 4 12 12 16 Dấu xảy a  , b  , c  7 HẾT Câu 10 (HSG ĐỀ 053) Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh a b c   1 2 2 2 7a  b  c a  7b  c a  b  7c Lời giải Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có (7a  b  c) (7   1)(7a  b  c )     2 2 2 7a  b  c (7 a  b  c) 7a  b  c 7a  b  c a 3a   7a  b  c 7a  b  c 1 9     3a 3a a  b  c 3a  3a  a  b  c 7a  b  c 3a 1 a a 1 a            7a  b  c  a  b  c  7a  b  c  a  b  c  Ta lại có: (1) b 1 b     (2)  2 3 a b c  a  7b  c c 1 c     (3)  a  7b  c  a  b  c  Cộng vế theo vế ba BĐT (1), (2), (3) ta có a b c   1 2 2 2 7a  b  c a  7b  c a  b  7c Đẳng thức xảy a b c Tương tự ta có: Câu 9:  0;1 (ĐỀ THI OLYMPIC 11 – BIM SON 2012) Cho số thực x, y, z thuộc khoảng x y z xyz    2 2 1 x 1 y 1 z (1  x )(1  y )(1  z ) Tìm giá trị lớn biểu thức S = x x 1  y y 1  z z 1 Lời giải      Do  x, y, z  nên đặt x tan ; y tan ; z tan với  ,  ,    0,  2  2 2y 2x 2z tan   Khi tan   ; đẳng thức giả thiết ; tan   1 y 1 x 1 z2 2x 2y 2z xyz      tan   tan   tan  tan  tan  tan  2 2 1 x 1 y 1 z (1  x )(1  y )(1  z ) tan   tan   tan  tan   tan   tan  (1  tan  tan  )   tan  tan   tan(   ) tan( )   Do  ,  ,    0,  nên              Khi ta có:  2 tan  tan   tan  tan   tan  tan  1  xy  yz  zx 1 Ta có x x2 1  x x  xy  yz  zx  x ( x  y )( x  z ) x  ( x  y )( x  z ( x  y )( x  z ) x  ( x  y)  ( x  z)  x x      (1) 2( x  y )( x  z ) 2 x y xz  y 1 y y  z 1 z z        Tương tự:  (2) ;  (3) y 1  y  z y  x  z 1  z  x z  y  x y z    Cộng theo vế (1), (2) ,(3) ta 2 x 1 y 1 z 1  x  y  z  Câu 10: (ĐỀ THI OLYMPIC 11 – BIM SON 2013) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi Tìm giá trị nhỏ Vậy max S= (a  b  c)3 (b  c  a )3 (c  a  b)3   2c 2a 2b Lời giải Do a, b, c độ dài ba cạnh tam giác nên a  b – c  , b  c – a  , c  a – b  Áp dụng BĐT Côsi cho số ta có biểu thức Q  (a  b  c )3 c ( a  b  c) c   3  ( a  b  c) 2c 2 2c 2 Tương tự ta có: (b  c  a)3 a ( c  a  b) b    (b  c  a);    (c  a  b) 2a 2 2b 2 a b c 3   (a  b  c ) Cộng ba bất đẳng thức ta Q  2 3 3 Do a  b  c 3 nên Q     Q  2 2 Đẳng thức xảy a b c 1 Vậy Q nhỏ a b c 1 Câu 9: (ĐỀ THI OLYMPIC 11 – BIM SON 2015) Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh với số ngun dương n ta ln có a n b n c n a n 1 b n 1 c n 1      b n c n a n b n 1 c n 1 a n 1 Lời giải a b c a b2 c      b c a b2 c a Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpski ta có: 2  a2 b2 c2  b c   a2 b2 c2  2 a b c a              b2  c  a        c a   b2 c a  b c a b   Khi n 1 (*) trở thành 2 c2  a b c a b c  a b c   a b c  a b Do   3   3 nên             c a  b c a b c a  b c a   b c a  b a b c a2 b2 c      b c a b2 c a Đẳng thức xảy a b c Do (*) n 1  a k b k c k a k 1 b k 1 c k 1      b k c k a k b k 1 c k 1 a k 1 - Ta chúng minh (*) với n k  Thật Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpski ta có: - Giả sử (*) đến n  k , k 1 , tức  a k 1 b k 1 c k 1   a k 2 a k b k 2 b k c k 2 c k          k 1  c k 1 a k 1   b k 2 b k c k 2 c k a k 2 a k  b  a k 2 b k 2 c k 2   a k b k c k   a k 2 b k 2 c k 2   a k 1 b k 1 c k 1   k 2  k 2  k 2   k  k  k   k 2  k 2  k 2   k 1  k 1  k 1  c a  b c a  b c a  b c a  b a k 1 b k 1 c k 1 a k 2 bk 2 c k 2      b k 1 c k 1 a k 1 b k 2 c k 2 a k 2 Dấu xảy a b c Do (*) với n k  Vậy (*) với số nguyên dương n  Câu 10: (ĐỀ THI OLYMPIC 11 – BIM SON 2014) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn ab  bc  ca 3 Chứng minh rằng: 1 1    2  a (b  c)  b (c  a)  c ( a  b) abc Lời giải Áp dụng BĐT Cauchy cho số dương ta có ab  bc  ca 3 (abc )2  abc 1 2 Suy ra:  a (b  c) abc  a (b  c) a (ab  bc  ca ) 3a  Tương tự ta có: 1 1  (2),  (3)  b (c  a ) 3b  c (a  b) 3c 1  (1)  a (b  c ) 3a Cộng (1), (2) (3) theo vế với vế ta có: 1 1 1 ab  bc  ca    (   )  2  a (b  c )  b (c  a)  c (a  b) c b c 3abc abc Dấu “=” xảy a b c 1 Câu 10: (HSG ĐỀ 059) Cho a, b, c > thỏa mãn abc 8 Hãy tìm giá trị lớn biểu thức: P 1   2a  b  2b  c  2c  a  Lời giải    1 1 1 P    P     2a  b  2b  c  2c  a   a  b 3 b  c 3 c  a 3  2  a b c Đặt: x  ; y  ; z   x, y , z  & x y.z 1 Khi đó: 2  1 1 P     x  y  y  z  z  x   Mà ta có: x  y 2 xy ; x  2 x  x  y  2( xy  x  1) 1   x  y  2( xy  x  1)  1 1   Tương tự ta có: P     xy  x  yz  y  zx  z   ( Nhân tử mẫu phân số thứ hai với x ; phân số thứ ba với xy )  xy 1 x  P      xy  x  x ( yz  y  1) xy ( zx  z  1)   xy 1 x  P      P  xy  x  1  xy  x ) x   xy  Vậy P đạt GTLN xảy x = y = z = hay a = b = c = Câu 5: (HSG THPT LÊ VĂN HƯU LỚP 11) Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: 2 2a 2b 2c  a  b   b  c   c  a   3  b c c a a b  a  b  c Lời giải Xét M= a  b a  c b  c b  a c  a c  b 2a 2b 2c  1  1  1   bc ca a b bc ca a b 1 1 1  )  (b  c)(  )  (c  a)(  ) bc ca c a a b a b b c 1 (a  b)  (b  c)2  (c  a ) (b  c)(c  a ) (c  a )(a  b) (a  b)(b  c) 4    Vì ; 2 (b  c)(c  a) (a  b  2c) (2a  2b  2c) (a  b  c) ( a  b) 2  ;" "  a b (a  b) 0  ( a  b) (b  c)(c  a ) (a  b  c ) (a  b)( Làm hoàn toàn tương tự với hai biểu thức lại Suy M  a  b  2   b  c   c  a  a  b  c 2 (Đpcm); “=”  a b c Câu 5: (HSG NƠNG CƠNG – THANH HĨA NĂM 2017-2018) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab  bc  ca 3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức T  a3 b3 c3   b2  c  a  Lời giải a3 b3 c3   b  ab  bc  ca c  ab  bc  ca a  ab  bc  ca a3 b3 c3 T    b  a  b  c  c  b  c  a  a  b  a  c  Do ab  bc  ca 3 nên T  a3 b c b a   3 Mặt khác ta có:  b  a  b  c a3 b c b a  a  b  a  b c 8 a3 bc ba  a  8  b  a  b  c Chứng minh tương tự: b3 c  a c b c3 a b a c  b   c  8 8  c  a  c  b  a  b  a  c Mặt khác:  a  b  c  3  ab  bc  ca  9  a  b  c 3 Hay:  T  a3 b3 c3     b  a  b  c  c  b  c  a  a  b  a  c  a b c 1 Câu 5: (HSG NƠNG CƠNG – THANH HĨA NĂM 2017-2018) Cho số thực dương a, b, c thỏa 1   mãn abc 1 Tìm giá trị lớn biểu thức P  a  ab  a  b  bc  b  c  ca  c  Lời giải Vậy giá trị nhỏ T Ta có: a  ab  a   a  1  ab  a  ab  a  dấu “=” xảy a 1 Suy ra: 1 1 1       a  ab  a  a  ab   a  ab  1   a  ab    a 1  a b 1 Dấu “=” xảy   a  ab  3 1 1     Tương tự cho biểu thức lại: b  bc  b   b  bc   1 1     c  ca  c   c  ca   Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:   1 P     2 b  bc  b  c  ca  c    a  ab  a  1   3      a  ab  a  b  bc  b  c  ca  c   3 1        a  ab  a  b  bc  b  c  ca  c   3 1 1 1  P2          a  ab  b  bc  c  ca   2 Suy P  Dấu xảy a b c 1 a b c 1 Câu 6: (HSG YÊN ĐỊNH – THANH HÓA NĂM 2017-2018) Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn a + b +c = abc Vậy P nhận giá trị lớn Tìm giá trị lớn biểu thức: P   a2   b2  1  c2 Lời giải 1 1 1   1 Đặt x  ; y  ; z  ab bc ca a b c Khi ta xy  yz  zx 1 2x y z   Khi đó: P  x2  y2  z2  Từ giả thiết ta suy    2 Để ý ta thấy x   x  xy  yz  zx  x  y x  z Áp dụng ta P 2x  x  y  x  z y   x  y  y  z z   y  z  z  x Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta 2x  x  y  x  z  y  x  y  y  z  z  y  z  z  x     1  1      x    y   z       x  y x  z x  y x  z y  z y  z       xy yz z x    1    x y yz z x 4        x   x  z 4  y  z      y  Dấu “=” xảy  y  z  xy  yz  zx 1    z   GTLN P  a  15    b  15  c   15 15 15 15  15  ; 15; 15  a; b; c        (HSG THPT TĨNH GIA NĂM 2018-2019) Cho số dương a, b, c có a  b  c 3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức a a b b c c P   2c  a  b 2a  b  c 2b  c  a Câu 5: Lời giải Ta có a a a3 a3 a3 c 3 c 3   (   ) 16 2c  a  b c  (a  b  c ) c  c 3  33 a3 a3 c  c  3a c     16 16 c 3 c 3 Suy ra: a a 3a c    16 2c  a  b b b 3b a    16 2a  b  c c c 3c b    16 2b  a  c Cộng vế tương ứng ba BĐT chiều ta P  , P  a b c 1 Câu 5: (HSG THPT CẨM THỦY 1) Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn a  b  c 3 Chứng minh : Tương tự a2 b2 c2   1 a  2b b  2c c  2a Lời giải 2 a 2ab 2ab 2/3 a  a  a   ab  (Theo BĐT Cô - si) 2 a  2b a  2b 3 ab b2 c2 2/3 2/3 Tương tự: ,  b  bc c   ca    2 b  2c c  2a 2 a b c 2/3 2/3 2/3 Khi   a  b  c    ab    bc    ca   2  a  2b b  2c c  2a 3 2/3 2/3 2/3 3    ab    bc    ca   (1)  3 Ta có Ta chứng minh  ab  2/3   bc  2/3   ca  2/3 3  a 2b  b 2c  c a 3 (2) Thật theo Cô - si ta có a  b  ab 3 a 2b , c  b  bc 3 c 2b Thật theo Cô - si ta có a  c  ac 3 a c   a  b  c   ab  bc  ca 3  a 2b  b 2c  c a  Mặt khác ta có: 2  a  b    b  c    c  a  0  a  b2  c ab  bc  ca   a  b  c  3  ab  bc  ca   ab  bc  ca  Khi ta có:   a  b  c  3  a 2b  b c  c a 2.3  9  a 2b  b 2c  c a 3 Vậy (2) đúng, thay vào (1)  ĐPCM Dấu đẳng thức xảy a = b = c = Câu 5: (HSG THPT TRIỆU SƠN NĂM 2018-2019) Cho x, y, z số thực thỏa mãn điều kiện xyz 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức   P  xy  yz  zx  15 x  y  z   x  y  z   Lời giải   2 Đặt a  z xya  P  xy  ya  ax  15 x  y  a   x  y  a   Xét hai trường hợp: ● Trường hợp 1: Cả số x, y, a âm Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta xy  ya  ax 3 x y a 3 15 x  y  a   x  y  a  15 3 x y a  7.3  xya 15  21  16 Suy P  48  49 ● Trường hợp 2: Trong số x, y , a có số âm, hai số dương Không giảm tổng quát, giả sử x  0, y  0, a  Đặt x1  x  Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta x12  y  a 2 y  2a  x1  1 1 Do P       y  2a  x1    y  a  x1     x1 y a     1 1 1 P 3      x1  y  a   3  x1  y a   49  x  y a  x1 y a    Đẳng thức xảy y a 2 x1  x1 ya 1 hay y a  x  3 32 Vậy Pmin 49  x, y , z   2, 2,    Câu 5: (THPT ĐÔNG SƠN NĂM 2018-2019) Cho a, b, c > thoả mãn: 35 4c +  Tìm giá trị nhỏ A = abc 1+a 35 + 2b 4c + 57 Lời giải 4c 35 35   2  (1) Ta có: 4c  57  a 35  2b   a   2b  35  4c 35 1  a 4c  57 35  2b 4c 35 2b   1  a 4c  57 35  2b 35  2b Mặt khác