Câu Câu Câu Câu Có 2012 thỏ nhốt 1006 chuồng, chuồng có hai Sau ngày người ta lại thay đổi vị trí thỏ cho khơng có hai thỏ nằm chung chuồng ngày trước lại nằm chung chuồng thêm lần Hỏi có tối đa ngày làm vậy? Cho n điểm mặt phẳng, với n > 4, số khơng có ba điểm thẳng hàng chứng (n 3)( n 4) minh có tứ gác lồi tạo thành có đỉnh nằm số n điểm cho n 20 n Cho nhị thức (1 x) , biết C2 n+1 +C 2n+1 +⋯+C 2n+1 =2 −1 , (n ngun dương) Tìm số hạng có hệ số lớn nhị thức? 2n 3x Tìm hệ số x7 khai triển đa thức n số nguyên dương thỏa mãn: k C21n 1 C23n 1 C25n 1 C22nn11 1024 ( Cn số tổ hợp chập k n phần tử) Câu Câu Từ số 1, 2, 3, 4, lập số tự nhiên có chữ số, chữ số có mặt lần, chữ số cịn lại có mặt khơng q lần Trong số tự nhiên nói trên, chọn ngẫu nhiên số, tìm xác suất để số chọn chia hết cho Trên bảng ô vuông 3x3, người ta đặt số viên sỏi cho ô vuông có không viên sỏi Với cách đặt ta cho tương ứng với số điểm tổng số : hàng, cột, đường chéo chứa số lẻ viên sỏi Bảng khơng có sỏi ứng với điểm a) Tồn hay khơng cách đặt sỏi cho bảng khơng có sỏi số điểm tương ứng với cách đặt b) Chứng minh số cách đặt sỏi với điểm số số chẵn số cách đặt sỏi với điểm số số lẻ Hướng dẫn giải a) Giả sử khơng có sỏi điểm số cách đặt Như hàng, cột hai đường chéo có số lẻ viên sỏi Gọi a, b, c, d số sỏi ô hình vẽ, a, b, c, d 0,1 Khi đối xứng với a, b, c, d qua tâm có số sỏi tương ứng a ', b ', c ', d' cho a a ' b b' c c' d d' 1 a b c d a b c a ' b ' c ' 3 suy hai tổng a b c a ' b ' c ' Từ số chẵn Khi dịng thứ dịng thứ ba có tổng số sỏi số chẵn, mâu thuẫn với giả thiết ban đầu Vậy không tồn cách đặt sỏi thỏa mãn điều kiện toán b) Ta gọi hai cách đặt sỏi liên hợp với ô bên trái chúng có số sỏi khác cịn lại tương ứng có số sỏi a f g ( B) (B’) b e h c d i a’ f g b h c d i Như vậy, cách đặt sỏi chia thành cặp đôi liên hợp với Xét hai cách đặt liên hợp với (B) (B’) Tổng số sỏi dòng 1, cột đường chéo hai bảng đơi khác tính chẵn lẻ Các dòng, cột đường chéo lại hai bảng có số sỏi Do điểm số ( B) (B’) khác đơn vị, suy số điểm ( B) (B’) có tính chẵn lẻ khác Vậy hai cách đặt liên hợp với nhau, cách xếp có điểm số chẵn, cách đặt cịn lại có điểm số số lẻ suy điều phải chứng minh Câu Cho chữ số 0, 1, 2, 3, 4, Có thể lập số tự nhiên có chữ số khác từ chữ số Tính tổng chữ số lập Câu Câu k k 2 k 1 Giải phương trình: C14 C14 2C14 X X X Cho tập hợp X có 2016 phần tử Chọn 64 tập , ,., 64 tập X (mỗi tập chứa nhiều 1008 phần tử) Chứng minh tồn tập A X có số phần tử không vượt A X i mà , với i 1, 64 Câu 10 Những hình vng kích thước 7´ tơ hai màu Chứng minh tồn 21 hình chữ nhật với đỉnh màu cạnh song song với cạnh hình vng Hướng dẫn giải Ta cho màu tô trắng đen Lấy hàng bất kỳ, ta giả sử tồn k ô đen – k ô 2 trắng Khi tồn Ck + C7- k = k - 7k + 21 ³ Cặp ô màu Vậy tồn 7.9 = 63 cặp ô màu hàng Tiếp theo tồn C7 = 21 cặp cột Suy tồn 21.2 = 42 tổ hợp màu cặp cột Với tổ hợp i =1;24 , giả sử tồn ji cặp tổ hợp, tồn ji – hình chữ nhật cho tổ hợp Vì tổng ji 63 nên tồn 42 å ( ji - 1) ³ 63 - 42 = 21 i=1 Vậy tồn 21 hình chữ nhật thỏa mãn yêu cầu toán A 1; 2; ; 2013 Câu 11 Cho tập hợp Cần phải loại khỏi A phần tử để tập hợp cịn lại có tính chất: Khơng phần tử tích hai phần tử khác Hướng dẫn giải Loại khỏi A tập hợp {2;3; ; 44} , tập có 43 phần tử Khi tập cịn lại {1; 45; 46; ; 2012; 2013} Rõ ràng tập thỏa mãn u cầu: Khơng có phần tử tích hai phần tử khác Ta chứng minh cách tách khỏi A tập hợp có nhiều 42 phần tử khơng thỏa mãn yêu cầu đề 0.5 đ Thật xét ba sau (43 ba): 2, 87, 2.87 3, 86, 3.86 4, 85, 4.85 ………… 44, 45, 44.45 Xét hàm số f ( x) x(89 x) với x 44 Ta có f '( x ) 89 x 0, 2 x 44 Vậy f hàm đồng biến x 44 Suy f (2) f (3) f (44) 2.87 3.86 44.45 Dễ thấy 44 45 46 87 2.87 3.86 44.45 Vì 44.45 1980 2013 nên tồn phần tử 43 ba khác nằm tập hợp A Vì ta tách khỏi A tối đa 42 phần tử, nên phần cịn lại A (sau tách) phải có ba nói Vậy cách tách không thỏa mãn yêu cầu đầu 2.0 đ Kết luận: Số phần tử cần tách khỏi A 43 phần tử Câu 12 Cho 51 điểm phân biệt nằm hình vng ABCD có cạnh 5, khơng có khơng có điểm thẳng hàng Vẽ đường trịn có bán kính có tâm 51 điểm Chứng minh tồn điểm số 51 điểm nói cho chúng thuộc phần giao hình trịn có tâm điểm Hướng dẫn giải * Chia hình vng ABCD thành 25 hình vng đơn vị ( có cạnh 1) Theo ngun lý Dirichlet, có hình vng đơn vị chứa khơng điểm * Mặt khác, khoảng cách hai điểm hình vng đơn vị khơng vượt * Gọi I1, I2, I3 điểm nằm hình vng đợ vị Vẽ đường trịn có tâm I1, I2, I3 có bán kính ( Đpcm) điểm I1, I2, I3 thuộc giao hình trịn Câu 13 Cho 2013 điểm đường thẳng, tô điểm màu màu xanh, đỏ, vàng (mỗi viên bi tô màu) Có cách tơ khác cho khơng có điểm liên tiếp màu Hướng dẫn giải Sn số cách tô màu thỏa mãn cho n ( n 3 ) điểm (bài toán ta n 2013 Gọi ) Ta tính S n 1 theo Sn , xét hai bi cuối +Nếu hai bi cuối màu bi thứ Sn có hai trường hợp xảy ra: n khác màu bi cuối +Nếu hai bi cuối khác màu bi thứ n tơ M n số cách tô n bi mà hai bi cuối màu, Pn Từ sinh hai số đặc trưng số cách tô màu n bi mà hai bi cuối khác màu hai thỏa mãn bi liên tiếp khác màu Ta có: Pn 1 2Sn ; M n 1 Pn Sn 1 2 M n Pn , S n 1 2 Pn 6S n 4S n 6S n Vậy ta Thế có hệ thức truy hồi: S3 , S4 thấy S n 1 6S n 4S n 0 Bây ta tính S3 27 24 , S 4! 12 49 Phương trình đặc trưng X X 0 có nghiệm Sn ax1n bx2n với là: x1 3 13, x2 3 13 Công thức xác định 24 13 a 3 a(3 13) b(3 13) 24 13(3 4 24 13 a(3 13) b(3 13) 49 b 13(3 a, b thỏa mãn: 23 13)3 23 13)3 Sau cho n 2013 ta kết toán Câu 14 Đối với giá trị n , tìm số k lớn thỏa mãn tập hợp gồm n phần tử chọn k tập khác cho hai tập có giao khác rỗng Hướng dẫn giải n n Số tập X Giả sử chọn tập X có giao khác rỗng Ta chia n tập X thành cặp tạo tập X phần bù tập n n n X Có cặp, chọn tập từ cặp nên theo nguyên lý Dirichlet phải có tập thuộc cặp, giao rỗng Điều chứng tỏ chọn n lớn tập cho giao hai tập chúng khác rỗng n n n n Số tập X không chứa phần tử Số tập X chứa 2 n n Do có tập X có giao phần tử nên số k lớn cần tìm