Phần 2

Câu 1: Giải phương trình sau đây: sin x  sin x cos x Hướng dẫn giải: Ta có:  sin x  sin x cos x  cos x 1  sin x  sin x   cos x  cos x 4 1  1    sin x    cos x   2  2  1   sin x  cos x   sin x cos x      sin x    cos x  sin x  cos x  2  cos x 1    cos x 0    sin x  sin x  0   cos x 1   sin x 0  cos x 0   sin x cos x  x k 2 , k  Z   cos x 0   1  sin x    x k 2    1  k, m   x   arcsin    m2     Câu 2: Giải phương trình lượng giác sau: a)  sin x  cos x   cos x 2 b) t anx   s inx cot x  c) 4(cos x  sin x ) 1  sin x Hướng dẫn giải: a)  sin x  cos x   cos x 2  sin x  cos x 1   sin(2 x  )        x    k 2  x  12  k    x   5  k 2  x    k   k Z b) t anx   s inx cot x  s inx 0  Điều kiện: cos x 0 cot x   s inx  cos x s inx  s inx cos x cos x  s inx s inx   s inx 0 cos x  s inx(  2) 0 cos x  s inx 0   cos x    pt   Với sinx 0 , không thỏa mãn điều kiện Với cos x    x   k 2  k  Z Giá trị x    k 2  k  Z bị loại điều kiện cot x   Vậy pt cho có họ nghiệm là: x   k 2  k  Z c) 4(cos x  sin x ) 1  sin x  4(1  2sin x.cos x) 1  sin x  4(1  sin 2 x) 1  sin x   2sin 2 x  sin x  0  sin x 1   sin x    sin x 1   x   k Câu 3:  k  Z Giải phương trình cosx.cos 2x  Hướng dẫn giải x k nghiệm.nhân thêm sin x vào hai vế để đưa pt sin x sin x Suy x  k 2  k 2 ; x  5 2  3 Vì x k nên pt có nghiệm x   k 2 ; x   k 2 ; x   k 2 5 Câu 4: Giải phương trình  sin x s inx  2cosx Hướng dẫn giải VT   sin x  Theo BĐT Bunhiacôpski s inx  2cosx  (12  22 )(s in x  cos x)  Vậy phương trình xảy sin x 0   sin x  cos x  k   x  (Hệ phương trình vơ nghiệm)  sin( x   ) 1;  sin   ;cos       5  Vậy phương trình cho vơ nghiệm Câu 5: Tìm nghiệm dương nhỏ phương trình cos ( x ) cos[ (x  x  1)] Hướng dẫn giải  x  x  x   2k cos ( x ) cos[ (x  x  1)]   x [ (x  x  1)]; k     2  x  ( x  x  1)  2k  x   2k 0 (1)   x  x   2k 0 (2) Ta có: (1)  x    2k ; k    xmin  (nghiệm dương nhỏ k  ) 2 (2) có  4k  0  k   k 1 (do k nguyên) (2) có hai nghiệm x1    4k    4k   0; x2   2  1 Suy nghiệm dương x1 nhỏ k 1 Khi x1min  0 Vậy nghiệm dương nhỏ pt x1min  Câu 6:  1 Cho phương trình: cos x –  2m  1 cos x  m  0 a Giải phương trình m    3  ;  2  b Tìm m để phương trình có nghiệm x   Hướng dẫn giải a m  phương trình  cos x  cos x  0  cos x  cos x  0   x   k 2 ( k  )   3  ;  2  b Tìm m để phương trình có nghiệm x    cos x  phương trình  cos x  (2m  1) cos x  m 0    cos x m    3  ;  ta có  cos x  nên cos x  không thoả mãn 2  với x     3 ; 2 Do phương trình cho có nghiệm x   Câu 7: Tìm nghiệm phương trình cos x 2004  x  2005     m    sin x  cos x  sin x 0 thỏa mãn điều kiện: Hướng dẫn giải cos x  sin x  cos x  sin x 0 (*) +  sin x  cos x  sin x cos2 x  cos x  sin x   cos x  sin x    +  *   cos x  sin x    cos x  sin x  cos x  sin x 0  cos x  sin x 0  1  cos x  sin x  cos x  sin x 1   +  1  cos2 x 0 (1) +      sin x    sin x  1  sin x 0 (vì sin x  khơng thể xảy ra) Ta có:  *  cos2 x 0 sin x 0  sin x 0  x k  ,  k  + Với điều kiện 2004  x  2005 , chọn số nguyên k 2552 Vậy x 638 Câu 8: Cho phương trình m sin x  cos x 1  m (1) ( m tham số) a Giải phương trình (1) với m 1 b Tìm m để phương trình có nghiệm Hướng dẫn giải a Với m 1 Thay vào phương trình  1 ta được:  1  sin x  cos x 0        sin  x   0  sin  x   0  x  k  x   k 4 4 4   b Phương trình có nghiệm  m    m   m  1  2m  m  m 1 Câu 9: Giải phương trình: (2  x  3) cos x  2sin      1 cos x Hướng dẫn giải Điều kiện: cos x 0 Ta có:   2 x  3) cos x  2sin      1 cos x (2  x  cos x  2sin    2 cos x 2 4        cos x    cos  x    0  sin x      cos x 1   sin x  cos x   sin x.cos  cos x.sin  2 3  x     sin  x   sin   3  x        k 2 x   k 2   ,  k    7  x   k 2    k 2  6  7 Vậy phương trình có họ nghiệm x   k 2 x   k 2 ,  k    Câu 10: Cho phương trình m sin x   m  1 cos x  m Tìm giá trị m cho phương trình cos x cho có nghiệm Lời giải ĐKXĐ: cos x 0 Với điều kiện chia hai vế phương trình cho cos x , ta được: m tan x  m  m   tan x   m tan x  m tan x  0 Đặt tan x t , ta phương trình: mt  mt  0  * Do phương trình tan x t có nghiệm với t nên phương trình cho có nghiệm  m 0  * có nghiệm   m  4m 0    m    Câu 11: Giải phương trình sin   x  cot 3x  sin    x   cos x 0 2  Lời giải ĐKXĐ: sin 3x 0   Ta có: sin   x  cot 3x  sin    x     cos x 0 cos x  sin x  cos x 0 sin 3x  cos x cos 3x  sin x sin x  cos x sin x 0  cos x   cos x   sin x 0       x 10  k  x   k  cos x 0    x    k 2  k    x   k 2     sin 3x    12     x   k 2  x     k 2  4  Câu 12: Giải phương trình tan x  cot x 2sin x  Điều kiện: x k sin x Lời giải  sin x  cos x  tan x 2sin x  sin x 2sin x  tan x 2sin x  2sin x  tan x 2sin x cos x  tan x 2sin x tan x  cot x 2sin x   4sin x  cos x  1 0  sin x  cos x  1 0  sin x 0  l  2    2x   k 2  x   k ,  k    cos x  3  Câu 13: Giải phương trình sin x  cos x sin x  cos x Lời giải 2 2 sin x  cos x sin x  cos x   cos x   cos x 1  cos10 x   cos12 x   cos12 x  cos x    cos10 x  cos8 x  0   sin x.sin x  2sin x.sin x 0  sin x  sin x  sin x  0  2sin x.sin x.cos x 0     x k  sin x 0 x  k     sin x 0   x k   k      x k   cos x 0   x   k  Câu 14: Giải phương trình 3cos x  sin x 2 Lời giải 3cos x  sin x 2  sin x 2  3cos x (Điều kiện: cos x  )    cos x  4  12 cos x  cos x  13cos x  12 cos x 0  cos x 0   cos x 12 13    cos x 0  x   k ,  k    l Câu 15: Tìm điều kiện tham số m để phương trình cos x  cos x  m 0 có nghiệm Lời giải Đặt t cos x , điều kiện  t 1 2 Phương trình cos x  cos x  m 0 (1) trở thành t  4t  m 0  f  t  4t  t m (2) Để (1) có nghiệm (2) phải có nghiệm t    1;1 Lập bảng biến thiên f  t  , dựa vào bảng biến thiên ta có điều kiện cần tìm  m 3 Câu 16: Với giá trị m phương trình sin x  cos x 1  m có nghiệm? Lời giải sin x  cos x 1  m   sin x cos 1 m sin x  cos x  2   1 m   1 m   cos x sin   sin  x    3 3  Phương trình có nghiệm  1 m 1 m 1    1   1  m 2   m 1 2 Câu 17: Cho số thực a  b  c  Số nghiệm phương trình a sin x  b cos x c khoảng      ;0    A B D thay đổi theo a, b, c C Lời giải a sin x  b cos x c  a a b sin x  b a b cos x  c a  b2 (1)  sin  x    sin  (2) (vì  c a  b2 1)    Trên khoảng   ;  phương trình có nghiệm   Giải thích: Khi biểu diễn đường trịn lượng giác, họ nghiệm phương trình sin u sin v biểu diễn điểm đối xứng với qua Oy , mà đề cho góc phần tư thứ IV nên có nghiệm Câu 18: Với giá trị m phương trình cos x  2sin x cos x  sin x m có nghiệm Lời giải 2 Ta có: cos x  2sin x cos x  sin x m  cos x  sin x m    sin  x   m 4   m   sin  x    4  m 1   m  Phương trình có nghiệm Câu 19: Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y 2sin x  cos x  2sin x Lời giải   Đặt t sin x  cos x  cos  x   ,  t  4  Ta có t  sin x  cos x  1  sin x  sin x t  Ta hàm số y  2t  2t  2,  t  Bảng biến thiên: t  y  2 2 2  22 Suy M  ; m   2 2 2 Câu 20: Tìm tất giá trị tham số m để phương trình  m   cos x  4m sin x cos x m  vô nghiệm Lời giải m   cos x  4m sin x cos x m   m   2x  4m sin x cos x m   cos 2   m   cos x  4m sin x m2     Phương trình vơ nghiệm  m2   16m  m    m2     m  3 Câu 21: Tìm tất giá trị tham số m để phương trình 2sin x  m cos x 1  m có nghiệm    x ;   2 Lời giải x 0 không nghiệm phương trình x 2t 1 t2 Đặt t tan  sin x  ; cos x  1 t2 1 t2 2t 1 t2 Ta phương trình  m 1  m  t  4t   2m 0  1 2 1 t 1 t    Phương trình có nghiệm x    ;    1 có nghiệm t    1;1  2 cos Phương trình  1  t  4t  2m phương trình hồnh độ giao điểm parabol  P  : y t  4t 1 đường thẳng d : y 2m Bảng biến thiên hàm số y t  4t  t 1   y 2    Dựa vào bảng biến thiên, phương trình  1 có nghiệm x    ;    2m 6  2   m 3  Câu 22: Phương trình sin x  cos x    5  cos  x   có nghiệm dương bé 10 ? 3  Lời giải  sin x  cos x        5  cos  x    4sin  x   5  cos  x   3 3 3      2 2 Ta có: sin  x   1  4sin  x   4 3 3        cos  x   1  5  cos  x   6 3 3    2     sin  x   1  x    k       x   k ,  k   Dấu " " xảy   cos  x     4 x     l 2 , k , l        3 Vậy có nghiệm dương bé 10 ứng với k 0, k 1, k 2, k 3 Câu 23: Biểu diễn tập nghiệm phương trình cot x tan x  điểm? cos x đường tròn lượng giác ta sin x Lời giải Điều kiện: sin x 0  x k  x  cot x tan x  k ,  k   2 cos x cosx sin x cos x     cos x cos x sin x sin x cos x sin x.cos x  cos x    2cos x  cos x  0    cos x 1 + Với cos x 1  sin x 0 (không thỏa điều kiện)  + Với cos x   x   k ,  k   (thỏa điều kiện)  Biểu diễn hai họ nghiệm x   k ,  k   đường tròn lượng giác ta điểm