THÔNG TIN TÀI LIỆU
1 XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG QUÁT 1.1 DỰ ĐOÁN SỐ HẠNG TỔNG QUÁT VÀ CHỨNG MINH BẰNG QUY NẠP u1 11 un u 10un 9n, n N Bài Cho dãy số xác định : n 1 Xác định số hạng tổng quát dãy cho Hướng dẫn giải Ta có: u1 11 10 u2 10.11 102 100 u3 10.102 9.2 1003 1000 u 10 n n 1 Dự đoán: n Chứng minh theo quy nạp ta có u1 11 101 , công thức 1 với n 1 Giả sử công thức 1 với n k ta có uk 10k k u 10 10k k 9k 10k 1 k 1 Ta có: k 1 với n k Công thức n Vậy un 10 n , n N Bài Cho dãy số (un ) biết u1 un 3un 1, n 2 Xác định số hạng tổng quát dãy Hướng dẫn giải 1 un 3un un 3un un 3(un )(1) 2 2 1 5 un v1 u1 2 Đặt (1) 3vn , n 2 (v ) cấp số nhân với công bội q 3 Dãy n n Nên n 1 un vn , n 1, 2, 2 Do v1.q n 1.2 DÃY SỐ CHO BỞI CƠNG THỨC TRUY HỒI 1.3 PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC TRƯNG 1.4 PHƯƠNG PHÁP DÃY SỐ PHỤ 1.5 DÃY SỐ SINH BỞI PHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH 1.6 SỬ DỤNG PHÉP THẾ LƯỢNG GIÁC 1.7 CÁC DẠNG KHÁC MỘT SỐ DẠNG TỐN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH CHẤT CỦA DÃY SỐ Bài Cho dãy xn xác định bởi: Chứng minh ∀ n∈N {x1=1;x2=3 ¿ ¿¿¿ ta có xn số phương Hướng dẫn giải: Dễ thấy xn Z n N , n 1 Ta có xn = xn xn xn xn 3 xn xn 2 ⇔ ⇔ từ ta có x n−6 xn x n−1 +9 x n−1 = x 2n−1 −6 x n−1 x n−2 +x 2n−2 2 x n−6 xn x n−1 + x n−1 = x 2n−1 −6 x n−1 xn−2 +x 2n−2 x 2n−6 xn x n−1 + x2n−1 = ⇒ 2 x 2−6 x x1 + x 1=−8 x n−1 −6 x n x n−1 +x n +8=0 (1) ' Vì nên phương trình (1) phải có nghiệm nguyên Do (1) có Δ phải số phương Tức tồn cho ' Δ= Từ (2) ta suy k phải số chẵn ⇒ Vậy 2 ⇒ k=2 m ;m∈N x 2n−( x 2n +8 )=8( x 2n−1 )=k 2 x 2n −2 x n−( x n +8 )=8( x n−1 )=k kN an n (2) số phương Bài Cho dãy với xác định bởi: a) Chứng minh an chia hết cho n với giá trị nguyên dương n a1 1; a2 2; a3 6; a4 12 an bn n Chứng minh tồn vô số an 4 2an 3 an 2 2an 1 an , n 1 số nguyên dương b) Đặt n để 2015 ước bn Hướng dẫn giải a) Ta có b1 1; b2 1; b3 2; b4 3 Dễ thấy bn Fn với n 1; 2;3; b F Bằng quy nạp ta chứng minh dãy n trùng với dãy n Thật vậy: Mệnh đề với n 1; 2;3; Giả sử mệnh đề đến n Khi ta có: (n 4)bn 4 2(n 3) Fn 3 ( n 2) Fn 2 2(n 1) Fn 1 nFn n Fn4 Dùng công thức dãy Fibonaci : Fm2 Fm1 Fm ta dễ dàng biến đổi vế phải thành suy bn 4 Fn 4 Vậy mệnh đề với n , với n nguyên dương Điều chứng tỏ an ln chia hết cho n với n nguyên dương r b) Gọi rn số dư bn cho 2015 với n 1; 2;3; Trước tiên ta chứng minh n dãy tuần hồn Thật vậy: Ta có : bn 2 b n 1 bn rn 2 rn 1 rn (mod 2015) Vì có vơ hạn cặp ( r1; r2 ), ( r2 ; r3 ), (rn ; rn 1 ) nhận hữu hạn giá trị khác nên tồn hai phần tử dãy trùng Ta giả sử ( rm ; rm1 ) (rmT ; rmT 1 ) (với T số nguyên dương) Ta chứng minh (rn) tuần hoàn với chu kỳ T ) Ta có : rm 2 rm 1 rm (mod 2015); rm T rm T 1 rm T (mod 2015) rm 2 rmT (mod 2015) rm 2 rmT Tiếp tục ta chứng minh được: rmk rmT k với k 0 (1) ) Ta có : rm rm1 rm (mod 2015); rmT rmT 1 rmT (mod 2015) rm rmT (mod 2015) rm rmT Bằng quy nạp ta chứng minh được: rm k rmT k với k 1; 2; ; m (2) r Từ (1) (2) suy n n 0 dãy tuần hoàn b r Bổ sung vào dãy n phần tử bo 0 thỏa mãn b0 b1 b2 suy r0 Khi dãy n dãy tuần r hoàn phần tử r0 = Do tồn vô số phần tử dãy n Như câu b chứng minh xong GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 3.1 TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA Bài Cho dãy số an a1 a a an 1 2an 2an 3an 4an xác định : a a Chứng minh với số thực a 0 dãy n hội tụ Tùy theo a , tìm giới hạn dãy n Hướng dẫn giải a 2 a Nếu a (do bất đẳng thức AM-GM) Nếu a a 1 2 a a a (do bất đẳng thức AM-GM) nên * Nếu a 1 a1 2 Ta chứng minh: an 2, n Hiển nhiên a1 2 2.23 2.22 ak 2 ak 1 2 3.2 4.2 Giả sử lim an lim 2 Vậy a * Nếu a 1 a1 Ta chứng minh an n Rõ ràng a1 Giả sử ak Ta chứng minh ak 1 2ak 2ak 2 ak a k 3ak 4ak ( đúng) a Ta chứng minh n dãy giảm, : a 2a an an 1 an n, an 1 an n n 0 3an 4an 3an 4an ( tử âm, mẫu dương 2 an 3an 4an 2 an 2 an 3an 4an Mà ) ak 1 an a giảm bị chặn n có giới hạn L 2a 2an 2 L3 L2 lim an 1 lim n 3an 4an 3L2 L L 2 an L Vậy lim an 2 Nếu a a1 Tương tự, ta có: an 2an an an 1 an n, an 1 an 0 3an 4an 3an 4an a tăng Hơn n bị chặn , 2ak 2ak 2 ak 1 ak 1 (2a 3) 3ak 4ak nên an a a Vậy n tăng bị chặn n có giới hạn L an 1, n , an 1 an 0, n L3 L2 L an 1 L 2 3L2 L Vậy lim an L Tóm lại: + Nếu a 1 lim an 2 a + Nếu a 1 lim an 2 Bài + Nếu a lim an x Cho dãy số n xác định x1 2015 * xn 1 xn x x x x 2015 n n n n n Tìm giới hạn dãy nxn n , với số thực cho trước Hướng dẫn giải Dễ dàng chứng minh xn 0, n 1 qui nạp Ta có 1 xn 1 xn , n 1 xn21 xn xn2 xn2 ; n 1 xn xn xn x xn2 xn2 x12 n 1 Bởi n N, n 2 n xn 1, n 2 lim xn n * Với n N , đặt xn 1 xn xn 1; n 2 tn 2015 tn 2015 tn xn xn xn xn t xn2 , với t 2 2014 2015 (1), suy 2t 1 x x xn tn xn2 tn2 xntn n xn xn xn n b1 x12 b xn2 xn2 , n 2 b Áp dụng định lý trung bình Cesaro cho dãy n với n b b bn lim lim bn lim bn 2 n n ta có n suy n n 1 n 2 2 2 n xn2 xn xn xn xn x2 x1 x1 b1 b2 bn lim n x n n n Mà n suy n lim n x sau (chứng minh định lý trung bình Cesaro) n Thật ta chứng minh trực tiếp cn : c1 x12 2; cn xn2 xn2 với n 2,3 cn , n m lim cn 0 * n nên tồn m N cho M max ci Gọi với i m m 1 M m 1 M m 1 M m 1 m ' m Với tồn hay n max m, m ' Xét ta có n n m | i 1ci | i m ci i 1 | ci | n m 1 m 1 M m 1 M n n n n n m 2 o theo định n | i 1ci | lim 0 n nghĩa n 2 2 2 n xn2 xn xn xn xn x2 x1 x1 c1 c2 cn lim 2 n x 2 n n n n suy Xét dãy Nếu n.xn n.xn n 2 2 Nếu n.xn xn n.xn n 2 2 Nếu n.xn xn n.xn n 3.2 TÍNH GIỚI HẠN BẰNG CÁC CƠNG THỨC CƠ BẢN u Bài Cho dãy số n xác định sau u1 1 * un 1 un un un un 16, n n Đặt i 1 ui , tính lim Hướng dẫn giải: * Dễ thấy un 0, n Theo ta có un 1 u n 6un un2 6un 16 un 1 un 1 un Suy n i 1 Do u n 6un un2 6un un 1 1 un u n n 1 1 1 ui i 1 ui ui 1 u1 un 1 un 1 Mặt khác, từ un 1 un 6un ta suy un 1 6un Kết hợp với u1 1 ta có un 6n , n * lim un lim un 1 0 1 lim lim un 1 Từ ta có u Cho dãy số thực n Bài * ln un2 nun 1, n * n với thỏa mãn n nun n un Tìm lim Hướng dẫn giải: * f x ln x nx 1, x Với n , đặt n x 1 n 0 2x f x n x2 x2 Ta có ' n x f n' x 0 n 1 Do fn x hàm tăng thực f n 1 f n n ln n Ta có f u 0 Do !un cho n n lim un 0 Ta thấy n un n u2 n 1 lim ln u n n lim nun lim ln un2 1 n Do đó: n n ln un2 n nun lim lim lim nun ln un2 un2 1 n n n un un Vậy Bài Cho dãy số an , n 1 thỏa mãn a1 1, an 2n an , n 2 b , n 1 thỏa mãn 2n dãy n n bn , n 1 i 1 Chứng minh dãy bn có giới hạn tìm giới hạn Hướng dẫn giải: Ta có 2nan 2n 3 an an 2 n 1 an nan , n n Do bn iai i 1 1 2 n 1 an 1 i 1 nan , n 1 n Ta chứng minh quy nạp Thật vậy: - Với n = 1, ta có a1 1 nên khẳng định an 1 n 1 2n an n 1 2n n n , ta cần chứng n 1 Ta có - Giả sử khẳng định với n 2n 2n 1 n 2n n 2n n n n 1 n minh 4n 4n 1 n 1 4n3 3n Bất đẳng thức cuối nên khẳng định với n Theo ngun lí qui nạp khẳng định chứng minh 1 2 n 1 an 1 bn 2 n Ta có Theo ngun lí kẹp dãy Bài 10 Cho dãy số an lim bn 2 có giới hạn a1 n 1, n 2 n a n a n 1 a a n n 1 n n 1 thỏa mãn: bn Tìm lim an Hướng dẫn giải n 2 * Dễ thấy an 0, n Từ giả thiết ta có * Với n , đặt yn an 1 n2 n 1 an 1 an ta có y1 1 1 1 n2 2 2 n y n y n n y n y y y n1 n1 n n 1 n n 4 4 n 2 Do 2 2 4n n 1 n 1 n yn an y1 2 n 1 n 16 n n 1 n 1 n Vậy lim an 4 3.3 TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH LÍ KẸP lim n Bài 11 Tìm n n ! Hướng dẫn giải n Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức : n! > ( ) n (*) ( n N*) Bằng phương pháp qui nạp Thật : với n =1 , ta có > (đúng) k Giả sử (*) với n = k tức : k! > ( )k Ta chứng minh (*) với n = k+1 k k 1 k 1 (1 ) k k > ( )k+1 Ta có (k+1)! = k!(k+1) >( ) k (k+1) = ( )k+1 Bất đẳng thức cuối : k k (k 1) k (k 1)(k 2) (k k 1) k k + + k! (1+ k )k =1+ k + 2! k = 1 1 k1 1 1 (1 ) (1 )(1 ) (1 ) k + + k ! k k k < 1+1+ 2! +… + n ! xn m n Xét hàm số: f ( x) 2mx m f '( x ) 0; m ( x 1) x ta có f(x) nghịch biến Suy ( x2 n ), ( x2 n 1 ) đơn điệu bị chặn 0m x x3 x5 2017 x1 x2 , x3 2016 x2 x4 x6 f ( f (1)) 4m m 1, x2 x2 n n N * m 4 2017 + Giả sử a (1 b ) m lim x2 n a, lim x2 n 1 b a 1, (I ) b(1 a ) m a b ( II ) a a m ( I ) b a ( III ) a m a Khi o m 2 hệ (I) có nghiệm (xn) có giới hạn hữu hạn 2m Khi 2017 2016 hệ (II) có nghiệm lớn hệ (III) có nghiệm thỏa mãn a b Do lim x2 n lim x2 n 1 ( xn ) giới hạn 2017 m 2017 2016 x1 x2 , x1 x3 2016 x1 x3 x5 x2 x4 x6 lim x2 n lim x2 n 1 ( xn ) khơng có giới hạn * + m 2017 2016 xn 2016 n N l imxn 2016 x x3 x5 m 2017 2016 x1 x2 , x1 x3 x2 x4 x6 + lim x2 n lim x2 n 1 ( xn ) khơng có giới hạn *) m tượng tự ta có m 2 m 2017 2016 x Bài 13 Cho số thực a, xét dãy số n n 1 xác định xn3 xn x1 a, xn 1 , n 1, 2, xn xn Tìm tất giá trị a để dãy số có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó? Hướng dẫn giải: lim xn Với a xn 1, n 1 nên n 3 xn 1 xn xn , xn , n 2 x x x x a n n n n Với Do xn xn a2 xn xn a 1 xn a 1 3n 3n 3n , n 1 a 2 3n 3n , n 1 a a 1 Từ đó, tính a a a lim xn n Kết luận + , a a lim xn n + 3 a xn , n 1 lim xn n 2 + a Bài 14 Cho hai dãy số dương an n0 , bn n0 xác định bởi: a0 3, b0 2 an 1 an bn 1 a n 1 a b n n Với n 0,1, 2, Chứng minh hai dãy hội tụ tìm giới hạn chúng Hướng dẫn giải: an tan Ta chứng minh quy nạp , bn , n 0,1, 2, (*) n 3.2 cos n 3.2 Thật tan , b0 2 3.2 cos 3.2 , * Với n 0 , ta có a1 tan tan , b1 3.2 3 cos 3.21 , * Với n 1 , ta có an tan , bn n 3.2 cos n n k , k 3.2 Giả sử khẳng định đến , tức an 1 tan , bn 1 n 1 3.2 cos n 1 3.2 Thật Từ 1 ta có Ta chứng minh sin n 2sin n 1 cos n 1 sin cos n 1 an 1 3.2 3.2 3.2 3.2n 1 3.2 an 1 cos n cos sin n 1 3.2 3.2 3.2n 1 a0 tan sin n 1 cos n 1 tan n 1 sin n 1 cos n 1 3.2 3.2 3.2 3.2 3.2 a cos sin n 1 tan n 1 cos n 1 sin n 1 cos n 1 sin n 1 3.2n 1 3.2 3.2 3.2 3.2 3.2 3.2 1 bn21 an21 tan 1 bn 1 n 1 3.2 cos cos n 1 n 1 2 3.2 3.2 Khi từ , suy , bn , n 0,1, 2, n 3.2 cos n 3.2 Như theo nguyên lý quy nạp 1 lim an lim tan n tan 0; lim bn lim 1 n n n 3.2 cos n cos n 3.2 Do an tan n 1 tan 3.2n 1 lim an 0; lim bn 1 Kết luận: n Bài 15 Cho dãy số (un ) xác định sau : n ■ u1 2014 2 un 1 un (1 2a )un a ; n 1, 2, Tìm điều kiện a để dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn n tính giới hạn Hướng dẫn giải Ta có: un 1 un (un a) 0 un 1 un ; n 1, 2,3, * Suy dãy số (un ) tăng knn ; từ dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn dãy bị chặn 2 lim un L ( L ) Giả sử n , chuyển qua giới hạn hệ thức un 1 un (1 2a )un a ta có: L L2 (1 2a ) L a L a lim un L a * - Nếu có số k mà uk a un a; n k trái với kết n 2 Do đó: uk a với k 1, 2, hay un (1 2a)un a a, n 1, 2,3, a u1 a a 2014 a * Đảo lại: Nếu a 2014 a a u1 a (u1 a 1)(u1 a ) 0 u12 (1 2a )u1 a a 0 u2 a u1 u2 a u2 a Bằng quy nạp ta chứng minh a un a, n 1, 2,3, (H/s trình bày ra) Như dãy (un ) tăng knn, bị chặn bới a , dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn lim un a Kết luận: Với điều kiện a 2014 a dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn n n Bài 16 Cho dãy số xn x1 a xn3 xn 1 x , n 1, 2,3, n thỏa mãn Tìm a cho dãy số xác định có giới hạn hữu hạn Hướng dẫn giải Đặt f x 2x , x 3x Ta có x1 a, xn 1 f xn Ta có f ' x 6x4 6x2 3x 1 x x 1 3x 1 Bảng biến thiên x f’(x) -1 3 3 -1 f(x) Ta xây dựng dãy số sau a0 , a0 f a1 , a1 f a2 , a2 f a3 , Nhận thấy a1 , a3 , , a2 k 1 , 0; a0 , a2 , , a2 k , 3 a1 ;0 , a2 f a1 0; Dựa vào bảng biến thiên ta thấy a2 a0 f a3 f a1 a3 a1 f a4 f a2 a4 a2 Bằng quy nạp ta chứng minh dãy tăng bị chặn Ta có a2k a đơn điệu giảm, bị chặn , dãy k 1 đơn điệu lim a , lim a Từ tồn k k k k 1 an f an 1 f f an 2 lim an f f lim an 2 l f f l 2l 2 3l l 2l 3 3l 1 l l l 1 20l 15l 0 5 (*) x3 f x , x ;0 , x (do liên tục Xét 0l 3 0; l lim an n ) 3 * an l Vậy Ta có f f an an an 2 an nên Tương tự ta chứng minh dãy a2 k 1 đơn điệu tăng, hội tụ xn a 5 x2 x1 , x3 x2 nên ta có dãy +) Nếu Dãy khơng hội tụ 5 nÕu n ch½n nÕu n lỴ xn a 5 ta có dóy +) Nu n chẵn n lẻ Dóy không hội tụ +) Nếu tồn n cho a an ta có x1 an f x1 f an x2 an f x2 f an x3 an , , xn 1 a0 3 Khi không tồn xn 2 Vậy a an dãy khơng xác định +) Nếu 0a 5 hai dãy x2 k , x2 k 1 hội tụ nên giới hạn dãy x f a a x1 Nếu a hàm số đồng biến nên dãy đơn điệu giảm, bị chặn Khi dãy hội tụ a 1 x f a 1 +) Nếu Khi ta khảo sát dãy từ x2 Trường hợp dãy đơn điệu giảm bị chặn nên hội tụ +) Nếu a = xn 1 n nên dãy hội tụ +) Nếu 5 a lim a2 n a0 n ta có nên tồn a2 k , a2 k 2 cho a2 k 2 a a2 k (Thật vậy, số hạng a2k bên phải a Vậy khơng thể nằm bên trái a a a2 n a0 3 , chúng nằm lim a2 n n ) a a2 k 2 ; a2 k x2 a2 k ; a2 k , , x2 k a2 ; a0 , x2 k 2 a0 ; x2 k 2 3 Khi ta lại có dãy đơn điệu giảm, bị chặn nên hội tụ Vì f(x) hàm lẻ nên trường hợp a 0, a , a 1, a ta khảo sát tương tự Kết luận: Điều kiện để dãy xác định có giới hạn hữu hạn a ; a ; a an , n 1, 2,3, Bài 17 Cho dãy số Chứng minh an xác định a1 1 lim an n 0 n an 1 an n , n 1 an Hướng dẫn giải a2 a1 a1 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có (do a1 1 ) Nhận xét: an n, n 2 Ta chứng minh nhận xét phương pháp quy nap Thật Với n 2 ta có a2 (đúng) Giả sử ak k Ta có ak 1 ak k k ak2 k k 1 ak ak ak2 k 1 ak k ak 1 ak k (đúng) Suy ak 1 k Như an n, n 2 (điều phải chứng minh) n n an 1 n 1 an n 1 an n an an Mặt khác, an2 n 1 an n an n an 1 an an (1) Áp dụng (1) ta có a2 a2 1 a3 a2 a 3 a3 1 a4 a3 an n an 1 an 1 n 1 an Suy a3 3 a4 an1 n 1 an 1 n 1 a2 a2 1 a3 3 a3 1 an n an 1 a2 a3 an a2 a2 1 a3 1 an 1 a2 a3 an 1 1 an 1 n 1 a2 1 a2 a3 an n 1 an 1 n 1 a2 i 2 (2) n an an 1 an a n 1 n an n 1 an 1 an 1 an 1 an 1 (do an Ta lại có ) n Suy i 2 a1 a2 an a1 an a2 a3 an an 1 n 1 a2 Từ (2) a1 a a2 an n (vì an n ) an 1 n 1 a2 a1 n a1 a 0 lim a2 0 n n Mà n n lim Do lim an 1 n 1 0 n Bài 18 hay lim an n 0 n * Cho p , a a1 Xét dãy số ( an ) xác định bởi: 1 a an 1 ( p 1)an p p an , với n 1 Chứng minh dãy số ( an ) có giới hạn hữu hạn n Hãy tìm giới hạn Hướng dẫn giải * Theo bất đẳng thức Cơsi ta có: a a p an 1 an an an p p p anp p a p an p an p , với n 1 (1) 1 a an 1 an ( p 1)an p an p an a anp a a n 0; n 2 p p.anp p.anp Do đó: Từ (1) (2) ta có dãy số ( an ) giảm bị chặn suy dãy số ( an ) có giới hạn hữu hạn n Giả sử lim an L n p a; p ; ( L a ) 1 a an 1 ( p 1)an p p an Chuyển qua giới hạn hệ thức 1 a L ( p 1) L p pLp ( p 1) Lp a p L ta có phương trình (2) p Lp a L a (thỏa mãn điều kiện) p lim an a Vậy n x Cho trước số thực dương xét dãy số dương n thỏa mãn Bài 19 xn1 Chứng minh dãy xn 1 1 * xn với n hội tụ tìm giới hạn Hướng dẫn giải f ( x ) x , x x Xét hàm số 1 x 1 f '( x ) x 1 f '( x ) x x x x Ta có ; Ta có bảng biến thiên hàm f(x): x x0 0 f'(x) +∞ + +∞ +∞ f(x) f(x0) f ( x ) f x0 Suy Do xn1 1 1 ( 1) 1 1 1 1 xn1 xn xn 1 x x Suy xn 1 xn hay n dãy giảm Kết hợp với xn với n ta suy dãy n hội tụ 1 ( 1) x0 Đặt lim xn Chuyển qua giới hạn ta Vậy lim xn Bài 20 1 Tìm tất số c cho dãy số dãy số (un ) thỏa mãn un (0;1) n 1 un 1 (1 un ) c hội tụ Với giá trị c tìm tính giới hạn dãy (un ) Hướng dẫn giải Ta xét trường hợp sau + Nếu c cun c un 1 4cun ; n 1 un un (1 un ) , từ giả thiết, ta có c n u (4 c ) u u Do 4c nên n Từ quy nạp, ta suy n n Do đó, khơng thỏa mãn 4c c a (1 b) c a , b ; , a b 0c 2 , tồn + Nếu cho b(1 a ) c Thật vây, lấy 4c c a ; , 2 đặt b a x ( x 0) , a(1 a ) c a (1 b) c a (1 a x ) c x a Chú ý b(1 a) a(1 a) c Do đó, ta cần chọn x b a x, bất đẳng thức nêu Xét dãy số (un ) xác định a n 2m un b n 2m 1 0c ( u ) khơng thỏa mãn dãy n thỏa mãn giả thiết không hội tụ Thành thử, un 1 un 1 un c 4(1 u ) u (1 u ) n n n + Nếu , Suy dãy (un ) tăng bị chặn Do đó, (un ) hội tụ 1 x(1 x) x lim un x li m u , n từ giả thiết ta có hay Vậy Đặt Bài 21 Cho dãy số sn với un sn * xác định sau: u1 2 , un 1 un un , n Tìm giới hạn dãy 1 , n * u1 u2 un Hướng dẫn giải Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un 2 u Xét tính đơn điệu dãy n Từ hệ thức un 1 un un ta suy n * , un 1 un un 1 u , dãy số n tăng Tính tổng: Từ hệ thức truy hồi (1) ta suy un 1 un 1 un un 1 1 1 1 un un 1 un un un un un 1 * * với n Thay n 1, 2, 3, , n vào (*) cộng vế với vế đẳng thức ta suy : 1 1 1 u1 u2 un un 1 Do dãy un dãy tăng nên có hai khả sau xảy ra: u bị chặn Theo tiêu chuẩn Weierstrass, nên n tăng bị chặn nên có giới hạn lim un a a 2 Giả sử n Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) n ta có: 2 a a a a 2a 0 a 1 , vô lý 1) Dãy un 2) Dãy không bị chặn trên, un tăng không bị chặn nên lim un lim un 1 lim 0 n n n u n 1 1 1 lim lim 1 n u u2 un n un Vì từ (2) ta suy ra: Bài 22 Cho dãy số (un) thỏa mãn : u0 2016; un 1 un un2 un3 Tính n n lim Hướng dẫn giải (un 1 )3 un un3 un un un (un 1 )3 un3 un3 , n un un Do un n => 3 suy (un ) u0 3n 2016 3n, n Lại có (1) (un 1 ) un un3 un un u n 1 un3 un3 3 2016 3n 2016 3n n 3n 1 (un 1 )3 un3 n n 3n => Suy n n n 1 n u13 3n k 1 k k 1 9k k 1 k k 1 9k n 1 1 1 2 1.2 2.3 (n 1)n n k 1 k (un )3 u13 3( n 1) Do n n n 2n k k 1 k k 1 (Bất đẳng thức Bunhiacopxki) (un )3 u13 3n 2n suy (2) Từ (1) (2) suy 20163 3n (un )3 u13 3n 2n , n 3 (u ) u 2016 2 3 n 3 , n n n n 9n n un3 3 Do n n lim Bài 23 Cho số thực a, xét dãy số xn xác định bởi: x1 a, xn 1 ln cos xn sin xn 2014, n 1, Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn n Hướng dẫn giải Đặt f x ln sin x cos x 2014, x cos x sin x sin x cos x f ' x cos x 4 f ' x f ' x sin x 4 f ' x 2 f ' x f ' x Áp dụng định lí Lagrange cho hàm số f x q, x liên tục có đạo hàm , với số thực x,y tồn z cho: f x f y f ' z x y q x y f x f y q x y , x , y m n m, n * , x x f xm f xn q xm xn q m n xm n 1 x1 ta có: m n 2014 xn 2014 ln 5, n * xn Mặt khác: bị chặn 0, N * : q m n xm n 1 x1 , m n N Do đó: x Vậy n dãy Cauchy, nên dãy số cho hội tụ Với GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 4.1 TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA 4.2 TÍNH GIỚI HẠN BẰNG CÁC CƠNG THỨC CƠ BẢN 4.3 TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH LÍ KẸP 4.3 TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐẠO HÀM 4.4 CÁC DẠNG KHÁC
Ngày đăng: 18/10/2023, 20:14
Xem thêm: