65 de hsg toán 11 cả nước giải chi tiết 157 206

TUYỂN CHỌN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 TỪ NĂM 2010 – 2018 ĐỀ SÓ 32 (Đề thi HSG lớp 11, TP Đà Nẵng, năm học 2010 – 2011) Câu (2,0 điểm) 2 Giải phương trình lượng giác sin x.cos x  sin x 0 Câu   x    y  8  x  y  y  x 4 Giải hệ phương trình  (2,0 điểm) u  Cho a , b , c ba số n dãy số xác định công thức: * un a n   b n   c n   n    lim un 0 Chứng minh n  a  b  c 0 Các số a , b , c (theo thứ tự đó) lập thành cấp số nhân có tổng 26 Tìm số biết rằng: cấp số cộng có a số hạng thứ nhất, b số hạng thứ ba c số hạng thứ chín Câu (2,0 điểm) n n1 Chứng minh rằng: với số tự nhiên n , số  chia hết cho không chia hết cho 3n2 Câu Từ tập hợp tất số tự nhiên có năm chữ số mà chữ số khác , lấy ngẫu nhiên số Tính xác suất để số tự nhiên lấy có mặt ba chữ số khác (3,0 điểm)  P  mặt Cho hình hộp ABCD ABC D Trên cạnh AB lấy điểm M khác A B Gọi  ACD phẳng qua M song song với mặt phẳng  P a) Trình bày cách dựng thiết diện hình hộp mặt phẳng b) Xác định vị trí M để thiết diện nói có diện tích lớn Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành M trung điểm SC Một mặt phẳng Câu  P chứa AM cắt cạnh SB , SD điểm B , D khác S Chứng SB SD    minh rằng: SB SD (1,0 điểm) Khảo sát tính chẵn – lẻ, tính tuần hồn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y sin   sin x  ĐỀ SỐ 33 (Đề thi HSG lớp 11, Vĩnh Phúc, Hệ không chuyên, năm học 2010 – 2011) Câu Câu (2,0 điểm) Giải phương trình: (2,5 điểm) Cho khai triển: 1 x  x tan x   x3   x 2010   cot x 2  cos x 0 cos x  cot x 2011 a0  a1 x  a2 x   a4042110 x 4042110 a  a  a   a4042110 a) Tính tổng b) Chứng minh đẳng thức sau: 2010 2011 C2011 a2011  C2011 a2010  C2011 a2009  C2011 a2008   C2011 a1  C2011 a0  2011 Câu Gọi A tập hợp số tự nhiên có chín chữ số đơi khác Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên thuộc tập A Tính xác suất để chọn số thuộc A số chia hết cho (2,5 điểm) * u  u 2011 un  n  un   un  Cho dãy số n xác định sau , , với n   , n 2 Chứng minh dãy số A lim Câu  un  có giới hạn tìm giới hạn x x   3x   x2  x Tính giới hạn: (3,0 điểm) Cho hình hộp ABCD ABC D có tất mặt hình vng cạnh a  ABD  đường thẳng AC  qua trọng tâm Chứng minh AC  vng góc với mặt phẳng tam giác ABD Hãy xác định điểm M , N nằm cạnh AD , CD cho MN vng góc với mặt phẳng  CBD Tính độ dài đoạn MN theo a ĐỀ SỐ 34 (Đề thi học sinh giỏi lớp 11, Vĩnh Phúc, Hệ chuyên, năm học 2010 – 2011) Thời gian làm bài: 180 phút Câu (4 điểm)  Giải phương trình:   cos x     sin x.cos x  sin x  cos x  0  x  y 1  2 2 y  z 1 ( x, y, z  )  xy  yz  zx 1 Giải hệ phương trình:  Câu (2 điểm)     Giả sử A, B, C , D số đo DAB , ABC , BCD , CDA tứ giác lồi ABCD Chứng minh rằng: sin A  sin B  sin C 3sin Tính giá trị lớn biểu thức: Câu P  sin A B C A  sin B  sin C  sin D (1 điểm) Gọi A tập hợp số tự nhiên có tám chữ số đơi khác Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên thuộc vào tập A Tính xác suất để chọn số thuộc A số chia hết cho Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC Phân giác góc A, B, C cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A1 , B1 , C1 Đường thẳng AA1 cắt đường thẳng CC1 I ; đường thẳng AA1 cắt BC điểm N ; đường thẳng BB1 cắt đường thẳng A1C1 điểm P Gọi O tâm đường tròn IPC1 Đường thẳng OP cắt đường thẳng BC điểm M Biết BM MN ngoại tiếp tam giác điểm   BAC 2 ABC Tính góc tam giác ABC Câu (1 điểm) f :  0;     0;   Cho hàm số minh f ( x)  x, x  1  f (3 x)  f  f (2 x )   x, x  2  thỏa mãn điều kiện Chứng ĐỀ SỐ 35 (Đề thi HSG lớp 11, Chuyên Đại Học Vinh, năm học 2010-2011) Thời gian làm bài: 180 phút Bài Bài Bài Giải phương trình:  sin x  cos x  u2010  (Kí hiệu  x  số nguyên lớn không vượt x ) Cho a, b, c  thỏa mãn ab  bc  ca 3abc Chứng minh rằng: a2  b2 b2  c2 c2  a2   3  a b b c c a Bài   xy  x  y  x  y  x y  y x  2 x  y Giải hệ phương trình  u1 1   un1 un  u , n 1, 2, n Cho dãy  Tính Bài cos3 x  sin x  cos x  a b  b c  c a  Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB M nằm tia đối tia BA Một đường thẳng qua M cắt nửa đường tròn (O) C D ( MD  MC ) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AOC BOD cắt điểm thứ hai K Gọi L giao điểm AD BC a) Chứng minh tứ giác AKLB nội tiếp b) Chứng minh LK  OK c) Chứng minh K , L, M thẳng hàng Bài Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy có hai điểm A(1; 0), B(3;0) H điểm thay đổi Oy AH BH cắt đường trịn đường kính AB điểm thứ hai D E Chứng minh đường thẳng DE qua điểm cố định Xác định tọa độ điểm cố định ĐỀ SỐ 36 (Đề thi chọn HSG lớp 11, Chuyên Đại Học Vinh, năm học 2011-2012) Thời gian làm bài: 180 phút Bài 2 Giải phương trình 32 x  x   x Bài Tìm số nghiệm ngun khơng âm phương trình Với Bài x1 20 x2 11 x3  , , Chứng minh tam giác ABC ta ln có 2sin A  sin B  sin C  Bài x1  x2  x3  x4 2011 25 Cho hai điểm B, C cố định đường tròn (O; R ) , điểm A thay đổi đường trịn Gọi H trực tâm tam giác ABC  Chứng minh BAC 60 AH R Tìm quỹ tích trọng tâm G tam giác HBC Bài Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường trịn tâm I , bán kính r có BC a , CA b , AB c , p R R R nửa chu vi Gọi R , , , bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , IBC , ICA , IAB Chứng minh rằng: a b c p  2  R1 R2 R3 r.R Đề số 37 (Đề thi HSG lớp 11, Vĩnh Phúc, hệ không chuyên, năm học 2011 – 2012) Thời gian làm bài: 180 phút Câu (1,5 điểm) tan x  tanx   sin( x  ) 2 Giải phương trình:  tan x Câu (3,0 điểm) Gọi A tập hợp số tự nhiên gồm chữ số Chọn ngẫu nhiên số từ tập A , tính xác suất để số chọn chia hết cho chữ số hàng đơn vị Chứng minh đẳng thức sau: 2012 2012 2 2012 2012 C   C  C   C  Câu 2 2011 2012 1006    C2012    C2012  C2012 (2,5 điểm) Chứng minh phương trình x  x  0 có ba nghiệm thực phân biệt Tìm ba nghiệm sin n u1 sin1; un un   , n  N , n 2 ( u ) n Cho dãy số n xác định bởi: Chứng minh (u ) dãy số n xác định dãy số bị chặn Câu (3,0 điểm) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên 3a ( a  ) Hãy xác định điểm O cho O cách tất đỉnh hình chóp S ABCD tính độ dài SO theo a 2.Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mp(SBC) Gọi H hình chiếu vng góc S lên mp  ABC  1 1  2 2 SA SB SC Chứng minh SB  SC biết SH Cho tứ diện ABCD thỏa mãn điều kiện AB CD, BC  AD, AC BD điểm X thay đổi không gian Tìm vị trí điểm X cho tổng XA  XB  XC  XD đạt giá trị nhỏ Đề số 38 (Đề thi HSG lớp 11, Thái Nguyên, năm học 2011 – 2012) Thời gian làm bài: 180 phút Câu (4,0 điểm) Giải phương trình: Câu 2   2sin x tan x  cot x (4,0 điểm) u1 4   , n  N *  un  :  u  u    u n 1 n n   Cho dãy số  Tìm cơng thức số hạng tổng quát Câu  un dãy số (4,0 điểm)   Cho tam giác nhọn ABC , cạnh BC lấy điểm E , F cho BAE CAF , gọi M , N hình chiếu vng góc F đường thẳng AB, AC , kéo dài AE cắt đường tròn ngoại tiếp ABC D Chứng minh tứ giác AMDN tam giác ABC có diện tích Câu (4,0 điểm) A  1; 2;3 ;18 Cho tập hợp Có cách chọn số tập A cho hiệu hai số số khơng nhỏ Câu (4,0 điểm) Cho số dương a, b, c thỏa mãn a  b  c 3 a 1 b 1 c 1   3 2 Chứng minh rằng:  b  c  a Đề số 39 (Đề thi HSG lớp 11, Duyên hải Đồng bằng Bắc bộ, năm học 2011 – 2012) Thời gian làm bài: 180 phút Câu (4,0 điểm) Giải hệ phương trình: Câu ( x  1)( y  6)  y ( x  1)  2  (y  1)(x  6)  x(y  1) (4,0 điểm) Cho đoạn thẳng AC cố định với trung điểm K Hai điểm B, D di động đối xứng qua K Đường phân giác góc BCD cắt đường thẳng AB, AD I , J gọi M giao điểm thứ hai khác A đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD ẠIJ Chứng minh M ln chạy đường trịn cố định B, D thay đổi Câu (4,0 điểm) Cho P  x Q  x hai đa thức với hệ số nguyên thỏa mãn: P  x   xQ  x  chia hết cho x  x  Gọi d ước số chung lớn hai số P  2013  Q  2013 Chứng minh d chia hết cho 2012 Câu (4,0 điểm) Cho dãy số  an  : a1 a2 1; an1  lim Chứng minh rằng: Câu n   n   a a k 1  k k 3  6an2  an2  4.(  1) n , n 2   ak ak 2  (4,0 điểm) Cho dãy số nguyên dương n lớn Ta xét tất số dương k thỏa mãn đồng thời điều kiện: k có n chữ số Tất chữ số k lẻ Giá trị tuyệt đối hiệu hai chữ số liên tiếp k ln Tìm tổng tất số k có tận cùng n chẵn