( ) f x2 + y2 = xf ( x) - yf ( - y) Þ - yf ( - y) = yf ( y) , " y Ỵ ¡ Þ f ( - x) = - f ( x) , " x Ỵ ¡ , chứng tỏ f hàm số lẻ Do với x ³ 0, y £ thay x x - y , ta có: ( ) f ( x - y) = f x + ( - y) = f ( x) - f ( y) Þ f ( x) = f ( x - y) + f ( y) ( ) Þ f ( x - y) + y = f ( x - y) + f ( y) Þ f ( x + y) = f ( x) + f ( y) , " x ³ 0, " y £ (**) Với x £ 0, y £ , ta có: ( ) f ( x + y) = - f ( - x - y) = - f ( - x) + f ( - y) = f ( x) + f ( y) (* * *) Kết hợp ( *) ,( * *) ,( * * *) ta được: f ( x + y) = f ( x) + f ( y) , " x,y ẻ Ă ổ fỗ (ố x + 1) ửứữ ỗ ữ Ta tớnh theo hai cỏch Ta cú: 2ử ổ fỗ = f x2 + 2x + Þ ( x + 1) f ( x + 1) = f x2 + f ( 2x) + f ( 1) (ốỗ x + 1) ữ ữ ứ ( ( ) ( ) ) Þ ( x + 1) f ( x) + f ( 1) = xf ( x) + 2f ( x) + f ( 1) Þ f ( x) = xf ( 1) , " x Ỵ Ă ị f ( x) = ax, " x ẻ ¡ , " a Ỵ ¡ Câu Nếu tất số tất số Khi ta lấy 50 số có tổng 100 Giả sử a1 ¹ a2 , ta xét 100 số có dạng: < a1,a2,a1 + a2,a1 + a2 + a3, ,a1 + a2 + + a99 < 200 Nếu có số chia hết cho 100 số 100 số bé 200 Nếu khơng có số chia chia hết cho 100 100 số phải có hai số đồng dư phép chia cho 100 (vì số dư nhận giá trị từ 1đến 99) suy hiệu chúng chia hết cho 100 hiệu hai số tổng cần tìm ĐỀ SỐ 49 Cõu iu kin: ổ 7p ữ sinỗ x+ ữ ỗ ữ ỗ ữ 2ứ ố ổ 3p ữ p ữ 3cosỗ x x + kp, k ẻ Â ỗ ữ ỗ 2ữ è ø PT Û 4sin2x sin x - 3sin x - cosx = Û 2( cosx - cos3x) - Û cos3x = cosx ỉ p÷ ữ sin x cos3x = cosỗ x + ỗ ç ÷ 3÷ è ø é ê3x = x + p + m2p ê Û ê Û æ pử ữ ỗ x+ ữ + m2p ờ3x = - ỗ ữ ỗ ữ ố ứ é êx = p + mp ê ,m Ỵ ¢ ê êx = p + m p ê 12 ë Kết hợp điều kiện xác định ta có nghiệm phương trình cho là: Vì xỴ 3sin x - cosx = p p + m ,m ẻ Â 12 x =- ộ0;1007pựị Ê - p + m p £ 1007p Û £ m Ê 2014, m ẻ Â ỳ ỷ 12 é0;1007pù ú ë ûgồm 2014 nghiệm lập thành Suy nghiệm phương trình cho đoạn ê cấp số cộng có cơng sai d= S= Tổng nghiệm Câu 2.1 Ta có: p 5p , x1 = 12 2014 ỉ 5p pư 3043154p ữ ỗ ữ + 2014 = ỗ ( ) ữ ỗ ữ ố 12 2ứ C 21n+1 + C 22n+1 + +C 2nn+1 = 22014 - C 20n+1 = C 22nn++11 C 21n+1 = C 22nn+1 … C 2nn+1 = C 2nn++11 Þ C 20n+1 + C 21n+1 + + C 2nn+1 = C 2n+1 + C 21n+1 + + C 22nn++11 = 22n ( ) Từ giả thiết suy n = 1007 Xét khai triển x 3x 2014 2014 2014 k k 0 k 0 i 0 k k C2014 (1 x) k ( x ) 2014 k C2014 Cki ( 1)i ( 3) 2014 k x 4028 k i Ta tìm i, k số tự nhiên thỏa mãn k 2014 i 4 k 2013 i 2 4028 2k i 4 0 k 2014 k 2012 0 i k i 0 2013 2012 Vậy hệ số x khai triển C2014 3C2014C2014 9C2014 Câu Gọi số cần tìm abcdef với a, b, c, d , e, f {1,3, 4,8} Sắp xếp chữ số vào vị trí, có C6 cách Sắp xếp chữ số 1, 4,8 vào vị trí cịn lại có 3! cách Vậy có tất C6 3! 120 số Một số chia hết cho hai chữ số tận tạo thành số chia hết cho Trong số trên, số lấy chia hết cho có tận 48, 84 Trong trường hợp có C4 4 xếp chữ số vào vị trí cịn lại, suy có số chia hết cho Gọi A biến cố:" số lấy chia hết cho 4" Vậy số kết thuận lợi cho A | A |8 Số phần tử không gian mẫu | |120 | | PA A | | 120 15 Vậy xác suất biến cố $ A $ Câu Ta có u1 2014 un 1 1 u1u2 un ( n 1) n k 1 u k Sn Đặt ui 1 1 u1u2 ui , i 1 ui 1 ui (ui 1) ui 1i 1, ui 1 u1i 1 ui 1 Sn 1 1 ui ui ui ui ui 1 1 1 1 u1 un u1 u2 u3 u n un 1 u1 un 1 un 1 u1u2 un u1 (1 u1 ) n 2014.2015n 0 un 1 2014.2015n 1 0 lim 0 n x 2014.2015 n u n 1 lim Vậy lim sn n u1 1007 Câu Cách Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếm tam giác DMN AD BM , BM CN ABMD, ACND hình bình hành suy Xét phép tịnh tiến theo vecto AD TAD : A D B M C N T : O I Suy AD , suy OI AD R Vậy quỹ tích điểm I đường tròn (O;R) Cách 2 2 2 Lấy tâm O đường tròn ngoại tiếm gốc vectơ điểm, đặt a b c d R ( R 0) ABMD hình bình hành nên m b d a m b d a ACND hình bình hành nên n c d a n c d a Gọi I điểm cho AOID hình bình hành, ta có i d a 2 2 2 Vì ( d i ) a b ( m i) c ( n i) R , nên I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN O, R Do OI R nên quỹ tích điểm I đường trịn Câu a Gọi J giao điểm AK CD Q giao điểm JI CC'; N giao điểm IJ DD' Thiết diện tứ giác AKQN Chứng minh AKQN hình thang có hai đáy KQ AN Chứng minh C trung điểm JD, K trung điểm JA, Q trung điểm JN S JKQ JK JQ 1 S JAN JA JN 2 S AKQN SJAN SJKQ 3S JKQ CQ a CQ ND QC CQ CC 3 Tính cos KJQ KQ a 13 a a 10 ; JK ; JQ JQ JK KQ JK JQ 50 sin KJQ cos KJO a 14 a 14 S IKQ JK JQ.sin KJQ S AKQN 3SJKQ 12 b Vì AD AD nên góc A'D' AQ góc AD AQ AC AB AD AA AC a AQ AD QD a 19 a 10 cos QAD AQ ; AD a; QD AQ AD 19 3 Do Ta tính ĐỀ SỐ 50 Câu cos x 0 sin x 0 tan x a) Điều kiện: cos x 0 sin x 0 cos x sin x 0 cos x 0 sin x 0 Khi phương trình cho trở thành: 3sin x sin x cos x 2cos x 0 3sin x cos x sin x 2cos 2 x 0 cos x sin x cos x sin x 1 sin x 3sin x sin x sin 2 x 0 2sin 2 x sin x 0 +) sin x 1 cos x 0 không thỏa mãn điều kiện x k x k 12 x 7 k x k 2 sin x 12 ( thỏa mãn điều kiện) +) x x x 3x 3x x L lim lim 1 2 x x x3 x x x x x x b) k Ta có: x x lim x 1 lim 2 x x x x 1 x x 1 x lim x 1 x x 2 2x 2 2x x 3x x x x 1 lim x3 x x lim x x x 1 x 2 x 2 2 x4 lim x x x x 3x L Từ (1),(2),(3) ta có 3x 3x 3x 3 Câu a) Cnk , Cnk , Cnk 1 theo thứ tự số hạng thứ nhất, thứ 3, thứ cấp số cộng Cnk Cnk 1 2Cnk Cnk Cnk Cnk Cnk 1 1 Vì n k n 2 Từ (1) 1 k 1 ! n k 1 ! k 1 ! n k 1 ! k ! n k ! 1 n k n k 1 k k 1 k n k k k 1 n k n k 1 2 k 1 n k 1 2k n n suy n số phương mà n 20 n 2,7,14 +) Với n 2 k 1 1 k 2 ( loại) k 5 n 7 2k 9 k 2 +) Với k 9 n 14 2k 14 16 k 5 +) Với Đáp số: có cặp (n,k) thỏa mãn: (7,5),(7,2),(14,9),(14,5) b) sin B sin C sin B sin C sin A b2 c2 a2 1 cos A BAC 120 2bc 2 tan suy góc B, C củatam giác ABC góc nhọn A cot B cot C Ta có sin A 2sin A 2sin A A 2 tan sin B sin C cos B C cos A cos A 2 A A tan A P cot A cot B cot C tan tan A tan A 2 tan Do