Câu 6a: Sử dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình; viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm thuộc đồ thị gồm 2 câu nhỏ.. 2 Theo chương trình nâng cao Câu [r]
(1)Së GD & §T hãa Trêng THPT §«ng S¬n I *** §Ò thi kiÓm tra chÊt lîng häc k× Ii N¨m häc 2011 – 2012 M«n : To¸n 11 Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian giao đề -*** I PhÇn chung cho tÊt c¶ thÝ sinh (7 ®iÓm) C©u I (2 ®iÓm) TÝnh giíi h¹n: lim( √ n2 +n+1 − n) ¿ x −3 x+ víi x> 2 x−4 Tìm a để hàm số 2 x +a víi x ≤ ¿ f ( x)={ ¿ liên tục trên tập xác định C©u II (2 ®iÓm) Tính đạo hàm hàm số y=2012 x − x sin x+ √ cos x +1+1000 Cho hàm số y=2 x − x − có đồ thị (C) Viết phơng trình tiếp tuyến (C) điểm có hoành độ x = - C©u III (3 ®iÓm) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông B, SA = a √ , AC = 2a, BC = a Hai mặt ph¼ng (SAB) vµ (SAC) cïng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (ABC) Chứng minh đờng thẳng BC vuông góc với mặt phẳng (SAB) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) Gäi () lµ mÆt ph¼ng ®i qua trung ®iÓm M cña BC vµ vu«ng gãc víi AC TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn cña h×nh chãp c¾t bëi () II PhÇn riªng (3 ®iÓm) Thí sinh đợc chọn hai phần: Theo chơng trình Chuẩn Nâng cao Theo ch¬ng tr×nh ChuÈn C©u IVa (2 ®iÓm) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh x −sin x −5=0 cã nghiÖm TÝnh giíi h¹n: lim √ 1+2 x √ 1+3 x − x→ sin x x −1 C©u Va (1 ®iÓm) Cho hµm sè y= có đồ thị (C) Tìm toạ độ điểm M thuộc (C) cho tiếp x −1 tuyến (C) M cắt hai trục tọa độ Ox, Oy A, B và tam giác OAB có diện tích 2 Theo ch¬ng tr×nh N©ng cao C©u IVb (2 ®iÓm) ¿ u2 +u5 −u3=10 T×m sè h¹ng tæng qu¸t cña cÊp sè céng (un) biÕt u4 +u 6=26 ¿{ ¿ Tìm ba số khác có tổng 146 là ba số hạng đầu cấp số nhân, đồng thời là c¸c sè h¹ng thø nhÊt, thø 17 vµ 19 cña mét cÊp sè céng Câu Vb (1 điểm) Cho hàm số y x x có đồ thị (C) và đờng thẳng d: y = m(x + 1) + Chứng minh m thay đổi thì d luôn cắt (C) điểm M cố định Xác định các giá trị m để d cắt (C) điểm phân biệt M, N, P cho tiếp tuyến với đồ thị (C) N và P vuông góc với HÕt - Hä vµ tªn thÝ sinh: Trờng thpt đông sơn i SBD : K× thi kiÓm tra chÊt l¬ng häc k× ii N¨m häc 2011 - 2012 Híng dÉn chÊm to¸n 11 - Điểm toàn bài làm tròn đến 0,5 - Học sinh làm cách khác đúng đợc điểm tối đa - Học sinh làm không đúng chơng trình học mình, làm hai phần thì không tính điểm phÇn riªng (2) C©u Néi dung §iÓm (3) I.1 I.2 1,00 TÝnh giíi h¹n d·y sè 1+ 2 n + n+ 1− n n lim( √ n2 +n+1 − n)=lim =lim = 1 √ n +n+1+ n 1+ + +1 n n Tìm a để hàm số f(x) liên tục trên tập xác định Hàm số có tập xác định là R - NÕu x > th× f (x)= x − x +2 nªn f(x) liªn tôc 2x −4 - NÕu x < th× f (x)=2 x 2+ a nªn f(x) liªn tôc x−1 x → 2+ ¿ = 2 (x − 1)(x −2) x → 2+¿ =lim ¿ 2(x −2) - T¹i x = ta cã x −3 x+2 x → 2+¿ =lim ¿ x−4 +¿ x →2 f ( x )=lim 1,0 √ 1,00 0,25 0,25 ¿ lim ¿ lim f ( x)= lim (2 x +a)=8+a − x→2 x →2 f(x) 0,25 − liªn tôc t¹i x = 15 x → f ( x)= lim f (x )=f (2)⇔ a+8= ⇔a=− 2 x→ lim ⇔ +¿ − ¿ Vậy hàm số liên tục trên tập xác định a = − II.1 0,25 15 Tính đạo hàm sin x cos x y’= 6036 x −sin x − x cos x − √ cos x+ ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn y’ = 8x3 – 2x, y(-1) = - 2, y’(-1) = - Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn: y = -6(x + 1) - ⇔ y =−6 x − H×nh kh«ng gian S II.2 III 1,00 1,0 1,00 0,5 0,5 3,00 H A K III.1 III.2 B N M C Chøng minh BC (SAB) Ta cã (SAB) (ABC), (SAC) (ABC), SA = (SAB) (SAC) ⇒ SA (ABC) ⇒ SA BC Mµ BC AB nªn BC (SAB) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A lªn SB ⇒ AH SB Do BC (SAB) nªn BC AH AH (SBC) AH = d(A, (SBC)) 2 2 2 AB =AC − BC =4 a − a =3 a ⇒ AB=a √ 1,00 0,5 0,5 1,00 0,25 0,25 (4) 1 1 a 30 = + = + = ⇒AH= √ AH SA AB a a a VËy d ( A ,(SBC))= a √30 TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn Từ M kẻ MK AC, K ∈ AC Từ K kẻ đờng thẳng song song với SA cắt SC N Do SA (ABC) nªn NK (ABC) ⇒ NK ⊥ AC ⇒ AC⊥(MNK) (MNK) lµ mÆt ph¼ng ®i qua M vµ vu«ng gãc víi AC nªn (MNK )≡(α ) Suy thiÕt diÖn lµ tam gi¸c vu«ng MNK ΔCMK ~ Δ CAB (g.g) Ta cã nªn a a √3 MK AB AB MC a√3 = ⇒ MK= = = MC AC AC 2a 2 a 3a a a KC2=MC2 − MK2= − = ⇒ KC= 16 16 a a√2 Do NK //SA nªn NK CK KC SA a √2 = ⇒ NK= = = SA CA AC 2a VËy S MNK = MK NK= a √ a √ = a √ 2 64 Chøng minh ph¬ng tr×nh cã nghiÖm Ta cã III.3 IVa.1 IVa.2 §Æt f(x) = x −sin x −5 , f(x) liªn tôc trªn R f(0) = - 5, f(3) = – sin3 > f(0).f(3) < ¿ ∃ x ∈ (0; 3) f ( x 0)=0 Vậy phơng trình đã cho có nghiệm ¿ TÝnh giíi h¹n hµm sè √1+2 x √3 1+3 x − =lim √1+2 x √3 1+3 x − √3 1+3 x +√3 1+3 x −1 lim x→ sin x x→ sin x √1+3 x ( √ 1+2 x −1 ) +lim √3 1+3 x − ¿ lim x→ sin x x→ sin x 1+3 x ¿ √¿ sin x ¿ √3 1+3 x ( 1+ x −1 ) 1+3 x −1 ¿ lim +lim ¿ x→ sin x ( √ 1+2 x +1) x→ 1+3 x ¿ ¿ ¿ √¿ 4x ⋅ sin x ¿ [ Va 4x 1+3 x ¿ lim ⋅ √ +lim ¿ x→ sin x 2( √ 1+ x +1) x →0 1 = + = 4 Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) x − 1¿ a −1 ¿ Do M ∈(C) ⇒ M a ; , a ≠1 −1 a −1 y'= ¿ 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 1,00 0,25 0,5 0,25 1,00 0,25 0,25 0,25 ] ( ) 0,25 1,00 0,25 (5) a −1 ¿2 ¿ Gäi d lµ tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i M suy ¿ −1 d : y= ¿ a− 1¿ (¿¿) Do a2 − a+1 0; ¿ A=d ∩Ox ⇒ A (2 a2 − a+1; 0) , B=d ∩Oy ⇒ B ¿ a −1 ¿ ¿ 2 a −2 a+1 Do tam gi¸c OAB vu«ng t¹i O nªn ¿ 1 S OAB = OA OB= |2 a −2 a+1|¿ 2 a −1 ¿ ¿= 2 Theo bµi ta cã S OAB = ⇒ a − a+1 ¿ |2 a − a+1|¿ 2 a− 1¿ ⇔ ¿ 2 a −2 a+1=a −1 ¿ a −2 a+1=− a+1 ¿ 2 a − a+2=0( v « nghiÖm) ¿ a − a=0 ¿ ¿ ¿ ⇔¿ ¿ 2 a − a+1¿ 2=¿ ¿ ¿ ⇔ a=0 ¿ a= vµ M ; VËy cã hai ®iÓm cÇn t×m lµ M ( ; ) , ¿ ⇒ M (0 ;1) ¿ ¿ ¿ M2 ;0 T×m sè h¹ng tæng qu¸t cña cÊp sè céng (un) ( ) 0,25 0,25 0,25 ( ) IVb.1 1,00 (6) IVb.2 Vb ¿ u2 −u3 +u5 =10 u +u6=26 ⇔ ¿ u1 +d −(u 1+2 d )+u1 +4 d=10 u1+ d+ u1+ d=26 ⇔ ¿ u1 +3 d=10 2u 1+8 d=26 ¿{ ¿ ⇔ u1=1 Sè h¹ng tæng qu¸t un = + 3(n – 1) = 3n – d=3 ¿{ T×m ba sè cña cÊp sè céng, cÊp sè nh©n Do ba sè lµ c¸c sè h¹ng thø nhÊt, thø 17 vµ 19 cña mét cÊp sè céng nªn ta gäi ba ¿ sè lµ u1 ; u 1+16 d ; u1 +18 d , ba sè kh¸c nªn d ≠ ¿ u1 +u1 +16 d +u1 +18 d=146 ⇔ u1+ 16 d ¿ 3u 1+ 34 d=146 ¿ Theo bµi ta cã ¿ 14 u1 d+ 256 d 2=0 ¿{ ¿{ u 1(u1+ 18 d)=¿ ⇔ u1 +34 d=146 14 u1 +256 d=0 ⇔ ¿u 1=128 d=− ¿{ VËy ba sè lµ 128; 16; Tìm m để hai tiếp tuyến (C) vuông góc 0,5 0,5 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 1,00 Ta cã y=x − x ⇒ y '=3 x2 −3 Hoành độ giao điểm d và (C) là nghiệm phơng trình ⇔ x=− ¿ x − x −2 −m=0(∗) x −3 x=m(x +1)+ 2⇔ ( x +1)(x − x −2 −m)=0 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ +) Với x = - suy d luôn cắt (C) điểm M(-1; 2) cố định §Ó d c¾t (C) t¹i ba ®iÓm ph©n biÖt th× (*) ph¶i cã hai nghiÖm ph©n biÖt kh¸c – ⇒ Δ=1− (− 2− m)>0 1+1− 2− m≠ ⇔ − <m≠ ¿{ + Gọi x1; x2 là hoành độ N và P suy x1; x2 là nghiệm (*) 0,25 0,25 0,25 (7) ¿ x 1+ x2 =1 Theo định lí Viet ta có x x2=−2 −m ¿{ ¿ Do hai tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i N, P vu«ng gãc víi nªn 2 x x −¿=−1 ⇔ (3 x21 −3)(3 x 22 −3)=−1 ⇔ ¿ ¿=−1 ⇔ −3 ± √ m2+18 m+1=0 ⇔ m= ⇔9 ¿ Đối chiếu với điều kiện ta đợc m= −3 ± √ ) M(–1;2) (d) cắt (C) điểm phân biệt m y ' (x 1) y ' (x 2)=−1 ; m 0 y '( xN ) y '( xP ) m Tiếp tuyến N, P vuông góc 2 0,25 (8) Cấu trúc đề thi học kì II môn toán lớp 11 n¨m häc 2011 - 2012 I PhÇn chung (7 ®iÓm) C©u I TÝnh giíi h¹n d·y sè d¹ng - Tìm điều kiện để hàm số liên tục trên tập xác định C©u II Tính đạo hàm hàm số Viết phơng trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm C©u III Chứng minh đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn cña h×nh chãp II PhÇn riªng (3 ®iÓm) Ch¬ng tr×nh chuÈn C©u IVa Chøng minh ph¬ng tr×nh cã nghiÖm TÝnh giíi h¹n hµm sè, giíi h¹n lîng gi¸c CâuVa Bài toán liên quan đến tiếp tuyến Ch¬ng tr×nh n©ng cao C©u IVb Xác định số hạng tổng quát cấp số cộng T×m c¸c sè h¹ng cña cÊp sè céng, cÊp sè nh©n Câu Vb Bài toán liên quan đến tiếp tuyến (9) Chủ đề Mạch KTKN Phần chung Mức nhận thức 1 Giới hạn 1,0 1,0 1,0 0,5 Tổng phần chung 1,0 Quan hệ vuông góc 2,0 Hàm số liên tục Đạo hàm Cộng 0,5 1,0 1,0 1,0 2,5 1,0 3,0 2,5 7,0 2,0 Phần riêng Liên tục 1,0 1,0 Đạo hàm 1,0 Tổng toàn bài 2,0 Tổng phần riêng Diễn giải: 1) Chủ đề 3,0 2,5 – Hình học: 3,0 điểm – Đại số & Giải tích: 7,0 điểm 3,0 5,5 11 2,0 + Giới hạn: + Liên tục: + Đạo hàm: 10,0 2,0 điểm 2,0 điểm 3,0 điểm 2) Mức nhận biết: – Chuẩn hoá: 8,0 điểm (hoặc 7,0 điểm) – Phân hoá: 2,0 điểm (hoặc 3,0 điểm) Mô tả chi tiết: I Phần chung: Câu 1: Tính giới hạn hàm số và dãy số (gồm câu nhỏ) Câu 2: Tìm điều kiện để hàm số liên tục điểm xét tính liên tục hàm số trên tập xác định nó Câu 3: Tính đạo hàm hàm số (gồm câu nhỏ) Câu 4: Bài toán hình học không gian (gồm câu nhỏ) II Phần riêng: 1) Theo chương trình chuẩn Câu 5a: Ứng dụng tính liên tục hàm số để chứng minh tồn nghiệm phương trình Câu 6a: Sử dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình; viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm thuộc đồ thị (gồm câu nhỏ) 2) Theo chương trình nâng cao Câu 5b: Ứng dụng tính liên tục hàm số để chứng minh tồn nghiệm phương trình Câu 6b: Sử dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình; viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số với hệ số góc cho trước (gồm câu nhỏ) (10)