TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI THÁI BÌNH KHU VỰC ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM 2011 KHỐI 10 Câu 1: (4 điểm) Giải phương trình: 3( x 1) x (1 x x 1) Câu 2: (4 điểm) Với số nguyên dương n, xác định theo n số tất cặp thứ tự số nguyên dương (x,y) cho x2-y2=100.302n Đồng thời, chứng minh số cặp số phương Câu 3: (4 điểm) Cho đường trịn (O,R) điểm P,Q cố định P nằm (O), Q điểm nằm (O) Dây cung di động AB (O) qua Q PA, PB giao lần thứ hai với (O) C D Chứng minh đường thẳng CD qua điểm cố định Câu 4: (4 điểm) Cho a,b,x,y số thực dương thỏa mãn: a+b=1; ax+by=2; ax2+by2=3 Chứng minh < ax3 + by3 < 4,5 Câu 5: (4 điểm) Cho tập X gồm n phần tử (n ϵ N *) Hỏi có thứ tự (A;B;C)với A,B,C tập X cho X=A B C Hết ĐÁP ÁN Câu hỏi Câu Nội dung Đặt t = 2x 1 Điểm Điều kiện t ≥ pt trở thành: 3t + (8x-3)t + x -3x2 x t 3 t 8x x TH1: t 2x 1 x = x x2 1 2 x (vô nghiệm) điểm TH2: t 8x 2x 1 8x x / (3 x ) 2 x 0 2 x KL: pt có nghiệm x = Câu 2: Từ giả thiết => x, y tính chẵn, lẻ Đặt u = xy x y ;v 2 với u, v nguyên dương u > v thỏa mãn: uv=25.302n = 22n 32n 52n+2 = A Số A có (2n+1)2 (2n+3) ước số Do nếu khơng kể thứ tự có (2n+1)2 (2n+3) cặp u,v thỏa mãn Ngồi số có cặp u = v điểm nửa số cặp cịn lại có u > v Số cặp (x,y) thỏa mãn đề là: 2 S = ((2n 1) (2n 3) 1) (n 1)(4n 6n ) Chứng minh: S khơng số phương 2 điểm Vì 4n + 6n + = (4n + 2)(n + 1) – => n+1 4n +6n + 1nguyên tố Do nếu S số phương 4n + 6n + số phương Điều vơ lý vì: (2n+1)2 < 4n2 + 6n + 1< (2n+2)2 Câu 3: Vẽ đường tròn (O’) ngoại tiếp ΔPABPAB Đường thẳng PQ cắt CD M; (O’) N khác P P A Q D N M C O B điểm Ta chứng minh M điểm cố định CD Ta có: QP.QN = PQ/(O) = khơng đổi P,Q cố định => N cố định Do góc ACD = ABD = ANP => tứ giác ACMN nội tiếp PP/(O) = PN PM không đổi Mặt khác điểm N cố định => M điểm cố định Câu 4: Nếu x = y từ phương trình đầu ta x = y = 2(không thỏa mã phương trình cịn lại) nên x ≠ y Từ phương trình đầu ta tính a = y y x b = 2 x y x Thay vào phương trình ta = ax2 + by2 = 2(x+y) – xy (1) Đặt T = ax3 + by3 > = ( y 2) x ( x ) y y x y x = xy(x+y) + 2(x2 + xy + y2) điểm = (x + y)(2(x+y)-xy) - 2xy = 3(x+y) – 2xy (2) Từ (1) (2) => x+ y = –T; xy = – 2T Do x; y > => T< 4,5 (x+y)2 > 4xy (vì x ≠ y) (6 - T) > 4(9 - 2T) T > => đpcm Câu 5: Giả sử Trước hết ta tính số cặp tập (M;N) cho M N = X M k k n k n có C cách chọn tập M Vì M N = X=> N = (X\N) P với P tập tùy ý M Vì điểm M có k phần tử nên có 2k tập conn => Có 2k cách chọn tập N k k n Số cách chọn (M; N) C n 3 k 0 Trở lại với toán X = A B C Xét tập A X gồm k phần tử; k 0,1, , n => có C nk cách chọn tập A (1) Với cách chọn tập A: Xét X = A T T = (X\T) P với P tập tùy ý A Giả sử: P có t phần tử; t 0,1, , k => có Ứng với cách chọn P => T n k t 3n-k+t Z cách chọn cặp Y, C kt cách chọn P Theo bổ đề có cho T = BC (2) Theo quy tắc nhân, từ (1) (2) => số cách chọn (A,B,C) thỏa mãn là: n k n k C C k 0 t 0 t k n k n k 0 t k 0 3n k t C nk 3n k C kt 3t C nk 3n k k 7 n Cách giải khác :Trước tiên ta xét X tách thành hợp cặp A B Ta thấy phần tử X có trường hợp thuộc A thuộc B thuộc A giao B Ta hình dung tập A, B lúc đầu hai hơp rỗng Khi với phần tử x1 X ta cho vào hộp A hộp B hộp A B Tương tự với phần tử thứ , , phần tử cuối X.Suy phần tử cảu X ứng với cách tạo cặp tập thỏa mãn Như theo quy tắc nhân ta có 3n cặp (A, B) Bằng cách ta dễ dàng giải tốn tổng qt: Có k tập thứ tự X mà hợp chúng X Kết (2k - 1)n