Sở Giáo dục – Đào tạo Nam Định Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong ĐỀ THI HSG DH VÀ ĐB BẮC BỘ LẦN THỨ MƠN THI: TỐN LỚP 10 Thời gian làm bài: 180 phút Bài 1: Giải phương trình sau: x2 x x2 x x2 32 x x 3 Bài 2: Cho số dương a1; a2 ; ; an , n 2; n có tổng Chứng minh rằng: n 2 a i 1 i n 2n Bài 3: Cho số nguyên dương x, y thỏa mãn: x y chia hết cho xy Chứng minh rằng: x y Bài 4: Cho đường tròn O, R dây AB cố định ( AB R ) Gọi M điểm thay đổi thỏa mãn: MA MB 2 , A’ B’ giao điểm MA ' MB ' đường thẳng MA MB với đường tròn O Chứng minh diện tích tam giác AMB không đổi Bài 5: Cho bảng 8x8 dấu +, - đặt hình vẽ Mỗi lần cho phép thay đổi dấu tất ô hàng, cột đường chéo song song trùng đường chéo Hỏi có tồn khả tất đánh dấu cộng? + + + + + + + + + + + + + + + + -Hết + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Đáp án Bài Nội dung Điểm điểm Giải phương trình sau: x2 x x2 x x2 32 x x 3 Phương trình tương đương với: x2 x x x 4 x 0,5 đ 32 x x 3 1,5 đ Chứng minh: x x x x Thật vậy, bất đẳng thức tương đương: x2 x x2 x x x2 x bất đẳng thức Suy ra: x x x x 32 2x2 2x2 32 2 4x 2 x 3 2 2 2 2 x x 3 x x 3 4 16 5 Suy phương trình vơ nghiệm Cho số dương a1; a2 ; ; an , n 2; n có tổng n n Chứng minh rằng: 2n i 1 Ký hiệu bi 2 i 1,2, , n , đó: n b 2n 1,5 0,5 điểm 1đ i i 1 n n n n ai bi n 2 n Ta có: 1 n bi i 1 bi i 1 bi i 1 i 1 bi Áp dụng bất đẳng thức cosi ta có: n n 2n n b b b b b b n n n b b b n n i 1 bi n 1đ 2đ n n2 n n 2 n Suy ra: 2 n 2 n 2n 2n b1b2 bn i 1 bi n Dấu xảy a1 a2 an Cho số nguyên dương x, y thỏa mãn: x y chia hết điểm cho xy Chứng minh rằng: x y x2 y2 1 Xét k , nhận xét: k 1 xy Cố định k xét cặp số nguyên dương x; y thỏa mãn: x2 y2 1 k Trong tất cặp số đó, ta chọn cặp A; B xy 1 cho A B có giá trị nhỏ Ta chứng minh A B Không tổng quát, giả sử A B , xét phương trình: x2 B2 1 k x Bkx B k 0 (ẩn x) Bx 2 2 Có ' B k B k k 1 B k 1 1 0 Suy phương trình có nghiệm A x2 , áp dụng định lí Viet: x2 2kB A 1 x2 A 2kB B2 k 1 1,5 x A B k 2 x2 A Từ (1) ta có x2 số nguyên B2 k 1 Từ (2) ta có: x2 B B A B điều trái giả A thiết A B nhỏ Vậy A = B có nghĩa với k, ta có x y 1,5 Cho đường tròn O, R dây AB cố định ( AB R ) Gọi điểm MA MB 2 , A’ MA ' MB ' B’ giao điểm đường thẳng MA MB với đường tròn O Chứng minh diện tích tam giác AMB khơng đổi Xác định quỹ tích M MA2 MB Từ giả thiết ta có: 2 0,5 đ MA.MA ' MB.MB ' M điểm thay đổi thỏa mãn: MA2 MB 2MA.MA ' 2MB.MB ' 2 M / O 2 MO R 2 OA OM OB OM 2 MO R R 2OM 2.OM OA OB 2MO R OM OA OB 2 R 2đ OM OI R (I trung điểm AB) M , ta có: Kẻ tiếp tuyến A B cắt OM OI R Từ ta có: OM OI OM OI 0 OI M M 0 M A' A O M0 I B' B Vậy quỹ tích M đường thẳng vng góc với OI M 1đ Do đường thẳng song song với AB nên diện tích tam giác 0,5 đ MAB khơng đổi Ta có điều phải chứng minh Cho bảng 8x8 dấu +, - đặt hình vẽ Mỗi lần cho điểm phép thay đổi dấu tất ô hàng, cột đường chéo song song trùng đường chéo Hỏi có tồn khả + + - + + + + + tất ô đánh dấu cộng? + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + - + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Xét miền tơ đậm hình vẽ Với dấu – ta kí hiệu số -1, dấu + kí hiệu số Nhận thấy với lần thay đổi tác động đến số chẵn ô miền xét, nghĩa khơng làm thay đổi tích tất số miền Ban đầu có tích số âm, khơng xảy trường hợp tích số dương, nghĩa khơng tồn trạng thái tất ô đánh dấu + Mọi cách giải đúng, giám khảo thống cho điểm