SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH Năm học 2014 – 2015 Mơn thi: TỐN Lớp 12 BỔ TÚC THPT Ngày thi: 25/03/2015 Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề thi có 01 trang, gồm có câu ĐỀ DỰ BỊ Số báo danh Cho hµm sè: y x x m x 3m (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số đà cho m = Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B cho tam giác OAB vuông O ( O gốc toạ độ) Cõu I (4,0 im) Cõu II (4,0 điểm) Giải phương trình: sin x cos x cos 3x sin x cos x Giải hệ phương trình: 8 x x 13 x 15 y y 4 y 5 y ( x 1) Câu III (4,0 điểm) Cho x, y số thực dương thỏa mãn x y x y 16 16 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 3x y x y 3x Giải phương trình log x2 9 log x log x 6 Câu IV (4,0 điểm) Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, lập số tự nhiên có sáu chữ số đơi khác số, tổng chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A 4; 3 , B 4;1 đường thẳng d : x y 0 Viết phương trình đường trịn (C) qua hai điểm A, B cho tiếp tuyến (C) A B cắt điểm thuộc d Câu V (4,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân C, cạnh huyền AB 3a Hình chiếu vng góc S xuống mặt phẳng đáy trùng với trọng tâm tam giác ABC SB a 14 Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) Trong không gian Oxyz, cho điểm A(0; 0; 1) mặt phẳng (P): x + 2y + z - = Tìm tọa độ hai điểm B C thuộc đường thẳng d: x 1 y z cho tam giác ABC vuông A 1 có trọng tâm nằm (P) ……………………………… HẾT…………………………………… Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH Năm học 2014 – 2015 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN Lớp 12 BỔ TÚC THPT Ngày thi: 25/3/2015 Hướng dẫn chấm gồm có 06 trang ĐÁP ÁN ĐỀ DỰ BỊ Câu I Ý Nội dung Điểm 4,0 Cho hµm sè: y x x m x 3m (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số đà cho m=1 Khi m =1 ta cã y x x * Tập xác định D R * Sù biÕn thiªn : x 0 - ChiỊu biÕn thiªn: y ' 3 x x ; y ' 0 x 0,25 Suy hàm số đồng biến khoảng ;0 2; , hàm số nghịch biến khoảng( 0;2) - Cực trị : Hàm số đạt cực đại x=0, yCĐ= Hàm số đạt cực tiểu x = 2, yct= lim y - Giíi h¹n : lim y ; x x 0,25 - Bảng biến thiên: x y' + 0 - + y 0,25 * Đồ thị : Đồ thị cắt Ox (-1; 0) (2;0) cắt Oy ( 0; 4) y f(x)=x^3-3x^2+4 0,25 x -8 -6 -4 -2 -5 2 Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B cho tam giác OAB vuông O ( O gốc toạ độ) Ta có: y ' 3 x x 3(1 m) Hàm số có cđ, ct y' = cã hai nghiƯm ph©n biƯt x1,x2 ' 9m m A x1 ; y1 Gọi hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1) B x2 ; y2 Trong ®ã x1 x2 2, x1 x2 1 m 0,25 0, 25 1 1 LÊy y chia cho y’, ta cã: y x y ' 2mx 2m 3 3 Ta cã: y1 y ( x1 ) 2mx1 2m y2 y ( x2 ) 2mx2 2m ( v× y’(x1)=y’(x2)=0 ) Tam giác OAB vuông O OA.OB x1.x2 y1 y2 0 x1 x2 4m x1 x2 2m 2m x1 x2 2m 0 0,25 4m3 m 0 m 1 (t / m) VËy m=1 tháa m·n toán 0,25 II 4,0 Gii phng trỡnh: sin x cos x cos 3x sin x cos x Phương trình cos x cos x cos 3x sin x sin x cos 3x cos x cos 3x 2 sin x cos 3x 2,0 0,50 cos 3x (sin x cos x 1) 0 cos x 0 sin x cos x 1 x 6 k (k Z ) x k , x k Giải hệ phương trình: 0,50 0,50 0,50 8 x x 13 x 15 y y 4 y 5 y ( x 1) 2,0 ĐK: y Hệ phương trình tương đương với: 16( x 1) ( x 1) y3 5( x 1) y2 u v v3 5u 16u y đặt u v x y hệ trở thành 4v 0,75 4 v ( 4u u 5u v v )(v 5u ) 5uv u ( 21u 5u v 4v ) 0,5 (u; v)= (0; 2), (0;-2), (1;-3), (-1; 3) Suy hệ cho có nghiệm (-1;-1), (-1; 1) (0;-2/3) (-2; 2/3) III 2 Từ giả thiết ta có 2( x y) 2( x y ) ( x y ) x y 2 0,50 0,25 4,0 0,50 16 16 x 3y 3x 1 P 3 x y 16 x y x 3y 16 x x y 3x 16 8 x y 12 Áp dụng BĐT cơ-si ta có ) x y x 3y x 3y x 3y 16 8 )3 x 3 x 12 3x 1 3x 1 3x 1 0,50 0,50 Suy P 12 12 x y 24 21 x y 2 Dấu đẳng thức xảy x y 4 x y 1 3 x 4 Vậy MinP 21 x y 1 0,50 x 0 x 0 Điều kiện: x log x 3 0 log x 9 log x x 3 x x * log x 0,25 6 log x log x log x log x log x 2 0 0,75 0 Đặt t log x , t 0 Phương trình trở thành t 1 t 5t 0 t 1 t 0 t x 1 x 3 4 x Kết hợp với (*) ta nghiệm pt x + Với t 1 log x 0,75 0,25 IV Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, lập số tự nhiên có (2,0) sáu chữ số đơi khác số, tổng chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn Gọi số cần lập a1 a a a a a Theo giả thiết a a a 8 a , a , a {1;2;5} a , a , a {1;3;4} a , a , a {1;2;5} ta + Với có 3! cách chọn a , a , a A Chọn : có cách chọn Vậy có 3! A53 =360 số a3 a a5 0,75 0,50 + Với a , a , a {1;3;4} tương tự có 360 số 0,25 Vậy có 360 + 360 = 720 số 0,50 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A 4; 3 , B 4;1 đường thẳng d : x y 0 Viết phương trình đường trịn (C) qua hai điểm A, B cho tiếp tuyến (C) A B cắt điểm thuộc d Giả sử tiếp tuyến (C) A B cắt M thuộc d Phương trình đường thẳng AB x 0 Gọi I tâm (C), H trung điểm AB, suy H 4; 1 Đường thẳng IM qua H vng góc với AB nên phương trình IM là: y+1=0 x y 0 M 6; 1 Tọa độ M nghiệm hệ y 0 2,0 0,50 0,50 d A M I H B Do I IM I a; 1 ta có: MA 2; , IA a; , MA IA MA.IA 0 2a 0 a 2 Suy I 2; 1 , bán kính R IA 2 2 Vậy phương trình đường trịn là: x y 1 8 V Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân C, cạnh huyền AB 3a Hình chiếu vng góc S xuống mặt phẳng đáy trùng với trọng tâm tam giác ABC SB a 14 Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) Gọi M trung điểm AB; G tâm tam giác ABC Do tam giác ABC vuông AB 3a CM AB cân C nên CA CB 2 9a S ABC CA.CB 0,50 0,50 4,0 2,0 0,50 S F M A B G K C 3a a Ta có CM AB GM CM ; 2 a 10 2 BG BM MG , SG SB BG a Do đó: V 1 SABC SG 3a (đvtt) Ta có d B, SAC 3d G , SAC Kẻ GK AC K AC GK / / BC 2 GK 1 a GK BC BC 3 Gọi F hình chiếu G SK suy GF SK Do AC SGK nên AC GF Và 0.50 0.50 Từ suy GF SAC d G , SAC GF 1 a GF 2 GF GK GS a Vậy: d B, SAC 3d G , SAC 3GF a Ta có : 0.50 Trong không gian Oxyz, cho điểm A(0; 0; 1) mặt phẳng (P): x + 2y + z - = Tìm tọa độ hai điểm B C thuộc đường thẳng d: x 1 y z cho tam giác ABC vuông A có trọng tâm nằm 1 2,0 (P) B, C thuộc d B(-1+b; b; b), C(-1+ c; c; c) 0,50 b c b c 1b c +Trọng tâm tam giác ABC G( ; ; ) 3 0,50 G thuộc (P) nên: b + c = (1) + tam giác ABC vuông A AB AC 0 (-1 + b)(-1 + c) + bc + (-1 + b)(-1 + c) = 3bc -2(b + c) +2 = (2) Từ (1), (2) : (b, c) = (1; 0) (b, c) = (0; 1) Vậy B(0; 1; 1), C(-1; 0; 0) B(-1; 0; 0), C(0; 1; 1) 0,50 0,50 Hết -Chú ý: 1) Nếu học sinh làm không theo cách nêu đáp án cho đủ số điểm phần hướng dẫn quy định 2) Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm hướng dẫn chấm phải bảo đảm không làm sai lệch hướng dẫn chấm phải thống thực tổ chấm 3) Điểm thi tổng điểm khơng làm trịn