Tổ 24 đợt 1 chương viii đại số tổ hợp toán 10 ctst bài 3 nhị thức niuton bài tập vd

SP ĐỢT TỔ 24–STRONG TEAMT TỔ 24–STRONG TEAM 24–STRONG TEAM CHƯƠNG VIII–ĐẠI SỐ TỔ HỢP–TOÁN 10–CTSTNG VIII–ĐẠI SỐ TỔ HỢP–TOÁN 10–CTSTI SỐ TỔ HỢP–TOÁN 10–CTST TỔ 24–STRONG TEAM HỢT TỔ 24–STRONG TEAMP–TOÁN 10–CTST CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP NĂM HỌC 2022 – 2023 BÀI 3: NHỊ THỨC NEWTON I LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ Ta có:  a  b  a  2ab  b ;  a  b  a3  3a 2b  3ab  b3 Quan sát đơn thức vế phải đẳng thức trên, nhận xét quy luật số mũ a n  a  b  n  4;5 b Có thể tìm cách tính hệ số đơn thức khai triển khơng? Sơ đồ hình  a  b C40 a  C41 a 3b  C42 a 2b  C43ab  C44b a  4a 3b  6a 2b  4ab3  b Ví dụ 1:  x  1 Khai triển Lời giải  a  b  , ta được: Thay a 2 x b 1 công thức khai triển  x  1 4  x    x  1   x  12   x  13  14 16 x  32 x  24 x  x  Ví dụ 2:  x  2 Khai triển Lời giải STRONG TEAM TOÁN VD – VDC – Nơi hội tụ đam mê toán THPTi hội tụ đam mê toán THPTi tụ đam mê toán THPT đam mê toán THPTa đam mê toán THPTng đam mê toán THPT Trang SP ĐỢT TỔ 24–STRONG TEAMT TỔ 24–STRONG TEAM 24–STRONG TEAM CHƯƠNG VIII–ĐẠI SỐ TỔ HỢP–TOÁN 10–CTSTNG VIII–ĐẠI SỐ TỔ HỢP–TOÁN 10–CTSTI SỐ TỔ HỢP–TOÁN 10–CTST TỔ 24–STRONG TEAM HỢT TỔ 24–STRONG TEAMP–TOÁN 10–CTST  a  b  , ta được: Thay a x b  công thức khai triển  x  2 x  x     x     x        x  x3  24 x  32 x  16  a  b C50 a  C51a 4b  C52 a 3b  C53a 2b  C54ab  C55b a  5a 4b  10a 3b  10a 2b3  5ab  b Ví dụ 3: Khai triển  x  3 Lời giải a  b Thay a  x b 3 công thức khai triển  , ta được: ( x  3)5  x  x 3  10 x 32  10 x 33  x 34  35  x  15 x  90 x  270 x  405 x  243 Ví dụ 4: Khai triển  3x   Lời giải  3x   5 5 C  3x   C  3x      C  3x      C53  x    2  C54  3x      C55    243 x5  2430 x  1080 x3  720 x  240 x  32 Ví dụ 5: a) Dùng hai số hạng khai triển   0, 05 4 để tính giá trị gần 1, 05 b) Dùng máy tính cầm tay tính giá trị 1, 05 tính sai số tuyệt đối giá trị gần nhận câu a Lời giải a)   0, 05 C4014  C41130, 051 1  0, 1, b) Cách bấm: 1.05^4= Hiển thị Sai số tuyệt đối giá trị gần nhận câu a 0,01550625 II TỔNG QUÁT VỀ CÔNG THỨC NHỊ THỨC NIU-TƠN CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON  a  b Khai triển n cho công thức sau: Với a, b số thực n sô nguyên dương, ta có STRONG TEAM TỐN VD – VDC – Nơi hội tụ đam mê toán THPTi hội tụ đam mê toán THPTi tụ đam mê toán THPT đam mê toán THPTa đam mê toán THPTng đam mê toán THPT Trang SP ĐỢT TỔ 24–STRONG TEAMT TỔ 24–STRONG TEAM 24–STRONG TEAM  a  b n CHƯƠNG VIII–ĐẠI SỐ TỔ HỢP–TOÁN 10–CTSTNG VIII–ĐẠI SỐ TỔ HỢP–TOÁN 10–CTSTI SỐ TỔ HỢP–TOÁN 10–CTST TỔ 24–STRONG TEAM HỢT TỔ 24–STRONG TEAMP–TOÁN 10–CTST n  Cnk a n  k b k Cn0 a n  Cn1a n  1b   Cnk a n  k b k   Cnnb n  1 k 0 0 Quy ước a b 1 Công thức gọi công thức nhị thức Newton (viết tắt Nhị thức Newton) Trong biểu thức VP công thức (1) a) Số hạng tử n  b) Số hạng tử có số mũ a giảm dần từ n đến 0, số mũ b tăng dần từ đến n, tổng số mũ a b hạng tử n c) Các hệ số hạng tử cách hai hạng tử đầu cuối k n k k d) Số hạng thứ k (số hạng tổng quát) khai triển là: Tk 1 Cn a b HỆ QUẢ n n Với a b 1, ta có Cn  Cn   Cn k n Cn0  Cn1     1 Cnk     1 Cnn a  1; b  Với , ta có CÁC DẠNG KHAI TRIỂN CƠ BẢN NHỊ THỨC NEWTON  x  1 n  Cn0 x n  Cn1 x n   Cn2 x n    Cnk x n  k   Cnn x  Cnn n  1 x Cn0  Cn1 x  Cn2 x   Cnk x k   Cnn  x n   Cnn x n  x  1 n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x     1 Cnk x k     1 k n n Cnn  x n     1 Cnn x n Cnk Cnn k Cnk  Cnk 1 C k 1 ,  n 1 n1  n  n  1 ! k n ! k Cnk   nCnk11  n  k  !k!  n  k  ! k  1 !  n  n  1 ! k n ! Cnk    Cnk11 k 1 k  n  k ! k ! n  n  k ! k  ! n           STRONG TEAM TOÁN VD – VDC – Nơi hội tụ đam mê toán THPTi hội tụ đam mê toán THPTi tụ đam mê toán THPT đam mê toán THPTa đam mê toán THPTng đam mê toán THPT Trang SP ĐỢT TỔ 24–STRONG TEAMT TỔ 24–STRONG TEAM 24–STRONG TEAM CHƯƠNG VIII–ĐẠI SỐ TỔ HỢP–TOÁN 10–CTSTNG VIII–ĐẠI SỐ TỔ HỢP–TOÁN 10–CTSTI SỐ TỔ HỢP–TOÁN 10–CTST TỔ 24–STRONG TEAM HỢT TỔ 24–STRONG TEAMP–TOÁN 10–CTST CÁC DẠNG BÀI TẬP a  b Dạng Khai triển biểu thức dạng  PHƯƠNG PHÁP Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton với n 4 ta có  a  b C40 a  C41 a 3b  C42 a 2b  C43ab3  C44b BÀI TẬP Câu Khi khai triển nhị thức Newton  x  y ta thu hạng tử Lời giải Áp dụng công thức khai triển nhị thức Newton ta  x  y C40 x  C41 x3 y  C42 x y  C43 xy  C44 y Vì khơng có hạng tử có phần biến giống để thu gọn nên có tất hạng tử Câu 1 x Khai triển nhị thức Newton  Lời giải Ta có Câu 1 x 4 4 C  C x  C x  C 1x  C44 x 1  x  x  x  x Khai triển nhị thức Newton 2  x  2 Lời giải Ta có Câu  x  2 4 4 C x  C x  C x  C43 x.23  C44 24 x  x  24 x  32 x  16 Khai triển nhị thức Newton  x  1 2 Lời giải Ta có Câu  x  1 4 4 C x  C x   1  C x   1  C43 x   1  C44   1  x  x  x  x  Khai triển nhị thức Newton  2x  y  Lời giải 4 Khai triển nhị thức Newton  x  3y 2 x  y  C  x   C  x  y  C  x  y  C43  x  y  C44 y Ta có  16 x  32 x y  24 x y  xy  y Câu 4 Lời giải x  3y  Ta có  C40 x  C41 x   y   C42 x   y   C 43 x   y   C44   y   x  12 x y  54 x y  108 xy  81 y Câu  1 x   x Khai triển nhị thức Newton  STRONG TEAM TOÁN VD – VDC – Nơi hội tụ đam mê toán THPTi hội tụ đam mê toán THPTi tụ đam mê toán THPT đam mê toán THPTa đam mê toán THPTng đam mê toán THPT Trang SP ĐỢT TỔ 24–STRONG TEAMT TỔ 24–STRONG TEAM 24–STRONG TEAM CHƯƠNG VIII–ĐẠI SỐ TỔ HỢP–TOÁN 10–CTSTNG VIII–ĐẠI SỐ TỔ HỢP–TOÁN 10–CTSTI SỐ TỔ HỢP–TOÁN 10–CTST TỔ 24–STRONG TEAM HỢT TỔ 24–STRONG TEAMP–TOÁN 10–CTST Lời giải  1  1 2  1  1 4 1  x   C4  x   C4  x     C4  x     C4  x     C4   x  x  x  x  x Ta có  1     C40 x8  C41 x    C42 x  C43  x     C44    x8  x5  x   x x x  x x  x  4 Câu   x  x  Khai triển nhị thức Newton  Lời giải 4     1 2   1   1   1  x   C4 x  C4 x    C4 x    C4 x    C4   x  x  x  x  x  Ta có    1   1  1 C40 x  C41 x3    C42 x  C43 x    C44   x  x    x x x x x  x  x  Dạng a  b Khai triển biểu thức dạng  PHƯƠNG PHÁP a  b Sử dụng công thức:  C50 a  C51 a b1  C52 a 3b  C53 a b3  C54 a1b  C55 b5  a  5a 4b1  10a 3b  10a 2b3  5a1b  b5 BÀI TẬP Câu 1: a  b Khai triển biểu thức  Lời giải Ta có: Câu 2:  a  b 5 2 a  5a b  10a b  10a b  5a1b  b5 Khai triển biểu thức ( x  1) Lời giải Ta có: Câu 3:  x  1 x5  x  10 x3  10 x  5x  Khai triển biểu thức  x  1 Lời giải Ta có: Câu 4:  x  1  x  x  10 x  10 x  x  x  2 Khai triển biểu thức  Lời giải Ta có: Câu 5:  x  2 5  x  x  10 x  10 x 23  x1  25  x5  10 x  40 x3  80 x  80 x  32 Khai triển biểu thức  2x  y  2 STRONG TEAM TOÁN VD – VDC – Nơi hội tụ đam mê toán THPTi hội tụ đam mê toán THPTi tụ đam mê toán THPT đam mê toán THPTa đam mê toán THPTng đam mê toán THPT Trang SP ĐỢT TỔ 24–STRONG TEAMT TỔ 24–STRONG TEAM 24–STRONG TEAM CHƯƠNG VIII–ĐẠI SỐ TỔ HỢP–TOÁN 10–CTSTNG VIII–ĐẠI SỐ TỔ HỢP–TOÁN 10–CTSTI SỐ TỔ HỢP–TOÁN 10–CTST TỔ 24–STRONG TEAM HỢT TỔ 24–STRONG TEAMP–TOÁN 10–CTST Lời giải 2x  y  Ta có:  5  x    x  y1  10  x  y  10  x  y   x  y  y 32 x  80 x y  80 x y  40 x y  10 xy  y Câu 6: Khai triển biểu thức  x  3y  Lời giải x  3y  Ta có:  x  x  y   10 x  y   10 x  y   5x1  y    y   x  15 x y  90 x y  270 x y  405 xy  243 y Câu 7: 2x  3y  Khai triển biểu thức  Lời giải Ta có:  2x  3y   x    x   3y  2 5 10  x   y   10  x   y    x   y    y  32 x  240 x y  720 x y  1080 x y  810 xy  243 y Câu 8: Khai triển biểu thức  2x  3y  Lời giải Ta có:  2x  3y  5  x    x   3y   10  x   y   10  x   y    x   y    y  32 x  240 x y  720 x3 y  1080 x y  810 xy  243 y Dạng Xác định hệ số hay số hạng khai triển bậc hay bậc 5: BÀI TẬP Câu 1: x  1 Tìm số hạng chứa x khai triển  Lời giải Ta xét khai triển Tk 1 C4k  x  4 k  x  1   1 k có số hạng tổng quát k   1 C4k 24 k x 4 k Số hạng chứa x khai triển ứng với giá trị k thỏa mãn :  k 3  k 1 C1  23 x3  32 x Vậy số hạng chứa x khai triển là:   Câu 2:  3x  Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển  Lời giải Ta xét khai triển   3x  có số hạng tổng quát k Tk 1 C5k 25 k  x  C5k 25 k 3k x k Số hạng chứa x khai triển ứng với giá trị k thỏa mãn : k 4 STRONG TEAM TOÁN VD – VDC – Nơi hội tụ đam mê toán THPTi hội tụ đam mê toán THPTi tụ đam mê toán THPT đam mê toán THPTa đam mê toán THPTng đam mê toán THPT Trang SP ĐỢT TỔ 24–STRONG TEAMT TỔ 24–STRONG TEAM 24–STRONG TEAM CHƯƠNG VIII–ĐẠI SỐ TỔ HỢP–TOÁN 10–CTSTNG VIII–ĐẠI SỐ TỔ HỢP–TOÁN 10–CTSTI SỐ TỔ HỢP–TOÁN 10–CTST TỔ 24–STRONG TEAM HỢT TỔ 24–STRONG TEAMP–TOÁN 10–CTST 5 4 Vậy hệ số số hạng chứa x khai triển là: C5 810 Câu 3: ( x - 2) Tìm số hạng chứa x khai triển x - 2) ( Ta xét khai triển có số hạng tổng quát Tk 1 C4k  3x  4 k   2 k k C4k 34 k    x 4 k Số hạng chứa x khai triển ứng với giá trị k thỏa mãn :  k 1  k 3 C 34     x  96 x Vậy số hạng chứa x khai triển là: Câu 4: Tính tổng hệ số khai triển   2x  Lời giải Đặt 1 2x a0  a1 x  a2 x   a5 x5 a  a  a   a5     Cho x 1 ta có tổng hệ số Câu 5:  1 x   x  ( với x 0 ) x Tìm hệ số số hạng chứa khai triển  Lời giải  1 x   x  ( với x 0 ) có số hạng tổng quát Ta xét khai triển  k 1 Tk 1 C   x  x k   5 k C5k x15 k Số hạng chứa x tương ứng với giá trị k thỏa mãn: 15  4k 3  k 3 3 Vậy hệ số số hạng chứa x C5 10 Câu 6:  x 4    Tìm hệ số số hạng không chứa x khai triển  x  với x 0 Lời giải  x 4    Ta xét khai triển  x  ( với x 0 ) có số hạng tổng quát  x Tk 1 C    2 k 4 k k 3k  4 k  4 k  x   C4    x Số hạng không chứa x khai triển tương ứng với giá trị k thỏa mãn:  2k 0  k 2 x khai triển C4   Vậy hệ số số hạng không chứa STRONG TEAM TOÁN VD – VDC – Nơi hội tụ đam mê toán THPTi hội tụ đam mê toán THPTi tụ đam mê toán THPT đam mê toán THPTa đam mê toán THPTng đam mê toán THPT 3.2  24 Trang SP ĐỢT TỔ 24–STRONG TEAMT TỔ 24–STRONG TEAM 24–STRONG TEAM CHƯƠNG VIII–ĐẠI SỐ TỔ HỢP–TOÁN 10–CTSTNG VIII–ĐẠI SỐ TỔ HỢP–TOÁN 10–CTSTI SỐ TỔ HỢP–TOÁN 10–CTST TỔ 24–STRONG TEAM HỢT TỔ 24–STRONG TEAMP–TOÁN 10–CTST Câu 7: 3    2x   với x 0 Tìm số hạng khơng chứa x khai triển  x Lời giải 3    2x   ( với x 0 ) có số hạng tổng quát Ta xét khai triển  x  3 Tk 1 C  x     x k k 4 k C4k 2k 34 k x k  Số hạng không chứa x khai triển tương ứng với giá trị k thỏa mãn: 2k  0  k 2 2 Vậy số hạng không chứa x khai triển C4 216 Câu 8: Tìm số hạng chứa x khai triển    2x   x  , x 0  Lời giải    2x   x  ( với x 0 ) có số hạng tổng quát Ta xét khai triển  k Tk 1   1 C4k 24 k x  3k Số hạng chứa x khai triển tương ứng với giá trị k thỏa mãn:  3k   k 2 24   1 C42 24 x 4 3.2  2 x Vậy số hạng chứa x khai triển Câu 9:    2x   x  Tìm số hạng không chứa x khai triển  Lời giải Xét số hạng tổng quát (với k 4 ) k Tk 1 C  x 4 k  k k k   k  k 8 k   1 2k C4k 24 k x 8 k   1    C4 x x  x  Số hạng không chứa x ứng với  4k 0  k 2 2 Vậy số hạng không chứa x T3 C   1 24 Câu 10: Cho n số nguyên dương thỏa mãn Cn  Cn 15 Tìm số hạng khơng chứa x khai triển n 2  x 4 x   Lời giải * Điều kiện: n 2, n   (1) STRONG TEAM TOÁN VD – VDC – Nơi hội tụ đam mê toán THPTi hội tụ đam mê toán THPTi tụ đam mê toán THPT đam mê toán THPTa đam mê toán THPTng đam mê toán THPT Trang SP ĐỢT TỔ 24–STRONG TEAMT TỔ 24–STRONG TEAM 24–STRONG TEAM CHƯƠNG VIII–ĐẠI SỐ TỔ HỢP–TOÁN 10–CTSTNG VIII–ĐẠI SỐ TỔ HỢP–TOÁN 10–CTSTI SỐ TỔ HỢP–TOÁN 10–CTST TỔ 24–STRONG TEAM HỢT TỔ 24–STRONG TEAMP–TOÁN 10–CTST n  n  1  n 5 15  n  n  30 0    n 5  n  Cn1  Cn2 15  n  k 5   k k 5 k   k k 5 k x   C x       C5 x  x x  k 0   k 0 Khi đó,  Số hạng không chứa x tương ứng  5k 0  k 1 1 Suy số hạng không chứa x là: C5 10 n  x  a0  a1 x  a2 x   an x n Câu 11: Cho khai triển  thỏa mãn a0  8a1 2a2  Tìm giá trị số nguyên dương n Lời giải Ta có: 1 2x n  2k Cnk x k ; k   k 0 a2 4Cn2 2 n k k 0 Suy ra: ak 2 Cn Thay a0 2 Cn 1 , a1 2Cn , 2 vào giả thiết ta có:  16Cn 8Cn  1 2Cn Cn  n 0 n! n! n  n  1    n   n  1 !  n   !2!  n 5  n  5n 0 Do n số nguyên dương nên n 5 10 Câu 12: Tìm hệ số x khải triển thành đa thức (1  x  x  x ) Lời giải 5 (1  x  x  x )5  (1  x )  x (1  x )    (1  x ).(1  x )  (1  x )5 (1  x )5 Ta có Xét khai triển 5 5 k 0 l 0 k 0 l 0 (1  x)5 (1  x )5  C5k x k  C5l x 2l  (C5k  C5l x k 2l ) 10 Số hạng chứa x tương ứng với k , l thỏa mãn k  2l 10  k 10  2l Kết hợp với điều kiện, ta có hệ : k 10  2l  0 k 5, k  N  (k , l )   (0;5),(2; 4),(4;3) 0 l 5, l  N  k l 4 10 Vậy hệ số x tổng C5 C5 thỏa mãn C5 C5  C5 C5  C5 C5 101 n  2   x  Câu 13: Tìm số hạng có hệ số nguyên khai triển thành đa thức   biết n số 2n nguyên dương thỏa mãn: C2 n 1  C2 n 1  C2 n 1   C2 n 1 1024 Lời giải Ta có  x  1 n 1 n 1 n 1 C x 2n n 1 C x   C22nn1 x  C22nn11  1 STRONG TEAM TOÁN VD – VDC – Nơi hội tụ đam mê toán THPTi hội tụ đam mê toán THPTi tụ đam mê toán THPT đam mê toán THPTa đam mê toán THPTng đam mê toán THPT Trang SP ĐỢT TỔ 24–STRONG TEAMT TỔ 24–STRONG TEAM 24–STRONG TEAM CHƯƠNG VIII–ĐẠI SỐ TỔ HỢP–TOÁN 10–CTSTNG VIII–ĐẠI SỐ TỔ HỢP–TOÁN 10–CTSTI SỐ TỔ HỢP–TOÁN 10–CTST TỔ 24–STRONG TEAM HỢT TỔ 24–STRONG TEAMP–TOÁN 10–CTST  1 ta 22 n1 C20n1  C21n1   C22nn1  C22nn11 Thay x 1 vào  2  1 ta  C20n1  C21n 1   C22nn1  C22nn11 Thay x  vào  3 Lấy     3 vế theo vế ta 22 n 1 2  C20n 1  C22n 1   C22nn1  n 1 2.1024  n 5 Theo đề n  2   x  Số hạng tổng quát khai triển    3 Tk 1 C5k    2 5 k k k     x  C5k   1 35 k.22 k  x k   Ta có bảng sau k 135 C   1  Vậy số hạng có hệ số nguyên 15 x k k 5 k 243 32 2k  15 Câu 14: Tìm số hạng chứa x khai triển biểu thức 20  P  x    x  x  40 27 32  243 n với n số nguyên An3 C  12 n dương thỏa mãn n Lời giải Xét Cn2   1  An3 12  1 n (Điều kiện : n  Z , n 3 ) n! n!  12 2!  n   ! n  n  3 ! n  n  1   n  1  n   12  n 4 (tm )  3n  7n  20 0   5  n  ( L)   4 k  k  i P  x    x  x   C4k 34 k  x   x    C4k 34 k x k   Cki   1 x i  k 0 k 0  i 0  Với n 4 k i  P  x   C4k Cki 34 k   1 x i k k 0 i 0  i 0, k 2 i  k 2  i, k  ,0 i k 4     i 1, k 1 Theo đề số hạng chứa x thỏa mãn với STRONG TEAM TOÁN VD – VDC – Nơi hội tụ đam mê toán THPTi hội tụ đam mê toán THPTi tụ đam mê toán THPT đam mê toán THPTa đam mê toán THPTng đam mê toán THPT Trang 10 SP ĐỢT TỔ 24–STRONG TEAMT TỔ 24–STRONG TEAM 24–STRONG TEAM CHƯƠNG VIII–ĐẠI SỐ TỔ HỢP–TOÁN 10–CTSTNG VIII–ĐẠI SỐ TỔ HỢP–TOÁN 10–CTSTI SỐ TỔ HỢP–TOÁN 10–CTST TỔ 24–STRONG TEAM HỢT TỔ 24–STRONG TEAMP–TOÁN 10–CTST  C42C20 32   1  C41C11 33   1  x  54 x  Vậy số hạng chứa x  Dạng Tính tổng tổ hợp Cnk  k n 5; k , n   ứng dụng (nếu có) BÀI TẬP Câu 1: 10 Tính tổng sau S C10  C10   C10 Lời giải Xét khai triển  a  b 10 10  C10k a10  k b k k 0 Ta chọn a b 1 , thu 10 Vậy S 2 1024 Câu 2:  1 10 10 C100  C10   C10 Tính tổng sau S C6  C6   C6 Lời giải Xét khai triển  a  b 6  C6k a 6 k b k k 0 Ta chọn a b 1 , thu  6 Do S 2  C6  C6 62  1 C60  C61   C66 Vậy S 62 Câu 3: 2 6 Tính tổng sau S C6  2.C6  C6   C6 Lời giải Xét khai triển  a  b 6  C6k a 6 k b k k 0 Ta chọn a 1; b 2 , thu Vậy S 3 729 Câu 4:   2 C60  2.C61  22.C62   26 C66 11 12 Tính tổng sau S C12  C12  C12   C12  C12 Lời giải Xét khai triển  a  b 12 12  C12k a12  k b k k 0 Ta chọn a 1; b  , thu 12 Vậy S 0 0 Câu 5:   1 12 C120  C121  C122   C1211  C1212 n Cho n số tự nhiên thỏa mãn n  6n  0 Tính tổng S Cn  Cn   Cn Lời giải STRONG TEAM TOÁN VD – VDC – Nơi hội tụ đam mê toán THPTi hội tụ đam mê toán THPTi tụ đam mê toán THPT đam mê toán THPTa đam mê toán THPTng đam mê toán THPT Trang 11 SP ĐỢT TỔ 24–STRONG TEAMT TỔ 24–STRONG TEAM 24–STRONG TEAM CHƯƠNG VIII–ĐẠI SỐ TỔ HỢP–TOÁN 10–CTSTNG VIII–ĐẠI SỐ TỔ HỢP–TOÁN 10–CTSTI SỐ TỔ HỢP–TOÁN 10–CTST TỔ 24–STRONG TEAM HỢT TỔ 24–STRONG TEAMP–TOÁN 10–CTST  n 7 n  6n  0    n  Ta có Do n   nên n 7 Khi S C7  C7   C7 Xét khai triển  a  b 7  C7k a  k b k Ta chọn a b 1 , thu Vậy S 2 128 Câu 6: Cho đa thức k 0 P  x    x    1 C70  C71   C77 Tính tổng hệ số đa thức P  x Lời giải 8 Ta có P  x    x   C8k ( 1)k x k Khi tổng hệ số đa thức S C8  C81   C87  C88 k 0 Xét khai triển  a  b P  x  C8k a 8 k b k k 0  1 C80  C81  C82   C87  C88 Ta chọn a 1; b  , thu  P  x Vậy tổng hệ số đa thức Câu 7: 2 19 20 Tính tổng sau S C20  2C20  C20   C20 Lời giải 20 Ta có S 2.C  C  C   C20 20 Xét khai triển  a  b 20 20 3 20 20 20  C20k a 20  k b k k 0  2 Ta chọn a 1; b 2 , thu  20 Do Vậy Câu 8: 20 20 2S     C 3  S 20 C20  2.C20   20.C2020 320  20 Tính tổng sau S C20  C20  C20   C20 Lời giải Xét khai triển  a  b 20 20  C20k a 20  k b k k 0  1 Chọn a b 1 , ta thu  20 20 C20  C20  C20  C20  C20 20  1 C20  C20  C202  C20   C2020 Chọn a 1; b  , ta thu  Cộng theo vế hai phương trình ta STRONG TEAM TOÁN VD – VDC – Nơi hội tụ đam mê toán THPTi hội tụ đam mê toán THPTi tụ đam mê toán THPT đam mê toán THPTa đam mê toán THPTng đam mê toán THPT Trang 12 SP ĐỢT TỔ 24–STRONG TEAMT TỔ 24–STRONG TEAM 24–STRONG TEAM CHƯƠNG VIII–ĐẠI SỐ TỔ HỢP–TOÁN 10–CTSTNG VIII–ĐẠI SỐ TỔ HỢP–TOÁN 10–CTSTI SỐ TỔ HỢP–TOÁN 10–CTST TỔ 24–STRONG TEAM HỢT TỔ 24–STRONG TEAMP–TOÁN 10–CTST 220 2  C200  C202  C204   C2020   S 220  S 219 Câu 9: 2018 2017 2016 2018 2018 2019 2019 Tính tổng: S C2019  C2019  C2019   C2019  C2019 Lời giải A  a  b  Xét C 2019 2019 k   C2019 a 2019 k b k k 0 2019 a 2019 C 2019 2018 2018 2019 2019 a 2018 b  C2019 a 2017 b  C2019 a 2016 b3   C2019 a b  C2019 b Ta chọn a  3, b 2 ,    2 2019 2019 2019  C2019 32019  C2019 32018.2  C 32017.22  C 32016.23   C 2018 31.2 2018  C2019       2019     2019       2019          S  S     2019  C2019 32019   1 2019  32019 32019  2021 2010 2019 2018 2020 2020 Câu 10: Tính tổng: S C2021.4  C2021.4  C2021.4  C2021.4   C2021 Lời giải A  a  b  2021 2021 k  C2021 a 2021 k b k k 0 C 2021 a 2021 C 2021 2020 2020 2021 2021 a 2020 b  C2021 a 2019 b2  C2021 a 2018 b3   C2021 a b  C2021 b Ta chọn a 4, b  ,   2 2021 2021 2021 C2021 2021  C1 2020.2  C2021 2019.2  C 2018.23   C 2020 4.2 2020  C2021       2021            2021       2021     S  S    2021 2021 2021  C2021 22021  22021 22022 10 n 6 n  n 7 2n * Câu 11: Cho n   , tính tổng S 2 C2 n  C2 n  C2 n  C2 n   C2 n  C2 n Lời giải S 27  C20n  21 C21n  22 C22n  23 C23n   2 n  C22nn   22 n C22nn  Ta có: Xét khai triển Newton  x  2 2n   1 Tại x 1 ta có Vậy C20n x n     C21n x n      C22n x n       C22nn  x1    S 27   1 2n 27 2n n  C22nn    2n C20n  21 C21n  2 C22n  23 C23n   2 n  C22nn  2 n C22nn n Câu 12: Cho n số tự nhiên Hãy tính tổng sau: S C2 n 1  C2 n 1  C2 n 1   C2 n 1 Lời giải S C n 1 C n 1 C 2 n 1   C n n 1  S   C20n 1  C21n 1   C2nn 1    C20n 1  C21n 1   C2nn 1  k n k Ta có Cn Cn (tính chất tổ hợp)  S   C20n 1  C21n 1   C2nn1    C22nn11  C22nn1   C2nn11  STRONG TEAM TOÁN VD – VDC – Nơi hội tụ đam mê toán THPTi hội tụ đam mê toán THPTi tụ đam mê toán THPT đam mê toán THPTa đam mê toán THPTng đam mê toán THPT Trang 13 SP ĐỢT TỔ 24–STRONG TEAMT TỔ 24–STRONG TEAM 24–STRONG TEAM CHƯƠNG VIII–ĐẠI SỐ TỔ HỢP–TOÁN 10–CTSTNG VIII–ĐẠI SỐ TỔ HỢP–TOÁN 10–CTSTI SỐ TỔ HỢP–TOÁN 10–CTST TỔ 24–STRONG TEAM HỢT TỔ 24–STRONG TEAMP–TOÁN 10–CTST  S C20n 1  C21n 1   C2nn 1  C2nn11   C22nn1  C22nn1 x  1 Xét khai triển  n 1 C20n 1 x  C21n 1 x1   C22nn11 x n 1 n 1  S 2 n 4 n Khi x 1  2S 2 S 3Cn0  7Cn1  11Cn2    4n   Cnn n Câu 13: Cho số tự nhiên Thu gọn biểu thức theo n Lời giải S  0.4  3 C   1.4  3 C   2.4  3 Cn2    n.4   Cnn n Ta có n  S 4  C  2C  3C   n.C n n n n n   3 C n n  C   C n n  n x  1 Cn0 x  Cn1 x1   Cnn x n Xét khai triển  n n Khi x 1  Cn  Cn   Cn 2 k Cnk k Mặt khác ta lại có: Do đó: n  n  1 ! n!  n.Cnk11 k ! n  k  !  k  1 !   n  1   k  1  ! Cn1  2.Cn2  3Cn3   n.Cnn n  Cn0  Cn1   Cn2   Cnn11  x  1 Tương tự xét khai triển  n Cn0 x  Cn1 1.x1   C nn11 x n  1 n n Khi x 1  Cn   Cn   Cn    Cn  2 S 4n.2 n   3.2n  2n   2n Vậy 1 1 S     1.0!.2019! 2.1!2018! 3.2!.2017! 2020.2019!.0! Câu 14: Rút gọn biểu thức 2019 Ta có 2019  k 0  k  1 k ! 2019  k  ! k 0 S  Xét nhị thức Cho x 1  x  1 2020 2020 2020 k 0 k 1 k k   C2020 x k 1   C2020 x k 2020 2019 k 1 k 0  Lời giải 2020! 2019 k 1   C2020 2020! k  1 ! 2020   k  1  ! 2020! k 0 k k 1  C2020 22020   C2020 2020 Vậy: S 1 2020! x  x   x  x  Dạng Dùng hai số hạng khai triển  , để tính gần ứng dụng (nếu có) BÀI TẬP Câu 1: x  x  Viết khai triển lũy thừa  Lời giải STRONG TEAM TOÁN VD – VDC – Nơi hội tụ đam mê toán THPTi hội tụ đam mê toán THPTi tụ đam mê toán THPT đam mê toán THPTa đam mê toán THPTng đam mê toán THPT Trang 14 SP ĐỢT TỔ 24–STRONG TEAMT TỔ 24–STRONG TEAM 24–STRONG TEAM x  x  Ta có:  Câu 2: CHƯƠNG VIII–ĐẠI SỐ TỔ HỢP–TOÁN 10–CTSTNG VIII–ĐẠI SỐ TỔ HỢP–TOÁN 10–CTSTI SỐ TỔ HỢP–TOÁN 10–CTST TỔ 24–STRONG TEAM HỢT TỔ 24–STRONG TEAMP–TOÁN 10–CTST Dùng hai số hạng khai triển lũy thừa Lời giải Ta có:  6, 01 4 C50 x5  C51.x x  C52 x  x   C53 x  x   C54 x  x   C55  x   x  x  n để tính gần số  6, 01   0, 01 C40  C41 63.0, 01  C42  0, 01  C43.6  0, 01  C44  0, 01 4 C40 64  C41 63.0, 01 1304, 64 Vậy: Câu 3:  6, 01 1304,64 Dùng hai số hạng khai triển lũy thừa  2022, 02   x  x  n để tính gần số Lời giải Ta có:  2022, 02  5  2022  0, 02  C50 20225  C51.2022 4.0, 02  C52 20223.0, 02  C53 20222.0,023  C54 2022.0, 024  C55 0, 025 C50 20225  C51.20224.0, 02 3,38.1016 16 Vậy: 2022, 02 3,38.10 Câu 4: x  x  Dùng hai số hạng khai triển lũy thừa  n 4,98  để tính gần số  Lời giải Ta có:  4,98  5   ( 0, 02)  C50 55   0, 02   C51.54   0, 02   C52 52   0, 02   C53 52   0, 02   C54   0, 02   C55   0, 02  C50 55  C51.54   0, 02  3062,5 Vậy: 4,98 3062,5 Câu 5: Dùng hai số hạng khai triển lũy thừa  1999, 99   x  x  n để tính gần số Lời giải Ta có:  1999,99  4  2000  ( 0, 01)  C40 2000   0, 01  C41.2000   0, 01  C42.20002   0, 01  C43 2000   0, 01  C44   0, 01 C40 20004  C41 20003   0, 01 1,599968.1013 1999,99  Vậy:  1,599968.1013 Câu 6:  x  59705,1 Tìm giá trị gần x , biết  ta dùng số hạng khai triển   x Lời giải STRONG TEAM TOÁN VD – VDC – Nơi hội tụ đam mê toán THPTi hội tụ đam mê toán THPTi tụ đam mê toán THPT đam mê toán THPTa đam mê toán THPTng đam mê toán THPT Trang 15 SP ĐỢT TỔ 24–STRONG TEAMT TỔ 24–STRONG TEAM 24–STRONG TEAM  x Ta có:  CHƯƠNG VIII–ĐẠI SỐ TỔ HỢP–TOÁN 10–CTSTNG VIII–ĐẠI SỐ TỔ HỢP–TOÁN 10–CTSTI SỐ TỔ HỢP–TOÁN 10–CTST TỔ 24–STRONG TEAM HỢT TỔ 24–STRONG TEAMP–TOÁN 10–CTST C50 95  C51.94.x  C52 93.x  C53 92.x  C54 9.x  C55 x C50 95  C51 94 x 59705,1  x 0, 02 Vậy x 0, 02 Câu 7: Một người có 500 triệu đồng gửi tiết kiệm ngân hàng với lãi suất 7, 2% / năm Với giả thiết sau tháng người khơng rút tiền số tiền lãi nhập vào số tiền ban đầu Đây gọi hình thức lãi kép Biết số tiền vốn lẫn lãi T sau n tháng tính cơng thức T T0   r  n , T0 số tiền gởi lúc đầu r lãi suất tháng Dùng hai số hạng khai triển nhị thức Niu – tơn, tính gần số tiền người nhận (cả gốc lẫn lãi) sau tháng Lời giải Lãi suất tháng Ta có: r 7, % 0, 6% / 12 tháng n T T0   r  T 500.10   0, 006  500.106  C60  C61.0, 006  518000000 Suy ra: đồng Vậy: sau tháng người nhận 518000 000 đồng Câu 8: Một người có T0 triệu đồng gửi tiết kiệm ngân hàng với lãi suất 7, 2% / năm Với giả thiết sau năm người khơng rút tiền số tiền lãi nhập vào số tiền ban đầu Đây gọi hình thức lãi kép Biết số tiền vốn lẫn lãi T sau n năm tính cơng thức T T0   r  n , T0 số tiền gởi lúc đầu r lãi suất năm Sau năm người nhận số tiền gốc lẫn lãi số tiền 386 400 000 đồng dùng hai số hạng khai triển nhị thức Niu – tơn Tính gần số tiền người gởi lúc đầu Lời giải Ta có: T T0   r  n T T0   0, 072  T0  C40  C41.0, 072   T0 300 000 000 Suy ra: Vậy lúc đầu người gởi vào khoảng 300 000 000 đồng Câu 9: Dùng hai số hạng khai triển lũy thừa Lời giải Ta có:  3, 01 4  x  x  đồng n để so sánh  3, 01   0, 01 C40 34  C41 33.0, 01  C42 32  0, 01  C43.3  0, 01  C44  0, 01  2,1 C40 34  C41 33.0, 01 82, 08  2,1 5   0,1 C50 25  C51.2 4.0,1  C52 23  0,1  C53.2  0,1  C54  0,1  C55  0,1 C50 25  C51.24.0,1 40  3, 01 Vậy:   2,1 Câu 10: Dùng hai số hạng khai triển lũy thừa   3x  STRONG TEAM TOÁN VD – VDC – Nơi hội tụ đam mê toán THPTi hội tụ đam mê toán THPTi tụ đam mê toán THPT đam mê toán THPTa đam mê toán THPTng đam mê toán THPT để ước lượng giá trị gần Trang 16 SP ĐỢT TỔ 24–STRONG TEAMT TỔ 24–STRONG TEAM 24–STRONG TEAM CHƯƠNG VIII–ĐẠI SỐ TỔ HỢP–TOÁN 10–CTSTNG VIII–ĐẠI SỐ TỔ HỢP–TOÁN 10–CTSTI SỐ TỔ HỢP–TOÁN 10–CTST TỔ 24–STRONG TEAM HỢT TỔ 24–STRONG TEAMP–TOÁN 10–CTST   3x  12,8 x (làm tròn sau dấy phẩy hai chữ số), biết Lời giải Ta có:   3x  4 C40 24  C41 23   x   C42 2   x   C43.2   x   C44   x  C40 24  C41 23   x  16  96 x   3x  Khi đó: 12,8  16  96 x 12,8  x 0, 03 Vậy: x 0, 03 Câu 11: Dùng hai số hạng khai triển lũy thừa gần T theo a Lời giải Ta có:  T    1 a C53    5   1 a C50     C51  a     C52  a     C54    a     C55  T  1 a   1 a   2   để ước lượng giá trị C50     C51  a     32  80  a Vậy: T  32  80  a Câu 12: Một người có 100 triệu đồng gửi tiết kiệm ngân hàng với lãi suất 6,8% / năm Với giả thiết sau năm người khơng rút tiền số tiền lãi nhập vào số tiền ban đầu Dùng hai số hạng khai triển nhị thức Niu – tơn, tính số tiền người thu (cả gốc lẫn lãi) sau năm Lời giải Gọi P số tiền ban đầu người gửi vào, r lãi suất, Pn số tiền nhận sau n năm P P   r  n Khi đó: n Theo giả thiết: 4   6,8   6,8  8  6,8   6,8   6,8   6,8  P4 108    10   10 C  C  C  C  C  4              100   100   100   100   100   100    6,8   108  C40  C41 127 200 000 100   (đồng) Vậy: sau năm người nhận 127 200 000 đồng Câu 13: Số dân thời điểm tỉnh triệu người Tỉ lệ tăng dân số hàng năm tỉnh n a  b 5% Sử dụng hai số hạng khai triển lũy thừa  , hỏi sau năm số dân tỉnh 1, triệu người? Lời giải Gọi A số dân ban đầu, r tỉ lệ tăng dân số hàng năm, An số dân tỉnh sau n năm Khi đó: An  A   r  n STRONG TEAM TOÁN VD – VDC – Nơi hội tụ đam mê toán THPTi hội tụ đam mê toán THPTi tụ đam mê toán THPT đam mê toán THPTa đam mê toán THPTng đam mê toán THPT Trang 17 SP ĐỢT TỔ 24–STRONG TEAMT TỔ 24–STRONG TEAM 24–STRONG TEAM CHƯƠNG VIII–ĐẠI SỐ TỔ HỢP–TOÁN 10–CTSTNG VIII–ĐẠI SỐ TỔ HỢP–TOÁN 10–CTSTI SỐ TỔ HỢP–TOÁN 10–CTST TỔ 24–STRONG TEAM HỢT TỔ 24–STRONG TEAMP–TOÁN 10–CTST Theo giả thiết: n n n         n   n  1,     1,  Cn  Cn    Cn     Cn    Cn     100   100   100   100   100     1, Cn0  Cn1  1, 1  0, 05n  n 4 100 (năm) Vậy: Sau khoảng năm số dân tỉnh 1, triệu người Câu 14: Ơng A có 800 triệu đồng ơng B có 950 triệu đồng gửi hai ngân hàng khác với lãi suất 7% / năm 5% / năm Dùng hai số hạng khai triển nhị thức Niu – tơn, ước lượng sau năm số tiền hai ông thu người nhận tiền? Lời giải Gọi P số tiền ban đầu gửi vào ngân hàng, r lãi suất, Pn số tiền nhận sau n năm Pn P   r  Khi đó: Theo giả thiết: n n n     800    950     100   100  19   7n 19 19n 17 n  Cn0  Cn1   Cn0  Cn1      n 17,   1 100 16  100  100 16 320 1600 16   P17 800 000 000  C170  C171  1 192 000 000 100   (đồng) Vậy: Sau 17 năm người nhận 192 000 000 đồng STRONG TEAM TOÁN VD – VDC – Nơi hội tụ đam mê toán THPTi hội tụ đam mê toán THPTi tụ đam mê toán THPT đam mê toán THPTa đam mê toán THPTng đam mê toán THPT Trang 18