Đề số 203đã chuẩn đề ôn tập toán

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH NGHỆ AN LỚP 11 CẤP THPT NĂM HỌC 2018 – 2019 Câu 1: (4,0 điểm) Giải phương trình cos x  cos x   sin x  sin x  8 (1) Lời giải  (1)  cos x     sin x  cos x  sin x 8      cos  x    sin  x    0 3 6         2sin  x    sin  x    0 6 6        2sin  x    sin  x    0 6 6       sin  x       x k 2       k   sin x   ( ptvn )  x  2  k 2    6    Câu 2: Vậy phương trình có nghiệm x k 2 , (3,0 điểm) Giải hệ phương trình x 2  k 2 , k    x  x2  x   y 1  y  (1)   2  x   3x  y   x  y  0 (2) Lời giải  x, y    Điều kiện x  y  0  1  ( x 1  y )   x  1 1  y  0   ( x 1  y)  0  ( x   y )     x  1   y   ( x   y )( x   y )   0 2  x  1   y   x 1  y x   y 0 x 1  y    1     y  x  0   2   x  1   y   ( x  1)  y 0 (*)  x  1   y   x  1 Ta có nghiệm   y   ( x  1)  y  x   ( x  1)  y  y 0 Thay y  x  vào phương trình (2) ta phương trình nên phương trình (*) vơ x   x  x   x  x  0  x   3x   x  x  1  x  x  0 (3) Đặt a  x  x  0 , phương trình (3) trở thành  x a x  x a  4a 0  ( x  a)( x  2a) 0    x  2a x a  x 0   1  1 x  x  x    x  y 2  x  x  0 x 0   2  54 x  2a  2 x  x   x    x  y 7 7 x  x  0 Câu 3:    2  1 x  x       y    y     Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y ) với  (2,0đ) Gọi S tập hợp tất số tự nhiên gồm chữ số đôi khác chọn từ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Xác định số phần tử S Lấy ngẫu nhiên số từ S , tính xác suất để số chọn số chia hết cho 11 tổng chữ số chia hết cho 11 Lời giải Số phần tử S A9 3024 (số) Số phần tử không gian mẫu n    3024 Gọi A biến cố “số chọn số chia hết cho 11 tổng chữ số chia hết cho 11 ” abcd  a 0, a b c d  Gọi số tự nhiên gồm chữ số đôi khác Theo giả thiết ta có Suy  a  c    b  d  11  a  c    b  d  11  a  c  11  b  d  11 Trong chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, có số gồm hai chữ số mà tổng chia hết cho 11  2, 9 ; 3, 8 ;  4, 7 ; 5, 6 Chọn cặp số  a, c Khi chọn cặp số Như có khả năng, khả có cách  b, d  cịn khả năng, khả có cách n  A  4.2.3.2 48 p  A  Xác suất cần tìm (số) n  A 48   n    3024 63 Câu 4: (2,0đ)Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có AB 2 BC Gọi M trung điểm đoạn AB G trọng tâm tam giác ACD Viết phương trình đường 5  G ; 0 M  1;  thẳng AD, biết   Lời giải M H A B G D C K Gọi H hình chiếu vng góc G lên AB K trung điểm đoạn CD Đặt BC 3a  0, suy AB 6a, GH 2a, HM a 40 2 5a  a   a  9 MG 4a  a  2 AG  AK  3a  3 Suy AM 3a 2 2,   Gọi A( x, y ) Khi   x     y  8  AM 2  x  y  x  y 3       5  64  x 3 y    AG     x  y       x 3 y    y 0      y    x  1, y 0   x 19 , y 8 5  +) Nếu A( 1, 0) Đường thẳng AD qua A vng góc với đường thẳng AM nên phương trình đường thẳng AD x  y  0 19 , ) 5 Đường thẳng AD qua A vng góc với đường thẳng AM nên phương +) Nếu trình đường thẳng AD x  y  25 0 A( Câu 5:  AB / /CD  nội tiếp đường (5,0đ) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang cân   tròn tâm O SBA SCA 90 Gọi M trung điểm cạnh SA a) Chứng minh MO   ABCD  b) Gọi  góc hai đường thẳng AB SC Chứng minh cos   BC SA Lời giải S M I A B O D C  ABCD  a.Gọi H hình chiếu vng góc điểm M mặt phẳng Xét tam giác MHA, MHB, MHC có    MHA MHB MHC 900 MA MB MC  SA MH chung Suy MHA MHB MHC nên HA HB HC MO   ABCD  Do H O, b Vì AB / / CD nên góc hai đường thẳng AB SC góc hai đường thẳng CD   SC , suy cos   cos SCD   sin SCD (*)  SCD  Gọi điểm I hình chiếu vng góc điểm M lên mặt phẳng MD MC  SA Ta có nên SDA vng D Mặt khác lại có MS MD MC suy I tâm đường tròn ngoại tiếp SCD Khi  sin SCD  SD SD SD   ID 2MD SA (vì MID vng I nên ID  MD ) Từ (*) suy SD SA2  SD AD AD BC  cos    sin SCD       SA2 SA2 SA2 SA SA cos   Câu 6: BC SA (đpcm) (2,0 điểm) Cho dãy số  un  , biết u1 12, 2un 1 un  n  n   n  5n  n2  n với n 1 Tìm lim un 2n  Lời giải Ta có: 2un 1 un  n  n  2un 1 un n     2 n  5n  n n  n    n  3 n  n  1 n 2un1      n  1  n    n  3 2un 1    n  1  n    n  3 un 1  n  1  n    n  3  Đặt un n  n  1 n  n  1  n  2 un n  n  1  n n  n  1  n     n    n  1  n    n  n  1 un 1       n  1  n    n  n  1  n   n  n  1    n  2 un , n  n  1 (*) 1  nên   cấp số nhân có cơng từ (*) ta có 1 q  , v1  v1q n   n 2 suy bội n  n  1  n   1   n  un    n  3n   n n  n  1  n   n  n  1 un Khi n  n  1  n     n  3n    n  n  1  n   n  3n   n un  lim lim lim   n 2n  2n  2n     2n  1  Ta có 2n Cn0  Cn1  Cn2  Cn3   Cnn  Cn3  lim Suy Vậy Câu 7: lim n  n  1  n  2  2n  1 n 0 n  n  1  n   n  3n  lim  2n  un  2n  3 (2,0 điểm) Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn a  b  c 3abc  32 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  a  b  c   a  b  b  c  c  a  Lời giải Ta có a  b3  c  3abc 32   a  b  c   a  b  c  ab  bc  ca  32  * Đặt t a  b  c, từ (*) suy t a  b  c   *   a  b  c    a  b  c    a  b  c    a2  b2  c   64   a  b  c a b c  64  64   t2 t 2 a  b  b  c  c  a    a  b   b  c   a  c    Ta chứng minh Thật vậy,vì vai trị a, b, c bình đẳng nên giả sử a b c a  b  b  c  c  a  a  b    b  c    a  c  2  a  c  Ta có  **   a  c   2 2   a  b   b  c   a  c      a  c   a  b    b  c  2   a  b  b  c   a  b    b  c    a  b   b  c  0 ln Vì a  b  b  c  c  a 2 a  b  c  ab  bc  ca 2 32  a b c t 3P 3  a  b  c   a  b  b  c  c  a  64  64   64 8 3P   t  8   t t  8 2.2 t t 128 t t  t  t t t  128 P Suy 128 Vậy giá trị nhỏ biểu thức P Đạt a 44 4 2 , b c  3 hoán vị a, b, c  **