Đề số 206đã chuẩn đề ôn tập toán

ĐỀ 206 Câu 1: Cho  un  n1 dãy số thực không âm thỏa mãn: Với n ta có bất đẳng thức: un 2  2un 1  un 0 u0  u1  u2   un 2018 n Chứng minh dãy  un  n0 hội tụ tìm điểm hội tụ Lời giải u  u  Từ gt ta suy : un 2  un 1 un 1  un nên n1 n dãy không giảm Hơn , ta có un 2018 n với n Từ với số ngun khơng âm m n ta có: um  un  um  um     um   um      un 1  un   m  n   un 1  un  Suy ra:  un1  un   um  un 2018 m  2018 m   m n m n m n Cố định n cho m tiến tới vô ta thu un 1  un 0 Như dãy (un) không tăng bị chặn hội tụ số a Dễ dàng chứng minh a = Lưu ý: Ta chứng minh dãy số dãy Câu 2: Cho p số nguyên tố lẻ, k số nguyên dương p Đặt S(p, k) = i i 1 k Chứng minh a) S(p,k)  -1 (mod p)  k chia hết cho p – b) S(p,k)  (mod p)  k không chia hết cho p – Lời giải a) Nếu k  p - k i k ( p p  ) p  1(mod p ), i 1, p  Do p S ( p, k )   p   1(mod p ) i 1 b) Nếu k ≠ p – k = (p - 1)q + r, ≤ r ≤ p – 2, q    i k i r (mod p )  S ( p, k ) S ( p, r )(mod p ) Ta có phương trình xr  (mod p) có khơng q r nghiệm r Mà r  {1, 2, …, p - 2} nên tồn a  {1, 2, …, p - 1} cho a 1(mod p) p Vì (a, p) = nên {ia}i 1 hệ thặng dư thu gọn (mod p) Do p p p i 1 i 1 i 1 S ( p, r )  i r  (ia) r a r  i r (mod p ) r  (a  1) S ( p, r ) 0(mod p ) r Do (a – 1, p) =  S(p, r)  (mod p) Câu 3: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn  Gọi B0 , C0 trung điểm AC, AB Kíhiệu D chân đường cao hạ từ A G trọng tâm tam giác ABC Gọi  đường tròn qua B0 , C0 , đồng thời tiếp xúc với  X khác A a Gọi W giao điểm tiếp tuyến X  với B0C0 Chứng minh WA tiếp tuyến A  b Chứng minh D,G, X thẳng hàng Lời giải  A , B , C 0 Phép vị tự tâm A, tỉ số biến  thành 1 , suy a Gọi đường tròn qua  tiếp xúc với 1 A Ta có WX trục đẳng phương đường tròn   (do tiếp tuyến chung), B0C0 trục đẳng phương 1  Do W tâm đẳng phương  , 1 ,  Suy WA trục đẳng phương  , 1 , lại hai đường tròn tiếp xúc nên WA tiếp tuyến  b Kí hiệu T giao điểm thứ hai  đường thẳng DX Lưu ý O thuộc 1 Do W thuộc trung trực AD nên suy D, A, X thuộc đường trịn tâm W , gọi đường trịn  Sử dụng đường tròn  đường tròn  , ta suy   X  AO  X 1800  AW  X  AO  X 900 DAT  ADX  ATD  3600  AW 2     Do AD  AT , nên AT// BC Như vậy, ATCB hình thang cân nội tiếp   A Gọi trung điểm BC Phép vị tự h tâm G , tỉ số biến A, B, C thành A0 , B0 , C0     Từ tính đối xứng B0 , C0 ta chứng minh TCB CBA B0C0 A DC0 B0 Do AT / / DA0 ta suy h  T  D Do D,G,T thẳng hàng X nằm đường thẳng f  x  :  0;     0;   Tìm tất hàm thỏa mãn: Câu 4: f  x   f  y   f  x  y  xf  y   x 0, y 0 Lời giải 1) Chứng minh f  x hàm không giảm ) f   0 g  x   x  xf  y  +) Xét hàm hàm đồng biến  0;  , g   0, g      g  x    0;    z  y 0 tồn tai x0 0 để suy z  x02  x0 f  y  Từ gt: f :       f  z   f  x02  x0 f  y   y   f  y  Do f hàm khơng tăng f  x0  0 f  x  0 x 0 2) TH1: Nếu tồn x0 để dễ dàng chứng minh TH2: Với x > có f(x) > suy f tăng ngặt R+ f  x   f  y   f  x  y  xf  y   Thay y y ta có: Thay x y, y x :   f  x   f  y   f x  y  yf  x  Vì f tăng ngặt nên x  y  xf  y 2  x  y  yf  x 2   xf  y   yf  x   2 f  y2  y  f  x2  x k  const  f ( x ) ky  f  x  kx Thử lại k = Câu 5: f  x  0; f  x   x Vậy nghiệm toán Tìm số nguyên dương k nhỏ cho tồn 2018 số nguyên dương phân biệt thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: i) ii)Tất 2017 số : số phương Lời giải Trước hết ta c/m a,b Thật a   Ta có Giả sử ta cm quy nạp đó: =2 Vậy ta chọn tốn thỏa mãn