WWW.VNMATH.COM Đề số 4 ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học Môn TOÁN Lớp 11 Thời gian làm bài 90 phút Bài 1. Tính các giới hạn sau: 1) x x x 3 2 lim ( 5 2 3)− + − →−∞ 2) x x x 1 3 2 lim 1 + →− + + 3) x x x 2 2 lim 7 3 → − + − 4) x x x 3 0 ( 3) 27 lim → + − 5) n n n n 3 4 1 lim 2.4 2 − + ÷ ÷ + Bài 2. Cho hàm số: x khi x f x x ax khi x 1 1 ( ) 1 3 1 − > = − ≤ . Xác định a để hàm số liên tục tại điểm x = 1. Bài 3. Chứng minh rằng phương trình sau có it nhất một nghiệm âm: x x 3 1000 0,1 0+ + = Bài 4. Tìm đạo hàm các hàm số sau: 1) x x y x 2 2 6 5 2 4 − + = + 2) x x y x 2 2 3 2 1 − + = + 3) x x y x x sin cos sin cos + = − 4) y xsin(cos )= Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = 2a. 1) Chứng minh SAC SBD( ) ( )⊥ ; SCD SAD( ) ( )⊥ 2) Tính góc giữa SD và (ABCD); SB và (SAD) ; SB và (SAC). 3) Tính d(A, (SCD)); d(B,(SAC)) Bài 6. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x x 3 2 3 2= − + : 1) Tại điểm M ( –1; –2) 2) Vuông góc với đường thẳng d: y x 1 2 9 = − + . Bài 7. Cho hàm số: x x y 2 2 2 2 + + = . Chứng minh rằng: y y y 2 2 . 1 ′′ ′ − = . ––––––––––––––––––––Hết––––––––––––––––––– Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . . 1 WWW.VNMATH.COM Đề số 4 ĐÁP ÁN ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học Môn TOÁN Lớp 11 Thời gian làm bài 90 phút Bài 1: 1) x x x x x x x 3 3 2 3 2 3 lim ( 5 2 3) lim 1 →−∞ →−∞ − + − = − + − = +∞ ÷ 2) x x x 1 3 2 lim 1 + →− + + . Ta có: x x x x x x 1 1 lim ( 1) 0 lim (3 1) 2 0 1 1 0 + + →− →− + = + = − < > − ⇒ + > ⇒ x x x 1 3 2 lim 1 + →− + = −∞ + 3) ( ) ( ) x x x x x x x x x 2 2 2 2 (2 ) 7 3 lim lim lim 7 3 6 2 7 3 → → → − − + + = = − + + = − − + − 4) x x x x x x x x x x x 3 3 2 2 0 0 0 ( 3) 27 9 27 4) lim lim lim( 9 27) 27 → → → + − + + = = + + = 5) n n n n n n n 3 1 1 4 4 3 4 1 1 lim lim 2 2.4 2 1 2 2 − + ÷ ÷ − + = = − + + ÷ Bài 2: x khi x f x x ax khi x 1 1 ( ) 1 3 1 − > = − ≤ Ta có: • f a(1) 3= • x x f x ax a 1 1 lim ( ) lim 3 3 − − → → = = • x x x x f x x x 1 1 1 1 1 1 lim ( ) lim lim 1 2 1 + + + → → → − = = = − + Hàm số liên tục tại x = 1 ⇔ x x f f x f x 1 1 (1) lim ( ) lim ( ) − + → → = = ⇔ a a 1 1 3 2 6 = ⇔ = Bài 3: Xét hàm số f x x x 3 ( ) 1000 0,1= + + ⇒ f liên tục trên R. f f f f (0) 0,1 0 ( 1). (0) 0 ( 1) 1001 0,1 0 = > ⇒ − < − = − + < ⇒ PT f x( ) 0= có ít nhất một nghiệm c ( 1;0)∈ − Bài 4: 1) x x x x x x y y x x x 2 2 2 2 2 2 6 5 4 16 34 2 8 17 ' 2 4 (2 4) 2( 2) − + + − + − = ⇒ = = + + + 2) x x x y y x x x x 2 2 2 2 3 3 7 ' 2 1 (2 1) 2 3 − + − = ⇒ = + + − + 3) x x y y x y x x x x 2 2 sin cos 1 tan ' 1 tan sin cos 4 4 cos 4 π π π + = ⇒ = − + ⇒ = − = − + + ÷ ÷ ÷ − + ÷ 2 4) y x y x xsin(cos ) ' sin .cos(cos )= ⇒ = − Bài 5: 1) • BD ⊥ AC, BD ⊥ SA ⇒ BD ⊥ (SAC) ⇒ (SBD) ⊥ (SAC) • CD ⊥ AD, CD ⊥ SA ⇒ CD ⊥ (SAD) ⇒ (DCS) ⊥ (SAD) 2) • Tìm góc giữa SD và mặt phẳng (ABCD) SA ⊥ (ABCD) ⇒ · ( ) · SD ABCD SDA,( ) = · SA a SDA AD a 2 tan 2= = = • Tìm góc giữa SB và mặt phẳng (SAD) AB ⊥ (ABCD) ⇒ · ( ) · SB SAD BSA,( ) = · AB a BSA SA a 1 tan 2 2 = = = • Tìm góc giữa SB và mặt phẳng (SAC). BO ⊥(SAC) ⇒ · ( ) · SB SAC BSO,( ) = . a OB 2 2 = , a SO 3 2 2 = ⇒ · OB BSO OS 1 tan 3 = = 3) • Tính khoảng cách từ A đến (SCD) Trong ∆SAD, vẽ đường cao AH. Ta có: AH ⊥ SD, AH ⊥ CD ⇒ AH ⊥ (SCD) ⇒ d(A,(SCD)) = AH. a AH AH SA AD a a 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 5 5 4 = + = + ⇒ = ⇒ a d A SCD 2 5 ( ,( )) 5 = • Tính khoảng cách từ B đến (SAC) BO ⊥ (SAC) ⇒ d(B,(SAC)) = BO = a 2 2 Bài 6: C y x x 3 2 ( ): 3 2= − + ⇒ y x x 2 3 6 ′ = − 1) Tại điểm M(–1; –2) ta có: y ( 1) 9 ′ − = ⇒ PTTT: y x9 7= + 2) Tiếp tuyến vuông góc với d: y x 1 2 9 = − + ⇒ Tiếp tuyến có hệ số góc k 9= . Gọi x y 0 0 ( ; ) là toạ độ của tiếp điểm. Ta có: y x 0 ( ) 9 ′ = ⇔ x x x x x x 2 2 0 0 0 0 0 0 1 3 6 9 2 3 0 3 = − − = ⇔ − − = ⇔ = • Với x y 0 0 1 2= − ⇒ = − ⇒ PTTT: y x9 7= + • Với x y 0 0 3 2= ⇒ = ⇒ PTTT: y x9 25= − Bài 7: x x y y x y 2 2 2 1 1 2 + + ′ ′′ = ⇒ = + ⇒ = ⇒ ( ) x y y x x x x y 2 2 2 2 2 . 1 2 1 .1 1 2 1 ( 1) 2 ′′ ′ − = + + − = + + = + = ÷ ============================= 3 S A B CD O H . + = = − + + = − − + − 4) x x x x x x x x x x x 3 3 2 2 0 0 0 ( 3) 27 9 27 4) lim lim lim( 9 27) 27 → → → + − + + = = + + = 5) n n n n n n n 3 1 1 4 4 3 4 1 1 lim lim 2 2 .4 2 1 2 2 − + . < ⇒ PT f x( ) 0= có ít nhất một nghiệm c ( 1;0)∈ − Bài 4: 1) x x x x x x y y x x x 2 2 2 2 2 2 6 5 4 16 34 2 8 17 ' 2 4 (2 4) 2( 2) − + + − + − = ⇒ = = + + + 2) x x x y y x x x x 2 2. x x x x 2 2 sin cos 1 tan ' 1 tan sin cos 4 4 cos 4 π π π + = ⇒ = − + ⇒ = − = − + + ÷ ÷ ÷ − + ÷ 2 4) y x y x xsin(cos ) ' sin .cos(cos )= ⇒