De so 209 da chuan đề ôn tập toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TÂY NINH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT VÒNG TỈNH NĂM HỌC 2014 – 2015 (BUỔI 2)  x (3y  55) 64  Bài (5 điểm) Giải hệ phương trình  xy(y  3y  3) 12  51x Lời giải Với x 0 , hệ phương trình khơng thoả mãn 64  3y  55  x   y3  3y  3y 12  51 x Do hệ tương đương với:  t x , có hệ: Đặt 3y  55 t   y  3y  3y 3t  51 Cộng theo vế hai phương trình hệ có: y3  3y  6y  55 t  3t  51  (y  1)3  3(y  1)  51 t  3t  51 (*) Hàm số f (z) z  z  51 đồng biến  nên từ (*) suy y  t (*)  (y   t)  (y  1)  (y  1)t  t  3 0 (Hoặc biến đổi để suy y  t ) Với y t  t  3t  52 0  t 4  x 1 Suy y 3 Vậy hệ cho có nghiệm (1; 3) Bài (5 điểm) Cho dãy số  xn  thỏa mãn:   x1    n  1 x n x   4n   x x , n 1, n   n n 1 n n 1  Tìm lim x n Lời giải Dùng phương pháp quy nạp chứng minh được: x n  0, n 1, n    n  1 x n 1 Biến đổi đến: Đặt yn  n2   4n  xn  2 n  1  y n 1   n  y n    4n  y   xn   n  1 y n 1 n y n  y n 1  n2  n  1 yn 2 n  1  n    12  y n 1  y1  2 2 n  n  1  n  1  n  1 n2 hay yn  n2 3  2n n2 y n      xn  n n2  2n Do x n Vậy lim x n  Bài (5 điểm) Chứng minh với n nguyên dương n 3 phương trình 4x n  (x  1) y khơng có nghiệm ngun dương (x; y) Lời giải Giả sử với n nguyên dương n 3 , phương trình cho có nghiệm ngun dương (x; y) Khi đó: 4x n y  (x  1) (y  x  1)(y  x  1) n Vì y  x  y  x  chẵn lẻ; 4x chẵn nên y  x  y  x  chẵn n Đặt y  x  2a y  x  2(a  x  1) , suy x a(a  x  1) Do (a,a  x  1) 1 nên tồn số nguyên u, v cho a u n , a  x  v n , x uv n n n n n Do n 3 nên uv  x  v  u (v  u)(v  v u   u ) 1  uv  v Vơ lí Vậy phương trình cho khơng có nghiệm ngun dương Bài (5 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc A, B, C nhọn AB  AC Gọi D, E, F chân đường cao tam giác ABC vẽ từ A, B, C xuống cạnh đối diện Đường thẳng EF cắt BC P, đường thẳng qua D song song với EF cắt đường thẳng AC AB tương ứng Q R Gọi M trung điểm cạnh BC Chứng minh bốn điểm P, Q, R, M thuộc đường tròn Lời giải A F R B E M D C P Q Gọi M trung điểm BC   Do BEC BFC 90 nên bốn điểm B, C, E, F thuộc đường tròn Suy PB.PC PE.PF Bốn điểm D, E, F, M thuộc đường tròn Euler tam giác ABC nên PE.PF PD.PM Vậy PB.PC PD.PM (1)    Do hai tam giác AEF ABC đồng dạng; QR / /EF nên RBC AEF CQR Suy tứ giác CQBR nội tiếp Do DQ.DR DB.DC (2) Đặt MB MC a ; MD d ; MP p Khi đó: PB p  a ; DB a  d ; PC p  a ; CD a  d ; DP p  d Thay vào (1) được: (p  a)(p  a) (p  d)p Suy a dp  (a  d)(a  d) (p  d)d  DB.DC DP.DM (3) Từ (2) (3) suy ra: DQ.DR DP.DM Vậy P, Q, R, M thuộc đường tròn …… Hết ……