SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TÂY NINH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT VÒNG TỈNH NĂM HỌC 2014 – 2015 (BUỔI 2) x (3y 55) 64 Bài (5 điểm) Giải hệ phương trình xy(y 3y 3) 12 51x Lời giải Với x 0 , hệ phương trình khơng thoả mãn 64 3y 55 x y3 3y 3y 12 51 x Do hệ tương đương với: t x , có hệ: Đặt 3y 55 t y 3y 3y 3t 51 Cộng theo vế hai phương trình hệ có: y3 3y 6y 55 t 3t 51 (y 1)3 3(y 1) 51 t 3t 51 (*) Hàm số f (z) z z 51 đồng biến nên từ (*) suy y t (*) (y t) (y 1) (y 1)t t 3 0 (Hoặc biến đổi để suy y t ) Với y t t 3t 52 0 t 4 x 1 Suy y 3 Vậy hệ cho có nghiệm (1; 3) Bài (5 điểm) Cho dãy số xn thỏa mãn: x1 n 1 x n x 4n x x , n 1, n n n 1 n n 1 Tìm lim x n Lời giải Dùng phương pháp quy nạp chứng minh được: x n 0, n 1, n n 1 x n 1 Biến đổi đến: Đặt yn n2 4n xn 2 n 1 y n 1 n y n 4n y xn n 1 y n 1 n y n y n 1 n2 n 1 yn 2 n 1 n 12 y n 1 y1 2 2 n n 1 n 1 n 1 n2 hay yn n2 3 2n n2 y n xn n n2 2n Do x n Vậy lim x n Bài (5 điểm) Chứng minh với n nguyên dương n 3 phương trình 4x n (x 1) y khơng có nghiệm ngun dương (x; y) Lời giải Giả sử với n nguyên dương n 3 , phương trình cho có nghiệm ngun dương (x; y) Khi đó: 4x n y (x 1) (y x 1)(y x 1) n Vì y x y x chẵn lẻ; 4x chẵn nên y x y x chẵn n Đặt y x 2a y x 2(a x 1) , suy x a(a x 1) Do (a,a x 1) 1 nên tồn số nguyên u, v cho a u n , a x v n , x uv n n n n n Do n 3 nên uv x v u (v u)(v v u u ) 1 uv v Vơ lí Vậy phương trình cho khơng có nghiệm ngun dương Bài (5 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc A, B, C nhọn AB AC Gọi D, E, F chân đường cao tam giác ABC vẽ từ A, B, C xuống cạnh đối diện Đường thẳng EF cắt BC P, đường thẳng qua D song song với EF cắt đường thẳng AC AB tương ứng Q R Gọi M trung điểm cạnh BC Chứng minh bốn điểm P, Q, R, M thuộc đường tròn Lời giải A F R B E M D C P Q Gọi M trung điểm BC Do BEC BFC 90 nên bốn điểm B, C, E, F thuộc đường tròn Suy PB.PC PE.PF Bốn điểm D, E, F, M thuộc đường tròn Euler tam giác ABC nên PE.PF PD.PM Vậy PB.PC PD.PM (1) Do hai tam giác AEF ABC đồng dạng; QR / /EF nên RBC AEF CQR Suy tứ giác CQBR nội tiếp Do DQ.DR DB.DC (2) Đặt MB MC a ; MD d ; MP p Khi đó: PB p a ; DB a d ; PC p a ; CD a d ; DP p d Thay vào (1) được: (p a)(p a) (p d)p Suy a dp (a d)(a d) (p d)d DB.DC DP.DM (3) Từ (2) (3) suy ra: DQ.DR DP.DM Vậy P, Q, R, M thuộc đường tròn …… Hết ……