SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 1999-2000 Câu 1: - ( 2.5 điểm) Cho phương trình: x 34 x a ( x 1)( x 33) 1 a/ Giải phương trình a 64 b/ Tìm a để phương trình có nghiệm Lời giải a/ Giải phương trình a 64 Đặt u x 34 x a v ( x 1)( x 33) u (u 1) a 33 (I) v u Ta có hệ Hàm số f u u u 1 có f u 5u u 1 u 1; , nên f u tăng 1; a 64, f u 31 f f u tăng nên hệ I có nghiệm u 2; v 1 , từ ta có nghiệm phương trình x 17 257 b/ Tìm a để phương trình x 34 x a ( x 1)( x 33) 1 có nghiệm Do f u 1; f 1 1 + tăng mà nên phương trình có nghiệm a 33 1 hay a 34 Câu 2: b1 a1 a b Cho hai số a1 , b1 với Lập hai dãy số n , n với n 1, 2, theo quy tắc sau: an 1 Tính: an bn , bn1 an1.bn lim an n lim bn n Lời giải 0a b a a , b 1 cho: b1 cos a , Tính 2 với ta chọn Suy a1 cos a a2 1 a cos a cos a cos a cos a 1 cos a.cos 2 a a b2 cos a.cos cos a cos a.cos 2 +)Bằng quy nạp, chứng minh được: a a a an cos a.cos cos n cos n 2 a a bn cos a.cos cos n 2 1 , 2 +)Nhân hai vế (1) (2) cho sin a 2n áp dụng công thức sin 2a được: a 2n , b sin 2a an n a a 2n.sin n 2n.sin n 2 sin 2a.cos +)Tính giới hạn: lim an n Câu 3: sin 2a sin 2a , lim bn n 2a 2a :(2.5 điểm)Trong không gian cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng ba điểm A, B, C ( khác điểm 0) Ox, Oy, Oz Dãy số (an) cấp số cộng có a1 > cơng sai d > Với số n nguyên dương, tia Ox, Oy, Oz theo thứ tự lấy điểm An, Bn, Cn cho OA = an.OAn; OB = an+1.OBn; OB = an+2.OCn Chứng minh mặt phẳng (An, Bn, Cn ) luôn qua đường thẳng cố định Lời giải Phát biểu chứng minh mệnh đề: Nếu hai điểm X,Y phân biệt Điều kiện cần đủ để điểm S thuộc đường thẳng XY tồn cặp số thực x, y thỏa: OS xOX yOY x y 1 , với điểm O tùy ý a n 1 a n 1 d +) Từ giả thiết: (an) cấp số cộng công sai d > nên: an+1 = an + d d +) áp dụng nhận xét trên, ta có: a a OI n 1 OBn n OA n d d I AnBn OA a n OA n ; OB a n 1 OB n ( a n , a n 1 0) OB OA 1 OI AB , n=1,2 d d d Thế vào ta được: suy I cố định, nên đường thẳng AnBn qua điểm cố định I +) Tương tự, chứng minh được: 1 OJ BC d BnBn qua điểm cố định J xác định bởi: OK AC 2d AnCn qua điểm cố định K xác định bởi: Vậy đường thẳng AnBn, BnCn, AnCn qua ba điểm I, J, K cố định +) Chứng minh ba điểm thẳng hàng: 1 1 1 OI AB OJ BC OK AC d d 2d Ta có: , , 1 1 OK AC (AB BC) (d.OI d.OJ) (OI OJ) 2d 2d 2d Do đó: Câu 4: Vậy I, J, K thẳng hàng Điều chứng tỏ mặt phẳng AnBnCn qua đường thẳng cố định :(2.5 điểm) Tập hợp M gồm hữu hạn điểm mặt phẳng cho với điểm X thuộc M tồn điểm thuộc M có khoảng cách đến X Hỏi tập hợp M chứa phần tử? Lời giải Rõ ràng có hai điểm P,Q thuộc M cho PQ Ký hiệu: MP = {X M / PX = 1} Từ giả thiết |MP| = ta có: |Mp Mq| Nếu tồn P, Q cho |Mp Mq| M chứa điểm +) Trường hợp với P,Q cho PQ |Mp Mq| = Khi Mp Mq = {R,S}, lúc MP = {R,S,T,U} Mq = {R,S,V,W} giả sử M = {P,Q,R,S,T,U,V,W} ta có TQ 1, UQ 1, VP 1, WP +)Nếu TR,TS,UR,US khác 1: suy Mt Mq = Mu Mq = {V,W} suy T hay U trùng với Q, vơ lý +) Nếu TR,TS,UR,US có số 1: Khơng giảm tính tổng qt, giả sử TV = lúc TS TV = hay TW = Giả sử TV = lúc TW suy TU = 1, Mt = {P,R,U,V} Mu = {P,T,V,W} lúc UTV, RPT,UTV tam giác cạnh 1, ta có hình Điều mâu thuẫn VR>2 +) Vậy M chứa điểm Dấu xảy với hình2 Vậy M chứa điểm T V A5 R A9 A6 U P A1 A2 A3 A7 A8 A4