SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 1999-2000 - Câu : Giải phương trình sau tập số thực x 3 3x 15 x x 2 x 27 x 14 11 Lời giải x Điều kiện: a, b 0 ) Suy Đặt a 3x , b 3x ( a b2 5 2b 1 a 2a 1 b 2ab 11 p s s s s 0 s p 5 2 sp s 2 p 11 p s 2 s s 5 s s 11 a 2 b 1 2 p s a 1 p 2 s a b, p ab s 3 s 2s 0 s 3 b 2 x 1 x 2 Thử lại thỏa mãn Vậy nghiệm phương trình x 1 x 2 Câu : Cho tam giác ABC ( BC AC ) Gọi M trung điểm AB, AP vng góc với BC P , BQ vng góc với AC Q Giả sử đường thẳng PQ cắt đường thẳng AB T Chứng minh TH CM , H trực tâm tam giác ABC Lời giải T B D P H M A C Q AP, BQ, CD đồng quy nên T , B, D, A hàng điểm điều hòa ( Gọi CD AB D Khi (TBDA) 1) Do ta có TM TD TATB Xét hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác CDM ngoại tiếp tứ giác nằm CM Nhưng TM TD TATB trịn nói ABPQ , tâm hai đường tròn HP.HA HQ.HB nên H ,T nằm trục đẳng phương hai đường Do ta có TH CM (ĐPCM) 3 f f ( x ) x x f : ( tập số thực) thỏa mãn với x Câu : Cho hàm số f (a ) f (b) f (c ) 0 Chứng minh tồn số thực phân biệt a, b, c cho Lời giải g ( x) x3 x f f ( x) g ( x) Suy f g ( x ) f f f ( x ) g f ( x) Đặt f f ( x) g ( x) Dễ thấy g ( x) đơn ánh nên từ suy f ( x) đơn ánh 1 g ( x) g ( x0 ) x0 x0 0; ; x 2 Gọi điểm cố định hàm Ta có f ( x0 ) f g ( x0 ) g f ( x0 ) , suy f ( x0 ) điểm cố định hàm g ( x) 1 D 0; ; f ( x) song ánh tập 2 nên 1 f f (0) 2 1 1 f 0 2 2 Từ ta có điều phải chứng minh Câu : Tìm giá trị lớn k để bất đẳng thức sau với giá trị a , b, c : a b c abc(a b c) k ( ab bc ca) Lời giải Vì bất đẳng thức với giá trị a, b, c nên phải với Ta chứng minh Xét k= a = b = c =1 Þ k £ gtln 2 a + b + c + abc ( a + b + c) ³ ( ab + bc + ca) 3 bất đẳng thức trở thành (1) k= Û 3( a + b + c ) ³ 2( a 2b + b 2c + c a ) + abc ( a + b + c ) Áp dụng bđt AM – GM ta có ( a + b ) +( b + c ) + ( b + c ) ³ Suy 2a 2b + 2b 2c + 2c a 3( a + b + c ) ³ 3( a 2b + b2c + c a ) Mặt khác (2) a 2b + b 2c + c a - abc ( a + b + c ) 1 2 = ( ab - bc ) + ( bc - ca ) + ( ca - ab) ³ 2 (3) Từ (2) (3) suy (1) chứng minh Vậy số k lớn k= n Câu : Tìm số nguyên dương n nhỏ để 2013 - chia hết cho 22014 Lời giải k Xét n = t với k, t số tự nhiên t số lẻ Đặt 2013n - = a n - ( ) k a n - = a t - = a n k Do t số lẻ nên a - 1M t ( k )( ) - = a2 - [ a2 2014 k k k a chia dư nên a +1 chia dư k- k + + a +1] Û a - 1M2 2014 2 Ta có a - = (a - 1)(a +1)(a +1) ( a i- t- +1) n Do a - 1M 2014 Û (k - 1) + ³ 2014 Từ suy giá trị nhỏ n cần tìm n = 2012 -HẾT -