HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DH & ĐB BẮC BỘ KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC MỞ RỘNG NĂM HỌC 2011- 2012 MƠN THI: TỐN LỚP 10 -Câu 1: Giải hệ phương trình sau: 3 x y y 9 2 x y x y Lời giải Hệ phương trình tương đương: x3 y y 9 2 3 x y 3 x y x y y 3( x y ) 9 3( x y ) x3 x x y y 12 y ( x 1)3 ( y 2)3 x y x y Thế vào phương trình (2) ta thu được: y y 0 33 y 33 y Với Với y y 9 33 x 3 9 33 3 33 33 33 33 x 3 4 Vậy phương trình có hai nghiệm: 3 x; y 33 ; 33 ; 33 33 ; 4 x; y Câu : Cho x, y , z số thực dương thỏa mãn xy yz zx 3 Chứng minh bất đẳng thức: x2 x 8 y2 y 8 z2 z 8 1 Lời giải Theo bất đẳng thức Cauchy cho số thực dương ta có: ( x 2) ( x x 4) x x x ( x 2)( x x 4) 2 x2 x2 x3 x x y2 y2 ; y y y 8 Tương tự, ta có z2 2z z 8 z z 6 Từ suy ra: x2 x3 y2 y3 z2 z3 x2 y2 2z2 x2 x y y z z (1) Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz : 2x2 y2 2z2 2( x y z ) x x y y z z x y z ( x y z ) 18 (2) Ta chứng minh: 2( x y z ) 1 x y z ( x y z ) 18 3 Thật vậy: Ta có: x y z ( x y z ) 18 x y z x y z xy yz zx 18 x y z x y z 12 2 2 2( x y z ) x y z Nên ( x y z ) 18 x y z x y z 6 Mặt khác, x, y, z số dương nên ta có: x y z xy yz zx x y z 3( xy yz zx ) Mà xy yz zx 3 nên bất đẳng thức (3) Từ (1), (2) (3), ta có đpcm Đẳng thức xảy x y z 1 Câu : Trên cạnh BC, CA, AB phía ngồi tam giác ABC ta dựng hình vng BCMN, ACPQ, ABEF Gọi G trọng tâm tam giác ABC Kí hiệu A giao điểm AG FQ; B giao điểm BG NE; C1 giao điểm CG MP Ta xác định điểm A 2, B2, C2 cho AGC2F, BGA2N, CGB2P hình bình hành Chứng minh đường thẳng qua A 2, B2, C2 tương ứng vuông góc với B1C1, C1A1, A1B1 đồng quy Lời giải Q A1 F B2 A P C2 E G B I C C1 B1 A2 M N Gọi I trung điểm BC Ta có: FQ.AI= FA+AQ AB+AC = FA.AB+FA.AC+AQ.AB+AQ.AC 2 = 0-AF.AC+AQ.AB+0 = -AF.AC.cosFAC+AQ.AB.cosQAB =0 2 Do AF = AC, AQ = AB, FAC=QAB=90 +A FQ AI hay FQ A1G 1 Ta có CGB2P hình bình hành nên GB song song CP nên GB song song AQ, suy AQB2G hình bình hành, có QB2 song song AG Suy QB2 song song FC2, nên FQB2C2 hình bình hành, hay FQ song song với B2C2 (2) Từ (1) (2) suy A1G B2C Tương tự có B1G A 2C , C1G A B Vậy đường thẳng qua A1, B1, C1 tương ứng vng góc với B2C2 ,C A ,A B2 đồng quy G nên theo hệ định lí Cácnơ ta có đường thẳng qua A , B , C tương ứng vng góc với B1C1 ,C1A1 ,A1B1 đồng quy 2 3 Câu : Giả sử m, n số tự nhiên thỏa mãn: 4m m 12n n Chứng minh m n lập phương số nguyên Lời giải Ta có: 4m3 m 12n n m n m n 8n m n 4m 4mn 4n 1 8n 1 Giả sử p ước nguyên tố chung m n 4m 4mn 4n 2 Do 4m 4mn 4n số lẻ nên p số lẻ 2 Từ (1) suy 8n p mà p số nguyên tố lẻ n p mp 2 Mặt khác p ước 4m 4mn 4n p 1 (vơ lí) m n 4m 4mn 4n m n, 4m 4mn 4n 1 1 khơng có ước ngun tố chung, suy Do 8n 2n , suy m – n lập phương số nguyên Câu : Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, xét tập hợp M điểm có toạ độ (x; y) với x, y R* x 12; y 12 Mỗi điểm M tô ba màu: màu đỏ, màu trắng màu xanh Chứng minh tồn hình chữ nhật có cạnh song song với trục toạ độ mà tất đỉnh thuộc M tơ màu Lời giải 144 48 Tập M có 144 điểm tơ màu nên tồn màu tô tơ khơng điểm Ta chọn điểm M 48 điểm tô màu Chia điểm M thành 12 hàng (các điểm có tung độ) 12 cột (các điểm có hồnh độ) Gọi (i = 1,…,12) số 12 điểm 48 điểm chọn có cột thứ i suy ra: a i 1 a i (a i 1) Khi đó, số cặp điểm chọn cột thứ i là: a i a i 1 số cặp điểm có hồnh độ trùng là: i1 12 12 12 a i a i 1 12 12 i 1 2 i1 i 1 i 1 12 Ta có: 12 a i 72 i 1 i 48 Vì cặp chọn cột tương ứng với cặp hàng điểm hàng có tung độ Số cặp hàng khác là: C12 66 Vì 72 > 66 nên ln tìm hai cặp điểm nằm cặp hàng Vậy ln tồn hình chữ nhật có cạnh song song với trục toạ độ có đỉnh tơ màu