SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH AN GIANG TRƯỜNG : THPT CHUYÊN THOẠI NGỌC HẦU KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30 - LẦN THỨ 21 ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MƠN: TỐN ; LỚP : 10 - Câu : Giải hệ phương trình: x y x y xy 14 2 x y x 14 xy y 36 Lời giải Đặt x u 0; y v 0 , ta uv 3u 10u 2v 3v 14 1 , 2 u 15u v 15u v v 36 3 3u v 10u v 3uv 14 2 u 15u v 15u v v 36 3 36 2.14 u 6u v 15u v 20u v 15u v 6uv v 3 36 2.14 u 6u v 15u v 20u v 15u v 6uv v u v 64 26 u v 8 u 1 v 1 2 2 u v 2 u v u 1 v 1 từ A, B, C (vì u, v 0 ) 2 2 3 2; Vậy hệ có nghiệm : Câu : u v 2 u v 2 3 2 2; O Cho tam giác ABC với trọng tâm G , nội tiếp đường tròn , trung tuyến xuất phát O kéo dài cắt 1 D, E , F Chứng minh GD GE GF , biết BC a, CA b, AB c ab bc ca abc Lời giải A E F N P G B C M D Gọi trung tuyến ABC AM ma , BN mb , CP mc Ta có PM / O MD.MA MB.MC hay MD.ma a2 a2 MD 4ma m a2 a2 a GD GM MD ma 2 a 4ma 4ma Mà Vậy GD a 1 1 1 3 a b c Xét tương tự với đoạn thẳng, ta : GD GE GF Mặt khác, ta có ab bc ca abc 1 1 a b c 1 GD GE GF Vậy Câu : Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: bc ca ab 4abc + + ³ 1+ (c + a )( a + b) (c + b)( a + b) (c + a)(c + b) ( a + b)(b + c)(c + a) Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, ta có: (a + b)(a + c) ³ Û a a + b c (a + b)( a + c ) ³ a + bc Do đó: bc(c + a)(a + b) bc = ³ (c + a )( a + b) (c + a)(a + b) Chứng minh tương tự ta được: abc a bc + (c + a)(a + b) (c + a )( a + b) (1) ca (c + b)(a + b) bc = ³ (c + a)(a + b) (c + b)(a + b) abc b ac + (c + b)(a + b) (c + b)(a + b) (2) ab(c + a )(c + b) bc = ³ (c + a)(a + b) (c + a)(c + b) abc c ab + (c + a )(c + b) (c + a )(c + b) (3) Suy bc ca ab + + ³ (c + a )(a + b) (c + b)(a + b) (c + a )(c + b) ỉ a b c ữ ữ abc ỗ + + + ỗ ữ ỗ ữ ỗ ( c + a )( a + b ) ( c + b )( a + b ) ( c + b )( a + c ) è ø ³ + bc ac ab + + (4) (c + a )( a + b) (c + b)(a + b) (c + b)(a + c) bc ac ab 2abc + + + = (c + a )(a + b) (c + b)(a + b) (c + b)(a + c ) (a + b)(b + c )(c + a ) bc(b + c) + ca( a + c) + ab( a + b) + 2abc = (a + b)(b + c)(c + a ) bc( a + b + c) + ca (a + b + c) + ab(a + b) = (a + b)(b + c)(c + a ) Ta lại có = c(a + b + c)(a + b) + ab(a + b) (a + b)(c (a + c ) + b(a + c )) = =1 (a + b)(b + c)(c + a ) (a + b)(b + c)(c + a) bc ca ab + + ³ (c + a)(a + b) (c + b)(a + b) (c + a )(c + b) (4) Û ³ ỉ a b c 2abc ÷ ÷ abc ç ç + + +1÷ ç ÷ ç (a + b)(b + c )(c + a ) è(c + a)(a + b) (c + b)(a + b) (c + b)(a + c ) ø Do ta cần chứng minh ỉ a b c 2abc ÷ ÷ abc ç ç + + +1÷ ç ÷ ç (a + b)(b + c)(c + a) è(c + a)(a + b) (c + b)(a + b) (c + b)(a + c) ø ³ 1+ 4abc (a + b)(b + c)(c + a) Điều tương đương với a (b + c) + b (a + c) + c (a + b) ³ abc (5) Theo bất đẳng thức AM – GM (5) ln Dấu “=” xảy dấu “=” (1),(2),(3) (5) xảy ra, điều tương đương với a=b=c Vậy ta có điều phải chứng minh Câu : 555 222 Chứng minh : 222 555 chia hết cho Lời giải 555 555 Vì 222 7.31 222 5(mod 7) 222 5 (mod 7) Mặt khác: 25 4(mod 7) 53 4.5(mod 7) 6(mod 7) 54 6.5(mod 7) 2(mod 7) 55 2.5(mod 7) 3(mod 7) 56 3.5(mod 7) 1(mod 7) 56 k 1(mod 7) 555 Mà: 555 6.92 5 (mod 7) 6(mod 7) 555 Tức là: 222 6(mod 7) Lập luận tương tự, ta có: 555 7.79 2(mod 7) 555222 2 222 (mod 7) 21 2(mod 7) 22 4(mod 7) 23 8(mod 7) 1(mod 7) 23k 1(mod 7) 222 222 Mà 222 3.74 1(mod 7) tức 555 1(mod 7) Vậy: 222555 555222 0(mod 7) tức là: 222555 555222 chia hết cho Câu : Cho 1007 điểm khác mặt phẳng Chứng minh tồn 2011 trung điểm khác từ cặp điểm ? Khi có 2011 trung điểm khác ? Lời giải Ta gọi A B hai điểm có khoảng cách cực đại số 1007 điểm cho Ta xét trung điểm sau đây: trung điểm M AB, trung điểm AX với điểm X thuộc tập hợp điểm cho (khác với A B), trung điểm BX Ta chứng minh trung điểm khác Thật vậy, giả sử X Y hai điểm khác khác với A B Rõ ràng trung điểm AX AY phải khác (nếu không thế, X Y trùng nhau) Tương tự vậy, trung điểm BX BY khác Trung điểm AX điểm M (vì khơng, X trùng B), , trung điểm BY điểm M Sau cùng, ta giả sử N trung điểm chung AX BY Khi đó, AYXB hình bình hành, AX, BY phải có độ dài lớn AB, điều vơ lí, ta giả sử đoạn AB lớn Như vậy, ta có 2011 trung điểm khác từ 1007 cặp điểm cho Ngồi ra, sếp 1007 điểm để có 2011 trung điểm khác Ví dụ, trục số, ta chọn 1007 điểm nằm tọa độ x = 1, 3, …, 2013 Lúc đó, có 2011 trung điểm nằm tọa độ 2,3,4,5,…,2012 f : N¿ → N¿ Câu : Tìm hàm số f 2 * f m.n f m f n , m, n N f m f n , m n thỏa Lời giải Ta thấy 2= f ( ) Và ¿ ¿ 4=f (4 ) Mặt khác : ¿¿ Suy f ( ) =3 Suy f ( ) =5 f ( ) =f ( 1 )=f ( ) f ( ) Suy Vậy quy nạp ta chứng minh f ( n )=n ; ∀ n∈N Ta có n=k ≥2 k k +1 số lẻ ( f ( k + )=f ( k ∈N ¿ ) n=k +1 Ta chứng minh ( ) với ; tức chứng minh ) ( ) k +2 số chẵn k +2 k +2 k +2 =f ( ) f =2 =k +2 2 k ¿¿ nên Do ( 1) với f ( k +1 )=k +1 số chẵn f ( k + )=f ( f ( k )=k ; nghĩa ta có k +1 k +1 k +1 =f ( ) f =2 =k +1 2 *Nếu k số chẵn Vì ( ) f ( )=1 ; f ( )=2 Giả sử ( ) với * Nếu ¿ f ( )=1 ) ( ) f (k ) ¿ ¿ n=k +1 Vậy ( 1) với n∈ N Thử lại thấy hàm f ( n )=n ¿ thỏa yêu cầu toán suy f ( k +1 )=k +1