SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 2000-2001 -Câu : a) Chứng minh phương trình sau có nghiệm thực cosx = x (1) ; sin(cosx) = x (2) ; cos(sinx) = x (3) b) Gọi nghiệm (1), gọi nghiệm (2), gọi nghiệm (3) Chứng minh rằng: ..ln < ..ln nên f đồng biến 2 f(0) < 0; f(1) > Vậy phương trình f(x) = có nghiệm có nghiệm Các phương trình cịn lại chứng minh tương tự ln ln ln b) Nhận xét , , (0;1) Viết lại ln x ln x g(x) g '(x) x (0;1) x với x (0;1) x Xét , g đồng biến (0;1) Chứng minh: : Giả sử lúc = sin(cos) < cos cos = vô lý Giả sử lúc = sin(cos) > cos cos = vô lý Vậy ta có: Câu : Định m để giá trị nhỏ biểu thức: f(x,y,z) = (x – y + mz + 1)2 + [x + (m + 1)y - 2z + 2]2 + [2x + 2y + (m - 4)z + 1]2 lớn Lời giải f(x,y,z) = (x – y + mz + 1)2 + [x + (m + 1)y - 2z + 2]2 + [2x + 2y + (m - 4)z + 1]2 0, x, y, z R x y mz 0 x (m 1)y 2z 0 2x 2y (m 4)z 0 (1) (2) (3) f(x,y,z) = Lấy (2) trừ (1) ta có: (m + 2)y - (m + 2)z + = (4) Nhân (1) với (2) ta có: 2x - 2y + 2mz + = (5) Lấy (3) trừ (5) suy ra: 4y - (m + 4)z – = (6) có nghiệm (x;y;z) Từ (4) (6) suy ra: m(m + 2) có nghiệm y z Rồi vào (1) có nghiệm x Hệ (1), (2), (3) có nghiệm Do đó: m m mìn(x,y,z) = Nếu m = -2, đó: áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpki ta có: f(x,y,z) = (x – y - 2z + 1)2 + [x - y - 2z + 2]2 + [2x + 2y - 6z + 1]2 1 = [12 + (-1)2 + 02][(x – y - 2z + 1)2 + [x - y - 2z + 2]2 + [2x + 2y - 6z + 1]2] (-1)2 = x y 2z x y 2z 2x 5z 1 2y z 2x 2y 6z 0 Dấu xảy 1 1 Chọn (x = -1; y = ; z = 0) Vây tồn f(-1; ;0) = hay m = -2 ta có minf(x;y;z) = Nếu m = 0, đó: áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpki ta có: f(x,y,z) = (x – y + 1)2 + [x + y - 2z + 2]2 + [2x + 2y - 4z + 1]2 1 3 1 = [02 + 12 + ( )2][(x + y + 1)2 + [x + y - 2z + 2]2 + [2x + 2y - 4z + 1]2] = Dấu xảy x y 2z 2x 2y 4z 1/ x y 0 10x 10z 10y 10z 9 Chọn (x = ; y = 10 ; z = 0).Vậy tồn f( ; 10 ;0) = hay m = ta có minf(x;y;z) = Kết luận: m = giá trị nhỏ f(x,y,z) lớn Câu : Cho hình vng cố định Tìm tập hợp điểm M hình vng thỏa mãn điều kiện: Tích hai khoảng cách từ điểm M đến hai cạnh hình vng xuất phát từ đỉnh bình phương khoảng cách từ điểm M đến đường chéo hình vng khơng qua đỉnh Lời giải Khơng giảm tính tổng qt, xét hình vng có cạnh Đặt hình vng ABCD lên mặt phẳng có hệ trục tọa độ Oxy cho A(0;1), B(-1;0), C(0;-1), D(1;0) Gọi M(x;y) điểm hình vng ABCD, hạ MN, MP, MQ vng góc với BD, DA, AB N, P, Q y A P Q M B N D x C Do đó: MP.MQ = MN2 (1) ( xét cạnh hình vng phát xuất từ đỉnh A) AB: x – y + = 0, AD: x + y – = | x y 1| | x y 1| | y |2 | x (y 1) |2y 2 (1) M(x;y) hình vuông nên x – y + > 0, x + y – < Do đó: x2 –(y – 1)2 = (x – y + 1)(x + y – 1) < nên (1) x2 – (y– 1)2 =- 2y2 x2 + (y+1)2 = Vậy tập hợp điểm M cung BD, cung ¼ đường trịn C, bán kính R = Từ kết ta kết luận: Tập hợp điểm M cung ¼ đường trịn tâm đỉnh hình vng có bán kính cạnh hình vng Câu : Tìm tham số a để hệ sau có nghiệm: a(x a) (x 2) 0 x a Lời giải a(x a) (x 2) 0 x a (x a) ax - 2a(x a) 1 0 x a 1 1 2 2 (1) x (x a) (x a) a (x a) a (x a) a 2 x a x a (2) Do (2) nên x – a a hai số dương, áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số dương ta được: 1 1 (x a) (x a) a 4 =2 2 2 (x a) a (3) Do (1) dấu đẳng thức xảy (3) tức là: x 1 (x a) a 2 (x a) a a 2 Vậy hệ có nghiệm a = nghiệm hệ là: x = m c otgx n n tgx sin x cos x * Câu : Tìm m, n N để phương trình: có nghiệm Lời giải k k ,kZ n > 2: |sinnx + cosnx| dấu đẳng thức x = |tgx + cotgx|m với x nên phương trình vơ nghiệm 1 n = 2: Phương trình trở thành: (tgx + cotgx)m = có nghiệm x0; tgx0 = ,mN* n = 1: Đặt f(x) = (tgx + cotgx)m – ( sinx + cosx) , x (0; ) lim f (x) x f liên tục (0; ) Gọi x0 (0; ), tgx0 = , ta tính được: 3 0 2 f(x0) = – ( sinx0 + cosx0) = – ( cosx0 + cosx0) = - cosx0 = Vậy phương trình có nghiệm Kết luận: phương trình có nghiệm khi: m N* n {1,2}