SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2017-2018 Môn: TOÁN - Lớp 11 Thời gian làm bài: 180 phút TRƯỜNG THPT HOẰNG HÓA 2 Câu Cho hàm số y x 2(m )x m (m ) (Cm ) Tìm m để hàm số nghịch biến ( ; ) Giải phương trình sau: ( x 16)( x 3) x 0 Lời giải Hàm số nghịch biến ( ; 1) m 1 m 2 ( x 16)( x 3) x 0 x ( x 3)2 x 16( x 3) 0 x x ( x 3) 16( x 3) 0 1 Dễ thấy x 3 nghiệm 1 , nên pt x4 x2 x2 16 (2) Đặt , (2) trở thành t 6t 16 0 t 8, t Từ suy t ( x 3) x x x Câu cos 2 x tan x tan x Giải phương trình sau: 4 tan x cot x x y 12 Giải hệ phương trình sau: x xy 12 y 0 Lời giải cos 2x 0;cos 2x 0 4 4 Điều kiện (*) sin2x 0;tanx cotx 0 Để ý rằng: tan x - tan x , pt trở thành: 4 4 cos x tan x 1 cot x tan x 4 cos x 4 tan x cot x tan x tan 2 x (tan x 1) 0 tan x 1 x k tan x tan x Không thỏa mãn (*) Vậy phương trình vơ nghiệm Thế pt thứ vào pt thứ hai, ta được: x xy ( x y ) y 0 ( x y )( x xy y xy ) 0 TH1: x y vào pt đầu ta 12 y 12 y 1 x m2 y 15 y TH2: x xy y 0 x 0 x y 0 (loại) 2 Vậy pt có nghiêm ( 2; 1);( 2; 1) Câu Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện ab bc ca 2abc Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 1 P 2 a (2 a 1) b(2b 1) c(2c 1) 2 Cho dãy số (un ) xác định sau: 2 u1 2018 , un n (un un ), n N * Tìm giới hạn limu n Lời giải 1 1 Đặt x ; y ; z , ta có x, y, z ba số dương thỏa mãn x y z 2 a b c x3 y3 z3 1 ( y z )2 P Ta có: a (2 a 1) Từ ta có: ( y z ) ( z x) ( x y ) x x3 x3 yz yz x3 3x Áp dụng BĐT Cosi: 3 Tương tự ta có: ( y z )2 8 64 y3 x z x z 3y z3 x y x 3z , 2 ( z x) 8 ( y x) 8 1 Từ p ( x y z ) Vậy MinP x y z a b c 2 2 Từ công thức truy hồi dãy số, ta được: 1 un un u u1 n 2 n n (n 1) n (n 1) (n 1)(n 1) (n 2)n 4.2 3.1 n 1 2018 2018 2018 lim un 1009 Do đó: un 2 n (n 1) 2n Câu Có hoa khác lọ hoa khác nhau, người cắm hết hoa vào lọ hoa Tính xác suất để có lọ khơng có hoa Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC cân A có cạnh BC , AB có phương trình x y 0 x y 10 0 Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC , biết M( 2; ) thuộc đường thẳng AC Lời giảii giảii - d qua M d / / BC có PT: x y 0 Gọi N d AB N ( 2; 4) , trung điểm MN uuur E 0; , MN ( 4; 2) Trung trực MN là: x t A( 7; 11) y 3 2t Gọi F trung điểm BC xF -Tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC 4 I t ; 2t nằm đoạn AF , suy t 7; 5 - Khoảng cách từ I đến AB BC nên | t 4t | | 3t 2t 10 | 4 t 10 21 11 4 ; Mà t 7; nên tâm I 5 1 Câu Cho tam giác ABC cân A có AB AC a góc BAC 2 Trên đường thẳng d qua A vng góc với mặt phẳng ( ABC ) lấy điểm S cho SA 2a Gọi I trung điểm BC hạ AH SI Chứng minh AH ( SBC ) Tính độ dài AH theo a, AK x Mặt phẳng ( R) qua K vng góc với AI cắt AI cạnh AB, AC , SC , SB M , N , P, Q Tìm x để tứ giác MNPQ có diện tích lớn Lời giải Chứng minh BC ( SAI ) BC AH theo giả thiết AH SI suy AH ( SBC ) K điểm thay đổi AI , đặt - AI a cos , SI SA2 AI a cos 1 a cos -Từ S ASI AH SI SA.AI AH 2 cos - Chứng minh MNPQ hình chữ nhật - BC 2CI 2 a sin AK MN MN 2ax sin - MN / / BC AI BC QM MB QM 2 MB - QM / / SA SA AB AK AM AM ax MB a(1 x) Mà AI AB QM 2a (1 x ) - S MNPQ MN QM 4a x(1 x )sin x 1 x - Ta có x(1 x ) - S MNPQ lớn x 1 x x