SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT ĐỀ CHÍNH THỨC CHÍNH THỨCNH THỨC C HÀ TRUNG ĐỀ THI KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2017 - 2018 Mơn thi: TỐN Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi 26 tháng 10 năm 2017 (Đề thi gồm có 01 trang) Câu 1 Cho hàm số y x x có đồ thị (P1) hàm số y x x có đồ thị (P2) Giả sử đường thẳng (d): y = m cắt (P1) hai điểm phân biệt A, B cắt (P2) hai điểm C, D Tìm m để AB 2CD Giải phương trình: 2 x 13 x 15 2( x 1) x ( x 2) x Lời giải Xét phương trình: x x m 0 (1) x x m 0 (2) ĐS: m = 1 m m2 ĐK: m AB 2CD AB 2CD ( x1 x2 )2 2( x3 x4 ) ( x1 x2 ) x1 x2 2[( x3 x4 ) x3 x4 ] 16 - 4(3 - m)=2[4 - 4(3 - m)] m = ĐS: pt có nghiệm: x = -1; x = pt ( x 5)( x 3) x x ( x 2) x ĐKXĐ: x x ( x 1) ( x 2)( x 1) 0 x 0 (2 x x 2)( x 1) 0 x x 0 x x x 1; x 4 ( x 5) x x Câu tan x.cot 2 x.cos3x cot 2 x tan x cot x sin x x ( x y ) ( x x ) Giải hệ phương trình: x ( x y ) ( x 1) y 1 Giải phương trình lượng giác: Lời giải k x (k Z ) ĐKXĐ: sin2x.sin3x ≠ x k PT tương đương với: cot x(tan x cot 2 x 1) tan x cot 2 x sin xcos x sin xcos x s inx cos x s inx cos x cot x ( 1)( 1) ( )( ) cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cot x.sin( x x )sin( x x) cos x cos x cos x(s inx - cosx) 0 x k cos3 x 0 tan x 1 x k So sánh với điều kiện suy pt có nghiệm là: 5 x k ; x k ; x k ( k Z ) 6 ĐKXĐ: x ≥ 1; y ≥ x ( x y ) ( x x 1) ( x 1)( x y 8) 0 2 x xy 8( x x x ) x( x y ) ( x 1) y 1 x 1 x y 2 x xy 8( x x x ) TH1: x = y = TH2: y = x + Ta có: x( x x ) x( x x 1) x 8 8x x x x x2 ( x 8)( x 1) x x x x 0 x x 8( x x ) 8 x( x x 1) x ( x x 1) x( x x ) 257 129 257 y 16 16 Vậy hệ pt có nghiệm là: (1; 1) ( 257 129 257 ; ) 16 16 Câu 2017 Chứng minh khai triển ( x ) tổng hệ số lũy thừa bậc nguyên dương x x số phương Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn: ab bc ca 2abc Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 1 P 2 a (2 a 1) b(2b 1) c(2c 1) Lời giải S số phương 2017 k 2017 k k ( ) k C2017 x 2017 k Số hạng tổng quát khai triển ( x ) là: C2017 x x x Xét bpt: 2017 – 2k > k < 1008,5 Do k nguyên dương nên k 0; 1; 2; 3; ; 1008 Tổng hệ số lũy thừa bậc nguyên dương x là: 1008 S C2017 C2017 C2017 C2017 C2017 Áp dụng công thức: 2017 Cnk Cnn k S C2017 C2017 C2017 C2017 2 2017 S 2 2016 (21008 ) 1 Đặt m ; n ; p Từ giả thiết suy ra: m + n + p = a b c BĐT cần chứng minh tương đương với: 3 3 GTNN P m = n = p = với a = b = c = m n p 2 ( m ) ( n) ( p ) Áp dụng BĐT Coossi cho số không âm ta có: m3 m m 3m m3 m 2 ( m) 8 (2 m) n3 n ( n) p3 p (2 p) m3 n3 p3 m n p 2 ( m) ( n ) ( p ) 2 Câu Có số tự nhiên gồm chữ số khác mà có hai chữ số lẻ? Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông A, đường cao AD Gọi 11 17 E( ; ) chân đường phân giác hạ từ đỉnh A tam giác ACD Biết tọa độ đỉnh 5 B(4; 1) đỉnh A có hoành độ nhỏ 2, nằm đường thẳng : x y 0 Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC Lời giải Số tạo thành có chữ số vị trí Trường hợp Trong số tạo thành có chữ số Lần lượt ta có Số cách chọn vị trí cho chữ số 4; số cách chọn thêm chữ số chẵn C 24; số cách vị trí cho chữ số chữ số lẻ C 25; với chữ số chẵn chữ số lẻ chọn có 4! Hốn vị cách xếp vào bốn vị trí cịn lại số tạo thành Ta số C24.C25 4! = 5760 Trường hợp Trong số tạo thành khơng có chữ số Lần lượt ta có Số cách chọn chữ số chẵn khác C34; số cách chọn chữ số lẻ C25; với chữ số chọn có 5! Hốn vị cách xếp vào vị trí số tạo thành Ta số C34 C25 5! = 4800 số tạo thành có : 5760 + 4800 = 10560 (số) A B D E C ∆ABD đồng dạng với ∆ACD BAD CAD Ta có: BAE BAD DAE ; AEB ECA CAE BAE AEB ∆ABE cân B nên BA = BE ( x 4) ( y 1) 9 A(1; 1) Tọa độ điểm A nghiệm hệ: x y 0 x Phương trình đường thẳng qua A, vng góc với AB: x – = Phương trình đường thẳng BC qua B, E: 4x + 3y – 19 = ĐS: A(1; 1) C(1; 5) C (1; 5) Câu Cho tứ diện ABCD Gọi G trọng tâm tam giác BCD M điểm nằm bên tam giác BCD Đường thẳng qua M song song với GA cắt mặt phẳng (ABC), (ACD), (ABD) P, Q, R Xác định thiết diện tứ diện ABCD cắt mặt phẳng (AGM) Xác định vị trí điểm M để tích MP.MQ.MR đạt giá trị lớn Lời giải Gọi I, K, J giao điểm GM với BC, BD, CD Thiết diện tứ diện với mp(AGM) tam Khi ta có: giác AIK ( AGM ) ( BCD) IK ( AGM ) ( ABD) KA ( AGM ) ( ABC ) AI MP + MQ + MR đạt Qua M kẻ Mx // GA Trong mp(AIJ), Mx cắt AI P, Mx cắt AK R Mx cắt AJ Q giá trị lớn MP = MQ = MR M IM IC.sin JIC S IM S MIB IM MIC trọng tâm tam giác Trên mp(BCD) Tương tự: IG S IG S GIB GIC BCD IG.IC.sin JIC IM S MIB S MIC S MCB 3S MCB IG SGIB SGIC SGCB S BCD S IM MP MP 3 MBC (1) Do GA// Mx nên: IG GA GA S BCD S MQ MR S 3 MCD (2); 3 MBD (3) GA S BCD GA S BCD Cộng vế tương ứng (1)(2)(3) ta được: MP + MQ + MR = 3GA Theo BĐT Cơsi ta có: MP MQ MR 3 MP.MQ.MR GA MP.MQ.MR Tương tự: MP.MQ.MR GA3