Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề 10 số phức và ứng dụng lê hoành phò file word

CHUYÊN ĐỀ 10 - SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Số phức phép toán Tập hợp số phức  , đơn vị ảo i với i  - Số phức (dạng đại số): z a  bi  a, b    a phần thực, b phần ảo z Kí hiệu Re z a, lm z b - Số phức liên hiệp số phức: z a  bi,  a, b    z a  bi z số thực  phần ảo z  z  z z số ảo  phần thực z  z  z z 0 số phức vừa số thực vừa số ảo - Môđun số phức: z a  bi,  a, b    z  a  b2  z z - Phép toán:  a  bi    a ' b ' i   a  a '   b  b ' i  a  bi    a ' b ' i   a  a '   b  b ' i  a  bi   a ' b ' i   aa ' bb '   ab ' ba ' i ( a, b, a ', b '   ) 1 z' z'z z'z z 0 : z    z;  z '.z    z z z zz z Chú ý: 1) i m 1; i m1 i; i m2  1; i m 3  2) z  z; z  z '  z  z '; zz '  z.z ' z'  z' z' z'   , z  z z z 3) zz '  z z ' ; z  z ;  Số phức dạng lượng giác - Cho số phức: z a  bi với a, b  , z 0 , ta có r  cos   i sin   với r  a r 2 dạng lượng giác số phức: z a  bi  r  a  b ,cos   ,sin   b r  acgumen z với số đo rađian Trang Góc lượng giác  Ox, OM    k 2 tức acgumen sai khác k 2 với k  i    cos 12  i.sin 12  1 i z Khi z 0 khơng có dạng lượng giác dạng lượng giác không xác định - Nếu z r  cos   i sin   , z ' r '  cos  ' i sin  '  có: zz ' rr '  cos     '   i sin     '   z r   cos     '  i sin     '   , z ' 0 z' r' Công thức Moa-vrơ n Với n số nguyên, n 1  r  cos   i sin    r n  cos n  i sin n  n Đặc biệt:  cos   i sin   cos n  i sin n Căn bậc hai, bậc n số phức - Số phức z bậc hai số phức w  z w Ta viết số phức w cần tìm thành dạng bình phương đủ, việc thu gọn trình tìm bậc hai w - Số phức z bậc n số phức w  z n w n Đặc biệt đơn vị:  cos   i sin   1  cos n  i sin n cos  i sin    k 2 , k 0,1, 2, , n  n Do phương trình z n 1 có n nghiệm phức (là bậc n đơn vị) zk cos k 2 k 2  i sin , k 0,1, 2, , n  n n Kết tổng của đơn vị Phương trình bậc hai, bậc n Phương trình bậc hai Az  Bz  C 0 với A 0, B, C số phức Lập biệt thức:  B  AC Nếu  0 phương trình có nghiệm kép z  B 2A Nếu  0 ta tìm bậc hai   phương trình có nghiệm phân biệt z1,2   B  2A Định lý Viet: Nếu   hai nghiệm phương trình bậc hai: Trang Ax  Bx  C 0 thì: S     B C P    A A Đảo lại, hai số phức   nghiệm phương trình bậc hai: x       x    0 n n - Phương trình bậc n: A0 z  A1 z   An  z  An 0 A0 , A1 , , An n  số phức cho trước, A0 0 , n số nguyên dương có n nghiệm phức, khơng thiết phân biệt Hệ phương trình - Dùng biến đổi tích số, rút thế, cộng đại số, đặt ẩn phụ… hệ phương trình đại số để giải - Đặt z  x  yi,  x, y    z '  x ' y ' i ,  x ', y '    vào hệ, đồng để tìm x, y, x ', y ' Biểu diễn số phức: - Biểu diễn hình học: Số phức z  x  yi,  x, y    biểu diễn điểm M  x; y  hay vectơ 4i  x; y  mặt phẳng tọa độ Oxy gọi mặt phẳng phức Trục thực trục i hoành trục ảo trục tung   - Nếu z , z ' biểu diễn M , M ' z  z ' biểu diễn OM  OM ', z  z ' biểu diễn    OM  OM ' M ' M Tập điểm biểu diễn số phức: - Gọi điểm M  x; y  biểu diễn số phức z  x  yi  x, y    - Từ điều kiện cho thiết lập quan hệ x y hay quanh hệ M điểm khác để xác định dạng loại tập điểm cần tìm CÁC BÀI TỐN Bài tốn 10.1: Thực phép tính sau: 33 10  1 i  A      i     3i    3i   i  1 i  B 1    i     i     i      i  20 Hướng dẫn giải Ta có:  i 1  i  i  2i   2i    i  i  i2 1 Trang 33  1 i  33 16 Nên:   i  i  i i Và   i  1  i  2i  2i  1 i  Nên   i  10   2i   32i Từ tính C 13  32i 21  1  i  1  i  q 21 D  u 1  Ta có 1 q 1 1 i i mà   i  21   i    i  20   i   2i  21 10    i  210  210  i.210   210  i.210  Vậy: D   210   210  1 i i Bài toán 10.2: Cho số phức z thỏa mãn: a) z i z 1  z  Tính z  2i z2 b) z  i Tính    i  z z 1 Hướng dẫn giải a) Ta có z 1  z   z   z  3  z   , z 2 z2  z   i  z  z  0    z   i Với z   i, z  i   2i 10 z i 26    i  13 z  2i   3i 13 13 z  2i Với z   i, z i 2 z i    i  z  2i   i 5 z  2i b) Đặt z a  bi,  a, b    Ta có: z  i  a  b  a   bi  b   a  1 i z 1 a  b  a   b    b a   a 1, b   a  2, b 1  Với a 1, b  ,    i  z     i    2i   3i 3 Với a  2, b 1 ,    i  z     i     i    3i 3 Bài toán 10.3: Cho số phức z Hỏi số sau số thực hay số ảo Trang   a) z  z b) z z   z3  z Hướng dẫn giải Ta tính số phức liên hiệp:   a) z  z b) z z    z z     z3  z    z  z  z  z Vậy z  z z  z3  z z   z3  z Vậy số thực z z   z3  z số ảo Bài toán 10.4: Tìm bậc hai số phức a)  3i b) 17  20 2i Hướng dẫn giải a) x, y   Giả sử:  x  yi  1  3i    x  y   xy  i 0  12 x  1  x  y 1 x      y 2 2 xy 4  x 2  x 4    y  x  Từ có bậc hai là: z1 2  3i, z2   3i b) x, y   Giả sử:  x  yi  17  20 2i    x  y  17  xy  10 i 0  x 5, y 2  x  y  17 0     xy  10 0  x  5, y  2 Vậy có hai bậc hai  2i,   2i Bài tốn 10.5: Tìm bậc hai w a  bi  a, b    Hướng dẫn giải Gọi z  x  yi,  x , y   bậc hai w a  bi  a, b     x  y a   x  yi   x  y  xyi a  bi    * xy  b  Trang  x  y a   4 x y b   xyb 0   x  y a  2 2 2  x  y    x  y  b   xyb 0  a  b2  a x    x  y a  a  b2  a  2 2  x  y  a  b   y   xyb 0    xyb 0   Vậy bậc hai cần tìm w a  bi là:     Hay     a2  b2  a i a2  b2  a i a  b  a    a  b  a    Bài tốn 10.6: Tìm bậc ba số phức b 0 b  1 i Hướng dẫn giải Đặt z  x  iy , x, y   bậc ba 1 i 1 i :z  2 1 i  x3  3xy  i  3x y  y     x  3xy   3 x y  y   2   x  y   x  y  xy    2  x  y   x  y  xy  0 3 - Xét x  y 0  y  x nên x  x  1  1 1  x     x 2  2 Trang  1 i Ta có được: z1  2 Do đó: y  - Xét x  y  xy 0   x  y    x  y   xy   x y        Ta có hệ:   x  y   xy 0  xy   Từ có bậc ba là: z1    i ; z2      i 2  1 z3   i 2 1  3  1 Bài tốn 10.7: Tìm số phức z thỏa mãn trường hợp:   a) z.z  z  z 4  3i b) z 5 phần thực z hai lần phần ảo Hướng dẫn giải a) Đặt z  x  iy , x, y     2 2 Ta có: z.z  z  z  x  y  3.2iy  x  y  yi  15  x   x  y 4  Do đó: z.z  z  z 4  3i   y    y    Vậy z   2 15 i 15 i  z   2 2  z 5  b) Giả sử z a  bi, a, b   Ta có:  a 2b a 2b   b   a  b 5  a 2b a 2 a  hay   b  b  Vậy có hai số phức cần tìm: z   i 5, z 2  i Bài toán 10.8: Tìm số phức z thỏa mãn trường hợp: Trang   a) z  z   i  có   z  i  z số ảo 2   b)  z  i   z  2 z  3i Hướng dẫn giải a) Đặt z  x  yi , x, y   Khi đó: z  z   i   y   2    y  1 i     y  1 5    y      mà:   z  i  z    x   yi   x  1  y  i   x   x   y   y       x    y   xy  i   nên   z  i  z số ảo phần thực: x   x   y   y  0  x  3 2 Với y  , ta có x  x  0    x    x  2 Với y  , ta có x  x  0    x   2 Vậy z   i, z  3 1  i, z   i, z   i 2 2 2 2 b) Đặt z  x  yi  x, y    Khi đó:  z  1  z  2 z  3i  2   x   y  1 i    x    yi 2  x   y  3 i  2  2  x   y  1  x  y  1 i   x    y 2 x   y  3  x  y  3 i  x   y  1   x    y 2 x   y  3  2 x  y  1  x  y  3  x   y  1   x    y 2 x   y  3  2 x  y   0 Trang   y   x 0  hay   497 2 y  10 y  21 0      4 x  Vậy z    y    x  497  36 497  i 36 Bài toán 10.9: Viết dạng lượng giác số phức:   a)  i   i  b) 1 i 1 i Hướng dẫn giải           i sin     ,1  i   cos  i sin  4  3     a)  i 2  cos              nên  i   i  2  cos      i sin       4           2  cos     i sin      12   12    b) 1 i          cos      i sin       1 i 2  4     7   7     cos     i sin     12   12    Bài tốn 10.10: Tìm acgumen số phức a) z 1    21 i b) z 2   i Hướng dẫn giải a) Ta có: z 1    2    i  2  2  2   i 21 2      2 2   2 i   2    cos 2a  cos 2a , sin a  2 Dùng công thức hạ bậc: cos a  Ta tính được: cos    sin    8 2 Trang Vậy acgumen số phức   k , k     b) Biểu diễn hình học số phức z 2   i số phức z tương ứng với điểm A  3,1 Đặt   AOH ta có tan   AH  2  OH    2 tan   sin 2    tan     2  8    2   1 4    tan   Tương tự cos 2   tan  Suy ra: 2      2      Chọn    k 2 12 12 Vậy acgumen z 2   i   k 2  k   12 Bài toán 10.11: Viết dạng lượng giác số phức a)   cos   i sin    cos   i sin  b)    cos   i sin      cos   i sin   Hướng dẫn giải a)   cos   i sin     cos    i sin    cos   i sin    cos    i sin        i.sin cos sin  i cos  2 tan 2  i.tan      cos   i.sin  2cos  i.sin cos 2 2 2sin - Khi tan         dạng lượng giác là: tan  cos     i sin     2  2   - Khi tan      dạng lượng giác là:  tan  cos  i sin  2 2 - Khi tan  0 khơng có dạng lượng giác Trang 10 Mà (1): z  w5 0 nên: z 1  w  z   w 1 Vậy hệ có hai nghiệm  z , w  là:  1;  1   1;1 Bài toán 10.26: Giải hệ phương trình:    b)     x  iy  z 10  a)  x  y  2iz 20 ix  3iy   i z 30    z1 1 z i z  3i 1 2i Hướng dẫn giải  x  iy  z 10   a) Ta có:  x  y  2iz 20 ix  3iy   i z 30     x  iy  z 10   x  y  2iz 20  x  y  i  z  30i     i  1 y    i  z  10 4 y    i  z  20  30i Khử x ta có hệ:   x 3  11i  Từ có x 3  11i Vậy hệ có nghiệm:  y   9i  z 1  7i  b) Ngoài cách giải đại số, cách viết z  x  yi,  x, y    tính tốn Ta có cách giải hình học biểu diễn sau: Ta có tập hợp điểm M mặt phẳng phức biểu diễn số z thỏa mãn z  z0 1  z  z0  z  z1 z  z1 đường trung trực đoạn thẳng A0 A1 với A0 , A1 theo thứ tự biểu diễn số phức z0 , z1 Do z 1 nên điểm M biểu diễn số z  x  yi, với x, y   phải nằm đường phân giác y  x z i Còn điều kiện z  3i 1 chứng tỏ phần ảo z Vậy z 1  i z i 2 4 Bài tốn 10.27: Khơng giải phương trình z    i  z   5i 0 Hãy tính: z1  z2 , z1  z2 Hướng dẫn giải Theo hệ thức Viet ta có: S  z1  z2   i, P  z1 z2 3  5i Do z12  z22 S  P    i     5i    14i Trang 20