Lý thuyết về số đại số

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ———————o0o——————— NGUYỄN MẠNH HÙNG LÝ THUYẾT VỀ SỐ ĐẠI SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NÔNG QUỐC CHINH THÁI NGUYÊN - NĂM 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu Số đại số số nguyên đại số 1.1 Đa thức 1.2 Đa thức đối xứng 1.3 Đa thức nguyên 1.4 Số đại số số nguyên đại số 5 14 14 16 18 20 Các 2.1 2.2 2.3 2.4 trường số Trường số đại số Chuẩn vết phần tử trường số đại Biệt thức hệ phần tử trường số Vành số nguyên đại số OK số Nhân tử hóa 3.1 Phần tử khả nghịch, quan hệ chia hết, phần tử bất khả quy vành OK 3.2 Sự phân tích thành nhân tử bất khả quy vành OK 3.3 Trường số chuẩn Euclid 24 Iđêan 4.1 Iđêan vành giao hoán 4.2 Iđêan vành OK 4.3 Chuẩn Iđêan 31 31 32 33 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 24 25 28 4.4 4.5 4.6 Sự phân tích Iđêan khơng tầm thường thành tích Iđêan nguyên tố Iđêan nguyên tố Các lớp Iđêan 38 50 51 Kết luận 54 Tài liệu tham khảo 55 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành khóa 17 đào tạo Thạc sĩ trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, hướng dẫn PGS.TS Nông Quốc Chinh Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy hướng dẫn, người tạo cho tinh thần làm việc nghiêm túc dành nhiều thời gian, công sức giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo trường Đại học sư phạm, Đại học Thái Ngun, Viện Tốn học, người tận tình giảng dạy trang bị đầy đủ kiến thức làm tảng cho q trình viết hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, khoa Sau đại học trường Đại học Sư phạm, trường Cao Đẳng Dược Phú Thọ tỉnh Phú Thọ tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ suốt thời gian học tập Cuối cùng, xin cảm ơn bạn bè, người thân động viên, ủng hộ vật chất tinh thần để hồn thành tốt khóa học Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Số đại số số nguyên đại số lĩnh vực nhiều nhà toán học dành nhiều thời gian nghiên cứu Trong nước ta lý thuyết số đưa vào chương trình học tập học sinh phổ thông tất cấp học Có thể nói lĩnh vực lý thú toán học - nhiều giáo viên học sinh, sinh viên u thích Vì lý nên tơi chọn “lý thuyết số đại số” làm đối tượng nghiên cứu luận văn Ngồi phần mở đầu kết luận, luận văn chia thành chương sau Chương 1: Số đại số số nguyên đại số Trong chương trình bày lại số kết đa thức, đa thức đối xứng, đa thức nguyên bản, số đại số, số nguyên đại số Chương 2: Các trường số Nội dung chương kết trường số đại số, chuẩn vết phần tử trường số đại số, trường bậc hai, vành số nguyên đại số OK , biệt thức hệ phần tử trường số Chương 3: Nhân tử hóa Chương trình bày khái niệm: Phần tử khả nghịch, quan hệ chia hết, phần tử bất khả quy, phân tích một phần tử khác khơng khơng khả nghịch thành tích nhân tử bất khả quy OK Chương 4: Iđêan Nội dung chương nghiên cứu phân tích Iđêan khơng tầm thường thành tích Iđêan nguyên tố OK đề cập đến khái niệm nhóm lớp số tính chất Vì khả thời gian có hạn nên luận văn chắn cịn nhiều thiếu sót Chúng tơi kính mong q thầy bạn đóng góp ý kiến sửa đổi, bổ sung để luận văn hoàn thiện Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Số đại số số nguyên đại số Trong toàn luận văn ta ln coi vành giao hốn có đơn vị khơng giả thiết thêm 1.1 Đa thức Mục chúng tơi nhắc lại số tính chất vành đa thức Cho R vành, R[x] vành đa thức biến x lấy hệ tử R Định nghĩa 1.1.1 (i) Cho đa thức f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn ∈ R[x], với an 6= Ta nói n bậc f (x) an gọi hệ số cao f (x) Bậc f (x) ký hiệu degf (x) deg(f ) (ii) Đa thức có hệ số cao gọi đa thức monic Nhận xét 1.1.2 Nếu R miền nguyên ta có (i) R[x] miền ngun (ii) deg(f (x)g(x)) = degf (x)+degg(x) với f, g phần tử khác R[x] Mệnh đề 1.1.3 Cho K trường số (i) Giả sử f, g ∈ K[x] g = Khi tồn đa thức q, r ∈ K[x] cho f = qg + r r = r 6= deg(r) < deg(g) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (ii) Nếu f = gh với h ∈ K[x] ta nói f chia hết cho g g chia hết f , ký hiệu f g g | f Mệnh đề 1.1.4 (Ước chung lớn nhất) Cho K trường, f, g phần tử khác không K[x] Khi tồn đa thức monic h cho (i) h | f h | g (ii) có q ∈ K[x] q | f , q | g q | h Khi ∃ u, v ∈ K[x] cho h = uf + vg Định nghĩa 1.1.5 Cho K trường số, f ∈ K[x] có bậc dương, f gọi đa thức bất khả quy K không tồn g, h ∈ K[x] với deg(g) < deg(f ) deg(h) < deg(f ) cho f = gh Ngược lại f gọi khả quy K Định lý 1.1.6 (Sự phân tích nhất) Cho K trường số, f ∈ K[x] đa thức monic có bậc dương Thế có đa thức monic bất khả quy K p1 , p2 , , pk cho f = p1 p2 · · · pk Ngoài pj xác định nhất, không kể đến thứ tự nhân tử 1.2 Đa thức đối xứng Trong mục ta xét R miền nguyên R[x1 , , xn ] vành đa thức n biến với hệ số R Định nghĩa 1.2.1 Một đa thức f ∈ R[x1 , , xn ] gọi đa thức đối xứng f (x1 , , xn ) = f (xσ(1) , , xσ(n) ) với σ ∈ Sn , Sn tập phép bậc n Ta hiểu f (xσ(1) , , xσ(n) ) đa thức có từ đa thức f (x1 , , xn ) cách thay xj xσ(j) , với j = 1, 2, , n Ví dụ 1.2.2 Các đa thức sau gọi đa thức đối xứng sơ cấp hay đa thức đối xứng e1 (x1 , , xn )= x1 + x2 + · · · + xn e2 (x1 , , xn )= x1 x2 + x1 x3 + · · · + x1 xn + x2 x3 + · · · + xn−1 xn ··· en (x1 , , xn )= x1 x2 xn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định lý 1.2.3 (Newton) Cho f ∈ R[x1 , , xn ] đa thức đối xứng, tồn đa thức g ∈ R[x1 , , xn ] cho f (x1 , , xn ) = g(E1 , , En ) với Er :=er (x1 , , xn ) đa thức đối xứng với r=1, 2, , n 1.3 Đa thức nguyên Định nghĩa 1.3.1 Một đa thức 6= f ∈ Z[x] gọi đa thức nguyên ước chung lớn tất hệ số Nói cách khác f nguyên không tồn số nguyên tố chia hết tất hệ số Bổ đề 1.3.2 (Bổ đề Gauss) Cho f, g ∈ Z[x] đa thức ngun bản, tích đa thức f g đa thức nguyên Chứng minh Giả sử f = a0 + a1 x + · · · + am xm , với am 6= g = b0 + b1 x + · · · + bn xn với bn 6= đa thức nguyên Ta chứng minh f g nguyên bản, tức phải không tồn số nguyên tố p ước tất hệ số f g Giả sử p số nguyên tố chia hết tất hệ số f g Do f, g nguyên tồn hệ số f hệ số g cho hệ số khơng chia hết cho p, giả sử ar bs hệ số f g không chia hết cho p (tức a0 , a1 , ar−1 b0 , b1 , , bs−1 chia P hết cho p cịn ar bs khơng chia hết cho p) Xét cr+s = j+i=r+s aj bi hệ số xr+s đa thức f g Viết dạng tường minh ta có cr+s = a0 br+s + a1 br+s−1 + · · · + ar+1 bs−1 + ar bs + · · · + ar+s b0 Rõ ràng tổng không chia hết cho p cr+s khơng chia hết cho p Điều mâu thuẫn suy f g đa thức nguyên Nhận xét 1.3.3 (i) Nếu 6= f ∈ Z[x] a ước chung lớn hệ số f Khi ta viết f = af1 , f1 đa thức nguyên (ii) Cho 6= g ∈ Q[x] có bg ∈ Z[x] với b số nguyên dương b tích tích tất mẫu số hệ số g Ta Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn viết bg = cg1 c ước chung lớn tất hệ số bg , c g1 nguyên Do g = g1 , g1 đa thức nguyên b c Z[x] số hữu tỷ dương Vì ta viết đa thức g khác b Q[x] thành g = rg1 với r dương g1 đa thức nguyên Z[x], r xác định Nếu đặt s = ta có g1 = sg với s số hữu tỷ dương Vậy với r đa thức 6= g ∈ Q[x] tồn số hữu tỷ dương s mà sg nguyên Z[x] Mệnh đề 1.3.4 Cho f, g đa thức monic, f ∈ Z[x] g ∈ Q[x] g | f g ∈ Z[x] Chứng minh Giả sử g | f , ∃h ∈ Q[x] cho f = gh Do f, g đa thức monic h đa thức monic Theo nhận xét 1.3.3, tồn số hữu tỷ dương r s cho rg sh đa thức nguyên Z[x] Do r, s hệ số cao rg , sh nên r, s ∈ Z, theo bổ đề Gauss ta có (rg)(sh) = (rs)gh = (rs)f đa thức nguyên Z[x] Vì f ∈ Z[x] f đa thức monic nên ta có rs = 1, lại r, s ∈ Z∗ + nên r = s = Suy g = rg ∈ Z[x] 1.4 Số đại số số nguyên đại số Định nghĩa 1.4.1 (i) Phần tử α ∈ C gọi số đại số tồn đa thức 6= f ∈ Q[x] nhận α làm nghiệm (ii) Phần tử β ∈ C gọi số nguyên đại số tồn đa thức monic g ∈ Z[x] nhận β làm nghiệm (iii) Gọi A B tập số đại số tập số nguyên đại số, dễ thấy B ⊆ A Z ⊆ B, Q ⊆ A Mệnh đề 1.4.2 Cho α ∈ A, có đa thức monic f ∈ Q[x] có bậc nhỏ nhận α làm nghiệm, g đa thức thuộc Q[x] nhận α làm nghiệm f | g Chứng minh Vì α ∈ A nên tồn đa thức monic Q nhận α làm nghiệm, đa thức ta chọn f đa thức có bậc nhỏ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ta f Giả sử 6= f ∈ Q[x] deg(h) < deg(f ) cho h(α) = 0, h1 = a−1 h đa thức monic, a hệ số cao h Do deg(h) < deg(f ) nên deg(h1 ) < deg(f ) h1 (α) = a−1 h(α) = 0, điều trái với việc chọn f Nếu f1 đa thức monic bậc với f thỏa mãn điều kiện giống f đa thức h = f − f1 phải đa thức trái lại h(α) = deg(h) < deg(f ), điều mâu thuẫn Vậy f Tiếp theo ta chứng minh g ∈ Q[x] cho g nhận α làm nghiệm f | g Thật theo định lý phép chia với dư, tồn q, h ∈ Q[x] cho g = q.f + h, với h = h 6= deg(h) < deg(f ) Nếu h 6= g(α) = f (α)q(α) + h(α) suy h(α) = 0, điều mâu thuẫn f đa thức monic có bậc nhỏ nhận α làm nghiệm Từ suy h = g = f q hay g f Định nghĩa 1.4.3 Đa thức monic f có bậc nhỏ nhận α làm nghiệm gọi đa thức tối tiểu α, bậc đa thức tối tiểu α gọi bậc α Bổ đề 1.4.4 Nếu f đa thức tối tiểu α ∈ A f bất khả quy Q Chứng minh Nếu f khả quy f = gh với g, h đa thức monic thuộc Q[x] có bậc nhỏ bậc f Ta có f (α) = g(α)h(α) = Do Q miền nguyên nên ta có g(α) = h(α) = Giả sử g(α) = theo mệnh đề 1.4.2 ta có f | g , suy ta có deg(g) ≥ deg(f ), điều vơ lý deg(g) < deg(f ) Suy f bất khả quy Định lý 1.4.5 Cho α ∈ A có đa thức tối tiểu f α ∈ B f ∈ Z[x] Chứng minh Giả sử α ∈ A có đa thức tối tiểu f f (α) = Nếu f ∈ Z[x] α ∈ B Ngược lại, giả sử α ∈ B ta f ∈ Z[x] Thật α ∈ A nên f (α) = f ∈ Q[x], lại α ∈ B nên ∃ g ∈ Z[x] g đa thức monic cho g(α) = 0, f | g , theo mệnh đề 1.3.4 f ∈ Z[x] Ta có tiêu chuẩn sau hữu ích việc xét tính bất khả quy đa thức Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn n−1 n−1 n−1 n−1 α1 α2 α3 αn α1 , α2 , , αn liên hợp α Định thức định thức V andermode nên ta có Q ∆(1, α, α2 , , αn−1 ) = (αk − αj )2 Dễ thấy αj phân biệt 1≤j≤k≤n n−1 ∆(1, α , α ) 6= Biến đổi tiếp kết ta có: Q Q (αk − αj )2 = (−1)n(n−1)2 (αj − αk )(αk − αj ) 1≤j