Lý thuyết sóng nhỏ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ THỊ THỦY LÝ THUYẾT SĨNG NHỎ Chun ngành: TỐN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN MINH THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! Mục lục Mục lục i Lời cảm ơn iii Mở đầu 1 Nhập môn lý thuyết sóng nhỏ 1.1 Sự cục hóa tần số thời gian 1.2 Các phép biến đổi sóng nhỏ: Sự giống khác với 1.3 1.4 biến đổi Fourier dạng cửa sổ Các loại biến đổi sóng nhỏ khác 1.3.1 Biến đổi sóng nhỏ liên tục 1.3.2 Các khung biến đổi sóng nhỏ dư riêng biệt 1.3.3 Các sở sóng nhỏ trực chuẩn: Phân tích đa phân giải 12 Tín hiệu khơi phục tín hiệu 20 1.4.1 Tín hiệu 20 1.4.2 Biến đổi Fourier 1.4.3 Xấp xỉ 22 20 Ứng dụng wavelets vào xử lý ảnh 2.1 37 Phân loại kỹ thuật nén 38 2.1.1 Nén tổn hao không tổn hao: 38 2.1.2 Mã hóa dự đốn mã hóa dựa phép biến đổi: 39 2.1.3 Mã hóa băng con: 39 2.2 Tiêu chuẩn đánh giá chất lượng mã hóa ảnh 39 2.3 Chuẩn nén ảnh tĩnh dựa biến đổi sóng nhỏ - JPEG2000 40 2.3.1 Lịch sử đời phát triển chuẩn JPEG2000: 40 i 2.3.2 Các tính JPEG2000: 40 2.3.3 Các bước thực nén ảnh theo chuẩn JPEG2000: 41 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 ii Lời cảm ơn Trong suốt q trình làm luận văn, tác giả ln nhận hướng dẫn giúp đỡ TS Nguyễn Văn Minh Thầy giành nhiều thời gian bảo tận tình hướng dẫn giải đáp thắc mắc tơi suốt q trình làm luận văn Tác giả xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy kính chúc thầy ln ln mạnh khỏe Tác giả xin cảm ơn quý thầy, khoa Tốn - Tin, viện Tốn học, phịng Đào tạo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên thầy cô tham gia giảng dạy khóa cao học 2012 - 2014, lời cảm ơn sâu sắc công lao dạy dỗ mang đến cho tơi nhiều kiến thức bổ ích khơng khoa học mà sống Tác giả xin chân thành cảm ơn anh chị em học viên lớp Cao học toán K6 bạn bè đồng mơn giúp đỡ tác giả q trình học tập trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Ngun q trình hồn thiện luận văn thạc sĩ Cuối cùng, xin cảm ơn bố mẹ Nhờ có bố mẹ khơng quản gian khó, vất vả sớm khuya tạo điều kiện tốt để có thành ngày hơm Thái Nguyên, tháng - 2014 Người Viết Luận Văn Đỗ Thị Thủy iii Mở đầu Lý thuyết sóng nhỏ môn khoa học phát triển gần ngành toán học ứng dụng Tên chúng đời cách gần thập kỷ (Morlet, Arens, Fourgeau Giard (1982), Morlet (1983), Grossmann Morlet (1984)) Trong 30 năm qua, từ đời sóng nhỏ thu hút đươc nhiều ý có bước phát triển nhanh chóng Có số lý dẫn đến thành công chúng Một mặt, khái niệm sóng nhỏ xem xét tổng hợp ý tưởng mà bắt nguồn suốt khoảng thời gian qua ngành kỹ thuật (subband coding), vật lý (tình trạng gắn kết, nhóm renormalization) ngành tốn học (nghiên cứu tốn từ Calderón Zygmund) Là kết nguồn gốc liên quan đến lĩnh vực học thuật, sóng nhỏ thu hút nhiều nhà khoa học kỹ sư nhiều lĩnh vực khác Mặt khác, sóng nhỏ cơng cụ tốn học đơn giản mà có nhiều ứng dụng Sóng nhỏ có ứng dụng lý thú xử lý tín hiệu Mục đích đề tài luận văn nhằm tìm hiểu giới thiệu lý thuyết sóng nhỏ ứng dụng Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương trình bày giới thiệu nhìn tổng quan khía cạnh biến đổi sóng nhỏ là: Sự cục hóa tần số thời gian; biến đổi sóng; loại biến đổi sóng nhỏ khác nhau; tín hiệu khơi phục tín hiệu Chương trình bày ứng dụng wavelets vào xử lý ảnh Thái Nguyên, tháng năm 2014 Học viên Đỗ Thị Thủy Chương Nhập mơn lý thuyết sóng nhỏ Các phép biến đổi wavelet (sóng nhỏ) cơng cụ chia nhỏ số liệu, hàm số toán tử thành phần khác sau nghiên cứu thành phần với độ phân giải phù hợp với quy mơ Tiền thân kỹ thuật phát minh cách độc lập toán học túy (Nhận biết độ phân giải Calderón phân tích hàm điều hồ - xem ví dụ, Caderón (1964)), vật lý học (trạng thái quán (ax + b) - nhóm học lượng tử, lần xây dựng Aslaksen Klauder (1968) liên kết với nguyên tử hidrô Hamilton Paul (1985)) kỹ thuật (phục hồi lại lọc QMF Esteban Galland (1977) sau lọc QMF với tính chất phục hồi xác Smith Barnwell (1986), Veterli (1986) kỹ thuật điện, sóng nhỏ đề xuất để phân tích liệu địa chấn J.Morlet (1983)) Nhiều năm qua cho thấy tổng hợp tất phương pháp khác coi tiềm cho tất lĩnh vực liên quan đến Chúng ta xem xét khn khổ phân tích tín hiệu Các phép biến đổi sóng nhỏ tín hiệu phát triển thời gian (VD: Các biên độ áp lực lên màng nhĩ, ứng dụng cho âm thanh) phụ thuộc vào hai biến: Thang (hoặc thang tần số) thời gian Các sóng nhỏ cung cấp công cụ cho khoanh vùng tần số thời gian Phần đầu cho biết khoanh vùng tần số thời gian nghĩa lý lại quan tâm Các phần cịn lại mơ tả dạng khác sóng nhỏ 1.1 Sự cục hóa tần số thời gian Trong nhiều ứng dụng tín hiệu f (t) đưa (quan sát chúng, ta giả định t biến liên tục) mối quan tâm dung lượng khoanh vùng tần số thời gian Điều tương tự ký hiệu âm nhạc Ví dụ: Nó nói cho nhạc cơng biết nốt nhạc (bằng thông tin tần số) để chơi vào thời điểm Tiêu chuẩn biến đổi Fourier: (F f ) (ω) = √ 2π Z dte−iωt f (t), biểu diễn dung lượng tần số f , thông tin liên quan đến khoanh vùng thời gian, ví dụ: Những vụ nổ có tần số cao khơng thể đọc dễ dàng từ F f , khoanh vùng thời gian đạt việc thiết lập cửa sổ tín hiệu f , để cắt lát định vị rõ f sau dùng biến đổi Fourier: T win f (ω, t) =
Z dsf (s) g (s − t) e−tωs (1.1) Đây biến đổi Fourier dạng cửa sổ, kỹ thuật chuẩn cho khoanh vùng tần số thời gian.1 Nó chí cịn quen thuộc với phân tích tín hiệu phiên riêng biệt nó, t ω gán giá trị khơng gian quy (giá trị khoảng trống đặn) t = nt0 , ω = mω0 , m, n miền Z ω0 , t0 > cố định Vậy (1.1) trở thành: win Tm,n (f ) Z = dsf (s)g(s − nt0 )e−imω0 s (1.2) win (f ) tương Phương pháp minh họa hình 1.1: n cố định Tm,n ứng với hệ số Fourier f (·)g(· − nt0 ) Chẳng hạn, g hỗ trợ có giá win (f ) compact rõ ràng với lựa chọn thích hợp ω0 , hệ số Fourier T·,n đủ để mô tả cần thiết để tái tạo lại f (·)g(· − nt0 ) Thay đổi số lượng n để dịch chuyển “miếng” bước t0 bội số nó, cho phép win (f ) Có nhiều lựa chọn đề xuất cho chức phục hồi tất f từ Tm,n cửa sổ g phân tích tín hiệu, hầu hết số giá compact có tính trơn hợp lý Trong vật lý (1.1) có tính thống tới trạng thái biểu diễn; g ω,t (s) = eiωs g(s − t) thống trạng thái liên kết với nhóm Weyl - Heisenberg Trong trường hợp này, lựa chọn phổ biến Gaussian g Trong tất ứng dụng, g cho tập trung cao độ thời gian
tần số; g gˆ tập trung xung quanh giá trị 0, T win f (ω, t) giải thích "dung lượng" f gần thời điểm t gần tần số ω Hơn biến đổi Fourier dạng cửa sổ mô tả f mặt phẳng tần số thời gian Hình 1.1: Fourier dạng cửa sổ: Hàm f (t) bội số với cửa sổ chức hệ số Fourier tích f (t) g (t); qui trình sau lặp lặp lại cho dịch chuyển cửa sổ g (t − t0 ) , g (t − 2t0 ) 1.2 Các phép biến đổi sóng nhỏ: Sự giống khác với biến đổi Fourier dạng cửa sổ Các biến đổi sóng nhỏ cung cấp tần số thời gian tương tự với vài khác biệt quan trọng Các công thức biến đổi sóng nhỏ tương tự với (1.1) (1.2) là:   Z t−b −1/2 wav (T f ) (a, b) = |a| dtf (t) ψ (1.3) a wav Tm,n (f ) = −m/2 a0 Z dtf (t) ψ a−m t − nb0
(1.4) Trong hai trường hợp, cho ψ thỏa mãn Z dtψ (t) = (1.5) Cơng thức (1.4) có từ (1.3) cách giới hạn a, b từ giá trị m riêng biệt: a = am , b = nb0 a0 trường hợp này, với m, n miền Z, a0 > 1, b0 > cố định Một điểm giống sóng nhỏ biến đổi Fourier dạng cửa sổ là: Cả (1.1) (1.3) đưa tích f với họ chuẩn tắc hàm số ký hiệu g ω,t (s) = eiωs g(s − t) (1.1) ψ a,b (s) = |a|−1/2 ψ a−b a
(1.3) Các hàm ψ a,b gọi “sóng nhỏ”; hàm ψ đơi gọi “sóng nhỏ mẹ” (lưu ý ψ g ngầm giả định có thật điều khơng cần thiết; liên hợp phức tạp phải giới thiệu

(1.1)(1.3)) Một lựa chọn tiêu biểu cho ψ ψ (t) = − t2 exp −t2 /2 , đạo hàm cấp hai Gaussian, gọi chức mũ Mexican giống mặt cắt ngang mũ Mexican Chức mũ Mexican xác định tốt cho thời gian tần số đáp ứng (1.5) Như biến đổi, ψ a,0 (s) = |a|−1/2 ψ (s/a) bao phủ phạm vi tần số khác (các giá trị lớn tham số tỷ lệ |a| tương ứng với tần số nhỏ thang lớn ψ a,0 , giá trị nhỏ |a| tương ứng với tần số cao thang chuẩn ψ a,0 ) Thay đổi tham số b cho phép di chuyển trung tâm khoanh vùng thời gian Mỗi ψ a,b (s) xác định xung quanh s = b Vậy (1.3), giống (1.1) cung cấp tần số thời gian f Sự khác biệt sóng nhỏ biến đổi Fourier dạng cửa sổ nằm hình dạng hàm phân tích g ω,t , ψ a,b thể hình 1.2 Hình 1.2: Hình dạng đặc trưng (a) biến đổi Fourier dạng cửa sổ hàm g ω,t (b) sóng nhỏ ψ a,b Các g ω,t (x) = e−iωx g (x − t) xem hình bao "đổ vào" g với tần số cao hơn, ψ a,b copi tất chức tương tự, dịch chuyển nén kéo dài Tất hàm g ω,t bao gồm chức hình bao g giống nhau, tịnh tiến đến giá trị thời gian thích hợp “đổ vào ” dao dộng với tần số cao Tất g ω,t không phụ thuộc vào giá trị ω có chiều rộng Ngược lại, ψ a,b có độ rộng thời gian phù hợp với tần số chúng: Tần số cao ψ a,b hẹp, tần số thấp ψ a,b rộng nhiều Kết phép biến đổi sóng nhỏ tốt so với biến đổi Fourier dạng cửa sổ để “thu nhỏ” tượng tần số cao diễn ngắn, chẳng hạn tín hiệu thời (hoặc điểm kì dị hàm số hạch tích phân) điều minh họa hình 1.3, hình cho thấy biến đổi Fourier dạng cửa sổ biến đổi sóng nhỏ tín hiệu f xác định f (t) = sin (2πv1 t) + sin (2πv2 t) + γ [δ (t − t1 ) + δ (t − t2 )] Trong thực tế tín hiệu khơng biểu diễn liên tục, mẫu thêm chức δ tính xấp xỉ cách thêm số với mẫu Trong mẫu ta có f (nτ ) = sin (2πv1 nτ ) + sin (2πv2 nτ ) + α [δn,n1 + δn,n2 ] Với ví dụ hình 1.3a, v1 = 500Hz, v2 = 1kHz, τ = 1/8, 00 giây(ví dụ: Chúng ta có 8,000 mẫu giây), α = 1.5, n2 − n1 = 32 (tương ứng với phần nghìn giây hai xung) đồ thị hàm phổ (đồ thị mođun biến đổi Fourier dạng cửa sổ) hình 1.3b, sử dụng cửa sổ Hamming chuẩn, với độ rộng tương ứng 3,2, 6,4, 12,8 mili giây (thời gian t thay đổi theo chiều ngang, tần số ω theo chiều dọc, đồ thị này, mức độ biến đổi sóng nhỏ: ψm,n xung quanh khoanh vùng thời gian a0 nb0 Chúng giả −t ˆ ψ có đỉnh tần số ±ξ0 (đây trường hợp sóng nhỏ mũ Mexico ψ (t) = (1 − t )e ); ˆ ψm,n (ξ) sau đạt đến đỉnh điểm am nb0 , trung tâm khoanh vùng f tần số (b) Biến đổi Fourier dạng cửa sổ: Xung quanh khoanh vùng gm,n thời gian nt0 , xung quanh tần số mω0 11 khôi phục f với độ xác cao), loại bỏ để giảm biến đổi với cần thiết (như cơng việc nén hình ảnh Mallat Zhong (1992)) Ở dạng riêng biệt biến đổi sóng nhỏ gần với "φ - biến đổi" Frazier Jawerth (1998) Sự lựa chọn sóng nhỏ ψ sử dụng biến đổi sóng nhỏ liên tục khung họ wavelet có dán nhãn riêng biệt giới hạn cần thiết điều kiện Cψ hữu hạn xác định (1.7) Vì lý thực tế, người ta thường chọn ψ để tập trung tốt thời gian miền tần số, điều để lại nhiều vấn đề Trong phần xem xét từ bỏ hầu hết vấn đề để xây dựng sở trực chuẩn sóng nhỏ 1.3.3 Các sở sóng nhỏ trực chuẩn: Phân tích đa phân giải Đối với số lựa chọn đặc biệt ψ a0 , b0 , ψm,n tạo thành sở trực chuẩn cho L2 (R) Đặc biệt, chọn a0 = 2, b0 = 1,2 tồn ψ , với tính chất khoanh vùng tần số thời gian tốt, ψm,n (x) = 2−m/2 ψ(2−m x − n) (1.9) tạo thành sở trực chuẩn cho L2 (R) (chúng ta giới hạn để a0 = 2) Ví dụ cũ hàm ψ mà ψm,n , xác định (1.9) tạo thành sở trực chuẩn cho L2 (R) hàm Haar:  0≤x<  ψ(x) =  −1 2 ≤x