Ứng dụng của lý thuyết nửa nhóm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ĐINH THỊ THỦY ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT NỬA NHÓM Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS CAO VĂN NUÔI Đà Nẵng - Năm 2013 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan công trình nghiên cứu riêng tơi Các kết quả, số liệu nêu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả luận văn ĐINH THỊ THỦY MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1  Lý chọn đề tài 1  Mục đích nghiên cứu 1  Nhiệm vụ nghiên cứu 1  Phương pháp nghiên cứu 1  Ý nghĩa khoa học thực tiễn 2  Nội dung luận văn 2  CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ 3  1.1 ĐẠI SỐ VÀ   ĐẠI SỐ 3  1.2 ĐỘ ĐO VÀ ĐỘ ĐO XÁC SUẤT 5  1.3 CÁC TÍNH CHẤT CỦA XÁC SUẤT 10  1.4 XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN 12  1.5 QUÁ TRÌNH MARKOV 15  CHƯƠNG 2: NỬA NHĨM VÀ TỐN TỬ CỰC VI 18  2.1 NỬA NHÓM 18  2.2 NỬA NHĨM TỐN TỬ CO 20  2.3 TOÁN TỬ CỰC VI 21  2.4 GIẢI THỨC CỦA NỬA NHÓM 23  CHƯƠNG 3: ĐẶC TRƯNG CỦA NỬA NHĨM SINH BỞI TỐN TỬ CỰC VI 29 3.1 ĐỊNH LÝ HILLE YOSIDA 29  3.2 HÀM CHUYỂN MARKOV CÁC ĐIỀU KIỆN LIÊN TỤC 33  3.3 NỬA NHÓM MARKOV CHUẨN TRÊN C(S) 38  3.4 MỘT SỐ VÍ DỤ 43  KẾT LUẬN 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO 47 QUYÊT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN THẠC SĨ (BẢN SAO) MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Hiện nay, vấn đề nửa nhóm ứng dụng lĩnh vực tốn học khác hướng nghiên cứu lớn toán học đại Nhiều nhà toán học giới tiếp tục nghiên cứu phát triển vấn đề theo nhiều hướng khác Đặc biệt số nhà toán học quan tâm nghiên cứu đến lý thuyết nửa nhóm nói chung, lý thuyết nửa nhóm tốn tử tuyến tính nói riêng như: E Hille, K Yosida, R Phillips, Từ đưa đến kết hợp hay lý thuyết tiếng “xích Markov”, hàm chuyển Markov, mà ứng dụng gắn liền với môn vật lý, xác suất, Với nội dung thú vị nửa nhóm lý thuyết xác suất đại, tơi mạnh dạn chọn đề tài “Ứng dụng lý thuyết nửa nhóm” làm luận văn tốt nghiệp bậc cao học Mục đích nghiên cứu Luận văn nghiên cứu nửa nhóm tốn tử tuyến tính ứng dụng số lĩnh vực xác suất đại Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn trình bày cách hệ thống kết ứng dụng lý thuyết nửa nhóm môt số lĩnh vực xác suất Phương pháp nghiên cứu a Nghiên cứu lý luận Nghiên cứu số tài liệu đại số giải tích hàm xác suất, để từ nghiên cứu sâu ứng dụng lý thuyết nửa nhóm nửa nhóm tốn tử tuyến tính b Nghiên cứu thực tế Đầu tiên, tìm hiểu lý thuyết nửa nhóm tốn tử tuyến tính, tốn tử liên tục mạnh, tốn tử cực vi, … Từ ứng dụng chúng chuỗi Markov ứng dụng thực tiễn khác Ý nghĩa khoa học thực tiễn Kết luận văn tài liệu ứng dụng nửa nhóm số lĩnh vực lý thuyết xác suất đại Nội dung luận văn Mở đầu Chương 1: Các kiến thức sở 1.1 Đại số   đại số 1.2 Độ đo độ đo xác suất 1.3 Các tính chất xác suất 1.4 Xác suất có điều kiện 1.5 Q trình Markov Chương 2: Nửa nhóm tốn tử cực vi 2.1 Nửa nhóm 2.2 Nửa nhóm toán tử co 2.3 Toán tử cực vi 2.4 Giải thức nửa nhóm nửa nhóm Chương 3: Đặc trưng nửa nhóm tốn tử cực vi 3.1 Định lý Hille Yosida 3.2 Hàm chuyển Markov Các điều kiện liên tục 3.3 Nửa nhóm Markov chuẩn C(S) 3.4 Một số ví dụ Kết luận CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 ĐẠI SỐ VÀ   ĐẠI SỐ Định nghĩa 1.1.1 Một lớp  tập tập hợp X gọi đại số nếu: a) X  , với A  AC  X \ A  , b) Với họ hữu hạn tùy ý A1 , A2 , , An  n  Ai   i 1  gọi  – đại số tập hợp X thỏa mãn hai điều kiện (a) (b) với họ đếm A1 , A2 ,    Ai   n 1 Cặp (X,  )   – đại số tập hợp X đươc gọi không gian đo Mỗi tập hợp A gọi tập hợp đo Nhận xét 1.1.1 Mỗi   đại số đại số Chứng minh Thật vậy, giả sử    đại số A1 , A2 , , An   Đặt An 1  An     Khi tập hợp n n i 1 j 1  Ai   Aj  M Vậy M đại số Từ (a) (b) suy tập hợp rỗng phần tử đại số M Định lý 1.1.1 Nếu  đại số thì: a) Giao pt ( x, E ) họ hữu hạn tập hợp thuộc  tập thuộc  b) Hiệu hai tập thuộc  tập thuộc  Chứng minh a) Giả sử A1 , A2 , , An   tập thuộc  Theo công thức De Morgan ta có n n i 1 i 1  Ai  ( AiC )C   b) Nếu A, B  A \ B  A  BC   (Vì BC  ) Hiển nhiên định lý    đại số Định lý 1.1.2 Giao họ đếm tập hợp thuộc   đại số  tập hợp thuộc  Chứng minh  C   Nếu A1 , A2 ,  thì:  An    AnC    Do n 1  n1    An   n 1 Định lý 1.1.3 Giả sử  họ không rỗng tập hợp tập hợp X Khi đó: a) Tồn đại số nhỏ  () tập hợp X chứa  b) Tồn   đại số nhỏ (  ) tập hợp X chứa  Chứng minh Ta chứng minh b), a) chứng minh tương tự Dễ dàng thấy giao tất   đại số tập hợp X chứa    đại số chứa  Giao khơng rỗng   đại số X tất tập X chứa  Ta kí hiệu giao (  ) Đó   đại số nhỏ chứa  ,    đại số tập hợp X chứa  theo định nghĩa (  ) ta có (  )   (  )    đại số nhỏ chứa  ( )     (  ) 1.2 ĐỘ ĐO VÀ ĐỘ ĐO XÁC SUẤT a Độ đo Định nghĩa 1.2.1 Ta bổ sung cho tập hợp số thực không âm [0;  ) phần tử  kí hiệu [0;  ] Tập hợp gọi tập hợp số thực không âm mở rộng Hai phép cộng nhân với phần tử  thứ tự [0;  ] quy định sau:  a   với a  [0;  ]    a     với  a    neáu  a    a·  ·a   0 neáu a  Chú ý đẳng thức a  b  b  c kéo theo đẳng thức b  c  a   Định nghĩa 1.2.2 Độ đo Giả sử    đại số tập hợp tập hợp X Hàm tập  :   [0,  ] gọi độ đo nếu: 1)  ( )  0,  ( A)  0, A  2)    cộng tính, tức A1 , A2 , họ đếm   n 1 n 1 tập hợp đôi rời thuộc  thì:  (  An )    ( An ) Bộ ba ( X , ,  )    đại số tập hợp tập hợp X,  :   [0,  ] độ đo, gọi không gian đo Nếu A   số  ( A) gọi độ đo tập hợp A Độ đo  gọi hữu hạn  ( X )    Độ đo  gọi   hữu hạn X   X n , X n  ,  ( X n )   với n 1 số tự nhiên n Hiển nhiên độ đo hữu hạn   hữu hạn Định lý 1.2.1 Giả sử  độ đo xác định   đại số  Khi đó: a)  cộng tính hữu hạn (gọi tắt cộng tính), tức A1 , , Am  m    phần tử đôi rời  m  m    Ai     ( Ai )  i 1  i 1 b) Nếu A, B  A  B  ( A)   ( B ) Nếu  ( A)    ( B \ A)   ( B )   ( A)   n 1 n 1 c) Nếu  An n*    (  An )    ( An ) Chứng minh a) Đặt Am 1  Am 12    Do tính   cộng tính  , ta có: m   m m i 1 i 1 n 1 i 1 i 1  ( Ai )   ( An )    ( An )    ( Ai )   ()   ()     ( Ai ) b) Ta có B  A  ( B \ A) 33 Bây ‖Tt ( ) A x  Tt Ax‖‖Tt Ax  Tt ( ) Ax‖‖Tt ( ) Ax  Tt ( ) A x‖ Số hạng tiến tới    theo t bị chặn Số hạng thứ hai bị chặn ‖Ax  A x‖ Tt ( ) toán tử co, giới hạn tiến tới    Cho nên: lim Tt ( ) A x  Tt Ax   với x  A cố định hội tụ theo t khoảng bị chặn Như kết ta chuyển qua giới hạn (17) để có được: t Tt x  x   Ts Axds Chia c ho t cho t  0 ta có: t Tt x  x  lim  Ts Axds  Ax t t 0 t 0 t A ' x  lim (với T0  I ) Từ A  A A ' x  Ax x  A , nói theo cách khác A' mở rộng A Từ A' toán tử cực vi {Tt } ,  I  A ' ánh xạ – từ A lên V Nhưng  I  A trùng với  I  A ' A ánh xạ từ miền xác định nhỏ lên V điều kiện (ii) Điều kéo theo A '  A A' = A Định lý chứng minh hoàn toàn 3.2 HÀM CHUYỂN MARKOV CÁC ĐIỀU KIỆN LIÊN TỤC Trước nghiên cứu vấn đề liên quan đến hàm chuyển Markov, ta xây dựng hai nửa nhóm tốn tử co {Tt } {U t } tổng quát Cho pt hàm chuyển Markov khơng gian đo ( S ,  ) cho F(S) không gian Banach với chuẩn supremum Cho f  F ( S ) , ta xác định: 34 Tt f  ( x)  S pt ( x, dy ) f ( y ) Rõ ràng với t  , Tt toán tử co từ F vào F, thật vậy: + Tt tuyến tính || Tt f ||  || f || với f  F + Tt  s f  ( x)   pt  s ( x, dy ) f ( y )    pt ( x, du ) ps (u, dy )   pt ( x, du )(Ts f )(u )  Tt Ts f  ( x)  Tt  s  Tt Ts + Hiển nhiên ta có T0  I Vậy họ toán tử Tt  thỏa điều kiện nửa nhóm tốn tử co Bên cạnh đó, cho M ( S ) không gian Banach đo hữu hạn ( S ,  ) với chuẩn biến phân toàn phần Với   M ( S ) , ta xác định: (U t  )( E )    (dx) pt ( x, E ) S Ta dễ dàng thấy họ toán tử U t ; t  0 (với U  I ) nửa nhóm tốn tử co Bây ta quay trở lại việc nghiên cứu hàm chuyển Markov Ý tưởng dùng để áp dụng lý thuyết tổng quát mà ta vừa phát triển nửa nhóm {Tt } {U t } tổng quát Phương trình vi phân mũ kết hợp với {Tt } {U t } gọi phương trình “tiến” “lùi” kết hợp với trình Markov Từ điều kiện (iii) Định nghĩa II.2.1 (định nghĩa nửa nhóm tốn tử co), ta có‖Tt x  x‖ t  0 với x V (18) 35 Với nửa nhóm Markov {Tt } tác động không gian F(S) gồm hàm bị chặn đo S, (18) trở thành: lim sup |  pt ( x, dy ) f ( y )  f ( x ) | f  F t 0 xS S Đặc biệt, chọn f  { x} ta nhận lim pt ( x,{x})  với moãi x  S t  0 (19) Vấn đề 3.2.1 Cho Tt  nửa nhóm F(S) bao gồm trình Chứng tỏ Tt  liên tục mạnh t = 0, toán tử cực vi tốn tử A bị chặn xác định bởi: Af ( x)    p ( s, dy )  f ( y )  f ( x)  với f  F S Ta thấy nửa nhóm U t  M(S) liên tục mạnh ta tính tốn tử cực vi Mỗi nửa nhóm, ta thấy, kết hợp với phương trình vi phân “mũ” du Au dt (20) A tốn tử cực vi nửa nhóm Với nửa nhóm Tt  trên, phương trình (3) trở thành d ( x, t )    p( x, dy )[ ( y , t )  ( x, t )] S dt (21) Phương trình (21) phương trình lùi Kolmogorov cho trình Poisson – đa hợp, tất nhiên có nghiệm  ( x, t )  Tt f ( x ) với f  F Hàm thỏa mãn phương trình điều kiện ban đầu  ( x,0)  f ( x ) , thu hẹp cộng tính Phương trình tiến thu tương tự từ tốn tử cực vi nửa nhóm {U (t )} 36 Do ta thừa nhận từ S không gian metric    trường tập hợp Borel Bản thân metric kí hiệu  Định nghĩa 3.2.1 Một hàm chuyển Markov ( S ,  ) hàm Feller Tt f , xác định bởi: Tt f ( x )   pt ( x, dy ) f ( y ) S hàm liên tục f bị chặn liên tục Cho C(S) không gian Banach hàm liên tục bị chặn với chuẩn “Tính chất Feller” tương đương với khẳng định C(S) không gian bất biến F(S) với tốn tử {Tt } Ta nói độ đo pt ( x,.) phụ thuộc vào liên tục theo x không gian topo yếu thông thường, với t  cố định Hầu hết tất trình Markov phát sinh “một cách tự nhiên” 1 hay  n có tính chất Feller Điều kiện Feller địi hỏi hàm chuyển pt ( x, E ) phải liên tục theo x kéo theo liên tục theo t Tuy nhiên, dễ dàng nhiều Tt  liên tục theo t C so với F; đặc biệt , điều kiện (19) khơng cịn cần thiết hàm { x} thường khơng liên tục Bây ta tìm hiểu điều kiện liên quan với liên tục theo t, theo nghĩa thích hợp với nửa nhóm C(S) Chú ý 3.2.1 Ta viết N  ( x )  { y  S ,  ( y , x )   } với vùng lân cận mở x Định nghĩa 3.2.2 Một hàm chuyển pt ( S ,  ) gọi liên tục ngẫu nhiên nếu: lim pt ( x, N  ( x ))  với   t  0 (22) 37 Nếu giới hạn (22) thỏa mãn theo x với   cố định, pt gọi liên tục ngẫu nhiên Ta nêu mối quan hệ tính chất với toán tử {Tt } : Mệnh đề 3.2.1 [13] Hàm chuyển pt ngẫu nhiên liên tục họ toán tử liên hợp {Tt } thỏa: lim Tt f ( x )  f ( x ) với x  S, f  C ( S ) t  0 (23) Mệnh đề 3.2.2 [13] Cho C0 ( S ) tập hợp hàm liên tục đều, bị chặn S Nếu pt liên tục ngẫu nhiên đều, giới hạn (23) thỏa mãn theo x f  C0 Mặt khác, với điều kiện ‖Tt f  f ‖ t  0 f  C0 Nếu S compact, C0  C ta có hệ sau đây: Hệ 3.2.1 [13] Nếu hàm chuyển pt liên tục ngẫu nhiên đều, khơng gian trạng thái S compact thì: lim ‖Tt f  f ‖ với f  C ( S ) t  0 Định nghĩa 3.2.3 Một hàm chuyển liên tục ngẫu nhiên Feller không gian – trạng thái metric compact S gọi hàm chuyển chuẩn tắc Mệnh đề 3.2.3 [4] Một hàm chuyển Feller ngẫu nhiên không gian trạng thái compact tự động liên tục ngẫu nhiên Ta thấy tính liên tục ngẫu nhiên pt kéo theo hội tụ điểm Tt f ( x ) tới f ( x ) với f  C ( S ) tất nhiên hàm {Tt f } bị chặn sup f Khi {Tt } tác động lên hàm liên tục không gian compact, hội tụ điểm bị chặn tương đương với hội tụ topo yếu 38 Mệnh đề 3.2.4 [13] Cho {Tt } họ toán tử thỏa mãn (i) (ii) Định nghĩa II.2.1 cộng thêm điều kiện phụ sau: (iii’) lim t  0 x * (Tt x )  x *( x ) với x V , x* V * Khi điều kiện (iii) thỏa mãn 3.3 NỬA NHĨM MARKOV CHUẨN TRÊN C(S) Thuật ngữ “nửa nhóm Markov chuẩn” liên quan tới nửa nhóm tốn tử tác động lên C(S) (Không gian hàm liên tục tập compact S) mà đưa theo cách thông thường từ hàm chuyển Markov chuẩn tắc S Định lý 3.3.1 Một nửa nhóm (co, liên tục mạnh) tốn tử C(S) nửa nhóm Markov chuẩn tắc với t > toán tử Tt thỏa mãn điều kiện sau: (i) f  C ( S ) f  kéo theo Tt f  , (ii) Tt  (Ở “1” kí hiệu hàm với giá trị điểm 1) Chứng minh Ta biết hàm chuyển chuẩn tắc S sinh nửa nhóm co liên tục mạnh, tính chất (i) (ii) rõ ràng thỏa mãn Ta phải chứng minh điều ngược lại Ta cố định t > x  S , xác định: F ( f )  Tt f ( x ), f  C ( S ) Rõ ràng F phiếm hàm tuyến tính C(S), dễ dàng thấy bị chặn (chuẩn 1) khơng âm Theo định lý biểu diễn Riesz, hàm đặt tích phân gắn tương ứng độ đo Borel không 39 âm, hữu hạn S Tất nhiên phiếm hàm F độ đo mà tương ứng phụ thuộc vào việc chọn t x; ta kí hiệu pt ( x,.) , ta có: Tt f ( x )  F ( f )   pt ( x, dy ) f ( y ) S ta phải pt ( x,.) hàm chuyển Markov chuẩn tắc Do pt ( x,.) độ đo không âm, hữu hạn, (ii) rõ ràng kéo theo tổng khối lượng Vì T0  I nên độ đo p0 ( x,.) phải khối lượng đơn vị điểm x Tt f ( x ) liên tục theo x, tính chất Feller pt thỏa mãn, điều kéo theo pt (., E ) đo với tập Borel E Ta có: S pt  s ( x, du) f (u)  Tt  s f ( x )  Tt Ts f ( x )   pt ( x, dy ){ pS ( y , du ) f (u )} S S   { pt ( x, dy ) pS ( y , du )} f (u ) S S Theo tính chất nửa nhóm {Tt } định lý Fubini Vì điều với f  C ( S ) , kéo theo: pt  s ( x,.)   pt ( x, dy ) ps ( y ,.) S Nghĩa là, phương trình Chapman– Kolmogorov thỏa mãn Như pt hàm chuyển Feller Ta biết Tt f  f t  0 với f  C ( S ) Ngay hội tụ hội tụ theo điểm, điều kéo theo tính liên tục ngẫu nhiên cho pt mệnh đề III.2.1 Khơng sử dụng mệnh đề III.2.3 ta tiếp tục sau: Xác định với    1   ( x, y ) với  ( x, y )   f ( x, y )    0 với  ( x, y )   40 Từ bất đẳng thức tam giác ta có, với x z, max f ( x, y )  f ( z, y )  y  ( x, z )  Với   , S compact ta chọn tập hữu hạn {x1 , x2 , , xn } cho x  S cách xi khoảng cách khơng  Do đó: min‖ f ( x,.)  f ( xi ,.)‖ 1i  n  với x  S Bây ta viết:  pt ( x, N  ( x ))    pt ( x, dy ) f ( x, y ) S  f ( x, x )  Tt f ( x, x ) ‖ f ( x,.)  Tt f ( x,.)‖  2‖ f ( x,.)  Tt f ( xk ,.)‖‖Tt f ( x,.)  f ( xk ,.)‖ Với việc chọn k hợp lý, số hạng biểu thức cuối bị chặn không   Số hạng thứ tiến tới t  với k, với giá trị t bé Do  pt ( x, N  ( x ))   với x với t bé, điều chứng minh tính liên tục ngẫu nhiên Tiếp theo ta đưa phiên định lý Hille – Yosida trường hợp đặc biệt sau đây: Định lý 3.3.2 Toán tử tuyến tính A với tập xác định   C ( S ) toán tử cực vi nửa nhóm chuẩn C(S) điều kiện sau thỏa mãn: (i)  trù mật C(S), 41 (ii) Với  lớn g  C ( S ) , phương trình  f  Af  g có nghiệm f   , (iii) Nếu f   f đạt giá trị cực đại x0 , Af ( x0 )  , (iv) Hàm   A1  Chứng minh Chứng minh điều kiện cần điều kiện dễ dàng Thực ra, (i) (ii) điều kiện để A sinh nửa nhóm C(S), (iv) rõ ràng từ pt ( x,.) độ đo xác suất cho Tt  Như với (iii), ta có: Tt f ( x0 )   pt ( x0 , dy ) f ( y )  f ( x0 ) S Trong f đạt giá trị cực đại x0 Từ Tt f ( x0 )  f ( x0 )  f   , ta phải có Af ( x0 )  Để chứng minh điều kiện đủ, ta sử dụng định lý Hille – Yosida để A sinh nửa nhóm tốn tử co C(S) Đầu tiên, ta thử nghiệm f điều kiện (ii) Giả sử ngược lại,  h  Ah với h   Cho h đạt cực đại x0 Ta có  h( x0 )  Ah( x0 )  với x Lý luận tương tự cho –h, ta có h = nghiệm  f  Af  g Giả sử nghiệm phương trình  f  Af  g đạt giá trị cực đại x0 Khi với x bất kì:  f ( x )   f ( x0 )   f ( x0 )  Af ( x0 )  g ( x0 ) ‖g‖ Tương tự với –f –g , ta có ‖ f ‖‖g‖, kiểm tra lại điều kiện cần thứ để áp dụng định lý Hille – Yosida Do ta kết luận tốn tử A thực sinh nửa nhóm co C(S); ta gọi {Tt } Tiếp theo, ta biết vấn đề giá trị ban đầu: 42 du  Au dt u(0)  Có nghiệm bị chặn u(t )  Tt Ta thấy u(t )  nghiệm, A1  (iv) Như Tt  với t Ta cịn phải chứng minh Tt khơng âm sau ta áp dụng Định lý III.3.1 Đầu tiên ta R    I  A 1 không âm Giả sử  f  Af  g g  với x Nếu f đạt giá trị lớn x0 , ta có:  f ( x )   f ( x0 )   f ( x0 )  Af ( x0 )  g ( x0 )  Như g  kéo theo f  Mà f  R g điều có nghĩa tốn tử R bảo tồn dương Tính chất tương tự cho Tt Trong chứng minh định lý Hille – Yosida, ta xây dựng toán tử:  Tt ( )  e  t  n 0  t R  n n! Rõ ràng, R toán toán tử dương, tương tự Tt ( ) Tóm lại, từ Tt  lim Tt ( ) , ta kết luận Tt dương   Ta A sinh nửa nhóm {Tt } nửa nhóm thỏa mãn giả thiết định lý III.3.1 Như {Tt } chuẩn tắc định lý III.3.2 chứng minh Định lý 3.3.3 Giả sử A tốn tử cực vi nửa nhóm chuẩn tắc {Tt } C(S) giả sử với f  C ( S ) : Tt f ( x )  f ( x )  g ( x ) (24) t 0  t lim 43 tồn theo điểm (với x  S ) Khi đó, g liên tục hội tụ (24) phải đều, f  A Chứng minh ~ Cho   { f  C ( S )} : giới hạn (24) tồn g liên tục, viết ~ ~ ~ A f  g f   Rõ ràng A mở rộng toán tử cực vi A Cho ~ nên  I  A mở rộng  I  A ~ ~ Ta  I  A ánh xạ –  Giả sử ~ ~ f    f  A f  cho f đạt giá trị cực đại x0 Dễ dàng thấy ~ A f ( x0 )  , f ( x )  với x Lặp lại lý luận với –f, ta có ~ f   I  A ánh xạ – ~ Mà  I  A ánh xạ từ A lên C(S);  I  A mở rộng ánh ~ xạ – Rõ ràng điều kéo theo A   3.4 MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ 3.4.1 Ví dụ bao gồm tất toán tử cực vi toán tử bị chặn Trường hợp bị chặn đơn giản có lẽ chuyển động tất định với vận tốc số v Ta lấy S  R * pt *( x,{x  vt})  , Tt f ( x )  f  x  vt  với f  F ( S ) Rõ ràng f khả vi, ta có: Tt f ( x )  f ( x )  vf '( x ) t 0  t lim Ta có C1  A C1  { f : f , f '  C ( S )} với f  C1 ta có Af  vf ' Chú ý f '( ) phải f bị chặn, đồng ý cần phải có Af ( )  trạng thái "  " thỏa mãn pt ( ,{})  với t  ) 44 A  C1 Từ  I  A mở rộng Bây ta chứng minh (  v d )  I  A ánh xạ từ A lên C theo ánh xạ – một, đủ để dx (  v d ) thực ánh xạ từ C1 lên C Như vậy, với giá trị lớn  dx tất g  C ta phải rằng:  f ( x )  vf '( x )  g ( x ) (25) có nghiệm f  C1 Nghiệm tổng quát (1) là: x f ( x)  e v u   x v  ( ) K e g u du   v 0   với K số tùy ý Khi x   ,biểu thức dấu ngoặc phải tiến tới khơng có thay đổi với f  C ( S ) ta phải chọn:   K  e v u v g (u )du Từ dễ dàng thấy với việc chọn K thế, f thật thuộc C1 ; (25) có nghiệm C1 C1  A Ví dụ 3.4.2 Ta biết hàm chuyển chuyển động Brown chuẩn tắc R * Ta tính tốn tử cực vi Để bắt đầu, f  C2  { f : f , f ' f ''  C ( R*)} , ta có: Tt f ( x )  f ( x )  t t e t     y  x 2 e 2t  f ( y )  f ( x ) dy Khi ta sử dụng định lý Taylor mở rộng: f ( y )  f ( x )  f '( x )( y  x )  f ''( x )( y  x )2  r ( x, y )( y  x )2 Khi r ( x, y )  y  x , ta có: 45 Tt f ( x )  f ( x ) 1  f ''( x )  t t e t   r( x, y )( y  x )   y  x 2 e 2t dy Do r ( x, y ) bị chặn max( f '') tiến tới y gần x , ta suy ra: Tt f ( x )  f ( x )  f ''( x ) t 0  t lim Từ f ''  C , ta có hội tụ đều, f A Af  f '' Như  d2  vậy, C2  A A mở rộng    dx  Thật vậy, C2  A Ta đơn giản cần thử lại phương trình:  f ( x)  f ''( x )  g ( x ) có nghiệm f  C2 với g  C ,   Thay đổi ký hiệu chút, ta xem phương trình sau tương đương f ''  f  g Nghiệm tổng quát là: f ( x)  K1e x  K 2e  x  x  0 sinh( x  u ) g (u )du (26) với K1 K2 số tùy ý Từ điều ta kết luận C2  A 46 KẾT LUẬN Qua bốn tháng thực đề tài “Ứng dụng lý thuyết nửa nhóm”, luận văn tơi hồn thành cơng việc sau đây: Luận văn trình bày kiến thức sở   đại số độ đo, từ xây dựng không gian xác suất với độ đo xác suất, tính chất xác suất, xác suất có điều kiện,… để phục vụ cho việc nghiên cứu ứng dụng nửa nhóm sau Luận văn trình bày khái niệm trình Markov, chuẩn bị cho việc nghiên cứu đặc trưng nửa nhóm tốn tử Luận văn nêu lại định nghĩa, tính chất nửa nhóm, từ xây dựng nửa nhóm tốn tử co, chứng minh nửa nhóm sinh toán tử cực vi, đồng thời thiết lập giải thức nửa nhóm Sau xây dựng xong nửa nhóm tốn tử nêu, luận văn nghiên cứu sâu đặc trưng nửa nhóm sinh tốn tử cực vi thông qua số vấn đề như: định lý Hille Yosida, hàm chuyển Markov với điều kiện liên tục theo nghĩa thích hợp với nửa nhóm nêu Cuối cùng, luận văn đưa số ví dụ để minh họa cho tính chất đặc trưng nửa nhóm sinh tốn tử cực vi Hy vọng đề tài tài liệu tham khảo cho học viên, sinh viên muốn tìm hiểu hay nghiên cứu nửa nhóm ứng dụng 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO  Tiếng Việt [1] Tô Văn Ban (2007), Xác suất thống kê trình ngẫu nhiên, Học viện kỹ thuật quân [2] Đậu Thế Cấp (2007), Giải tích tốn học, NXB Giáo Dục [3] Dương Tơn Đảm (2006), Q trình ngẫu nhiên, NXB Đại học quốc gia TP.Hồ Chí Minh [4] Phan Văn Hạp (1990), Giáo trình giải tích tóan học, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp [5] Nguyễn Hồng – Lê Văn Hạp, Giáo trình giải tích tốn học, Huế [6] Trần Lộc Hùng, Lý thuyết xác suất thống kê toán học, NXB Giáo Dục, Đà Nẵng [7] Nguyễn Xuân Liêm (2000), Topo đại cương, độ đo tích phân, NXB Đại học Sư phạm Hà Nội [8] Đặng Hùng Thắng (2007), Quá trình ngẫu nhiên tính tốn ngẫu nhiên, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [9] Nguyễn Duy Tiến (2000), Các mơ hình xác suất ứng dụng, NXB Đại học quốc gia Hà Nội  Tiếng Anh [10] A.N Shiryaev Springer, Probability second edition, translated by R.P.Boas [11] Billingsley.p (1968), Convergence of probability measures, Wiley, New York [12] Eugene Wong, Bruce Hajek, Sotchastic processes in engineering systems, Springer – Verlag, New York Berlin Heidelberg Tokyo [13] Jonn Lampers, stochastic processes springer, Verlag ... Markov Chương 2: Nửa nhóm tốn tử cực vi 2.1 Nửa nhóm 2.2 Nửa nhóm tốn tử co 2.3 Toán tử cực vi 2.4 Giải thức nửa nhóm nửa nhóm Chương 3: Đặc trưng nửa nhóm tốn tử cực vi 3.1 Định lý Hille Yosida... hàm chuyển Markov, mà ứng dụng gắn liền với môn vật lý, xác suất, Với nội dung thú vị nửa nhóm lý thuyết xác suất đại, mạnh dạn chọn đề tài ? ?Ứng dụng lý thuyết nửa nhóm? ?? làm luận văn tốt nghiệp... cứu lý luận Nghiên cứu số tài liệu đại số giải tích hàm xác suất, để từ nghiên cứu sâu ứng dụng lý thuyết nửa nhóm nửa nhóm tốn tử tuyến tính 2 b Nghiên cứu thực tế Đầu tiên, tìm hiểu lý thuyết