Một số phương pháp và kỹ thuật đếm cơ bản trong lý thuyết tổ hợp và áp dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Lê Quang Việt MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP VÀ KỸ THUẬT ĐẾM CƠ BẢN TRONG LÝ THUYẾT TỔ HỢP VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60460113 Người hướng dẫn khoa học GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU THÁI NGUYÊN - NĂM 2013 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! Mục lục Mở đầu Lời cảm ơn Các quy tắc đếm tổ hợp 1.1 Một số kiến thức tổ hợp 1.1.1 Tập hợp 1.1.2 Cơng thức tính lực lượng tập hợp 1.1.3 Công thức bao hàm loại trừ 1.2 Hai quy tắc phép đếm 1.2.1 Quy tắc cộng 1.2.2 Quy tắc nhân 1.3 Hoán vị 1.3.1 Hốn vị khơng lặp 1.3.2 Hốn vị có lặp 1.4 Chỉnh hợp 1.4.1 Chỉnh hợp không lặp 1.4.2 Chỉnh hợp có lặp 1.5 Tổ hợp 1.5.1 Tổ hợp không lặp 1.5.2 Tổ hợp có lặp 1.5.3 Khai triển lũy thừa nhị thức 1.5.4 Tính số phần tử tập hợp tập hợp Các phương pháp đếm sử dụng hàm sinh 2.1 Chuỗi lũy thừa hình thức 2.1.1 Định nghĩa 2.1.2 Các phép toán CN 2.2 Phương pháp đếm hàm sinh thông thường 6 10 10 12 14 14 16 17 17 19 20 20 21 22 23 27 27 27 28 30 2.3 2.2.1 Định nghĩa hàm sinh thường 2.2.2 Sử dụng hàm sinh thường để giải toán đếm Phương pháp đếm hàm sinh mũ 2.3.1 Định nghĩa hàm sinh mũ 2.3.2 Sử dụng hàm sinh mũ để giải toán đếm Phương pháp đếm công thức nghịch đảo 3.1 Công thức nghịch đảo đồng thức tổ hợp 3.2 Công thức nghịch đảo nhị thức 3.3 Công thức nghịch đảo Stirling 3.4 Công thức sàng Kết luận Tài liệu tham khảo 30 33 37 37 37 40 43 44 45 46 50 51 Mở đầu Trong lý thuyết tổ hợp phép đếm chiếm phần vơ quan trọng có ứng dụng vơ đa dạng Các phương pháp đếm số lượng phần tử tập hợp đóng vai trị quan trọng số môn khoa học, đặc biệt Tin học Tốn học ứng dụng Đối với chương trình tốn phổ thơng phương pháp đếm ln chun đề quan trọng cần thiết việc bồi dưỡng học sinh giỏi Toán bậc học phổ thơng, đồng thời ứng dụng đa dạng đem lại hấp dẫn nhiều đối tượng học sinh giáo viên nghiên cứu vấn đề Mục tiêu Luận văn " Một số phương pháp kĩ thuật đếm lý thuyết tổ hợp áp dụng" nhằm trình bày số phép đếm ứng dụng nhằm tạo đề tài phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh trung học phổ thông Luận văn bao gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo Chương Chương trình bày tóm tắt số kiến thức tổ hợp quy tắc phép đếm Trong chương trình bày số ví dụ tốn tính lực lượng tập hợp, toán khai triển nhị thức Chương trình bày phương pháp đếm hàm sinh thông thường phương pháp đếm hàm sinh mũ ví dụ áp dụng Chương trình bày phương pháp đếm cơng thức nghịch đảo đồng thức tổ hợp bao gồm công thức nghịch đảo nhị thức, nghịch đảo Stirling, công thức sàng ví dụ áp dụng Lời cảm ơn Trong suốt trình làm luận văn, nhận hướng dẫn giúp đỡ tận tình GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Trong q trình học tập tơi nhận quan tâm giúp đỡ giảng dạy nhiệt tình Thầy, Cơ dạy lớp cao học tốn K5B (2011 -2013), tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến Thầy, Cô Tôi xin chân thành cảm ơn Thầy cô BGH trường ĐH Khoa Học ĐH Thái Nguyên tạo kiều kiện thuận lợi cho suốt thời gian học cao học Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp q thầy, bạn đọc để luận văn hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn ! Hải phòng, tháng năm 2013 Người viết Luận văn Lê Quang Việt Chương Các quy tắc đếm tổ hợp 1.1 1.1.1 Một số kiến thức tổ hợp Tập hợp Khái niệm tập hợp Tập hợp ( gọi tập ) khái niệm tốn học, khơng định nghĩa Giả sử cho tập hợp A Để a phần tử tập hợp A, ta viết a ∈ A ( đọc a thuộc A) Để a không phần tử tập hợp A, ta viết a ∈ / A ( đọc a không thuộc A) Một tập hợp coi xác định ta tất phần tử Các cách xác định tập hợp: Tập hợp xác định hai cách sau: - Liệt kê chúng(thường dùng để biểu thị tập hữu hạn) Ví dụ: Tập số tự nhiên chẵn nhỏ 10 A = {0, 2, 4, 6, 8} - Chỉ tính chất đặc trưng chúng Ví dụ:  B = x ∈ Z|x2 − 3x + ≥ Tập - Tất phần tử tập B thuộc tập A ta nói tập B tập tập A viết B ⊆ A - Trường hợp B ⊆ A B 6= A B gọi tập không tầm thường (hay tập thực sự) tập A viết B ⊂ A Tập rỗng -Tập hợp rỗng (hay tập hợp trống) tập hợp không chứa phần tử thường ký hiệu ∅ - Quy ước tập rỗng tập Hợp, giao, hiệu phần bù hai tập hợp Giả sử có tập A, B - Tập hợp gồm phần tử thuộc tập A thuộc tập B gọi hợp tập A tập B ký hiệu A ∪ B A ∨ B - Tập hợp gồm phần tử thuộc đồng thời tập A tập B gọi giao tập A tập B ký hiệu A ∩ B A ∧ B - Tập hợp gồm phần tử thuộc tập A mà không thuộc tập B gọi hiệu tập A tập B Kí hiệu A\B - Trường hợp tập B tập tập A Hiệu tập A tập B gọi tập phần bù (hay phần bù) tập B (đối với tập A) ký hiệu hoặc CA (B) C (B) Lực lượng tập hợp Giả sử có tập A Số phần tử tập A gọi lực lượng tập A, ký hiệu |A| 1.1.2 Cơng thức tính lực lượng tập hợp Với hai tập hợp V1 , V2 ta có |V1 ∪ V2 | = |V1 | + |V2 | − |V1 ∩ V2 | (1.1) Với ba tập hợp V1 , V2 , V3 ta có |V1 ∪ V2 ∪ V3 | = |V1 | + |V2 | + |V3 | − |V1 ∩ V2 | − |V2 ∩ V3 | − |V1 ∩ V3 | + |V1 ∩ V2 ∩ V3 | (1.2) Tổng quát với tập tùy ý V1 , V2 , , Vn phương pháp quy nạp theo n (n ≥ 2) ta có cơng thức V = |V | − | | + | Vi ∩ Vj | − | V1 ∩ V2 ∩ V3 | − | V1 ∩ V2 ∩ V | Vi i i=1 i=1 i6=j − · · · − | Vn−2 ∩ Vn−1 ∩ Vn | + · · · + (−1)n | V1 ∩ V2 ∩ · · · ∩ Vn | (1.7) 10 Ví dụ 1.3 ([1], Chuyên đề chọn lọc tổ hợp toán rời rạc - Nguyễn Văn Mậu) Một Hội thao cấp Thị xã có mơn thi: Cầu lơng, bóng bàn, chạy cờ tướng Có 100 vận động viên tham gia Khi tổng kết, Ban tổ chức nhận thấy rằng: Mơn cầu lơng có 18 vận động viên tham gia, mơn bóng bàn có 26 vận động viên tham gia, mơn chạy có 19 vận động viên tham gia, mơn cờ tướng có 24 vận động viên tham gia; người tham gia cầu lơng bóng bàn; người tham gia cầu lông chạy; người tham gia cầu lơng cờ tướng; người tham gia bóng bàn chạy; người tham gia bóng bàn cờ tướng; người tham gia chạy cờ tướng; người tham gia đồng thời cầu lơng, bóng bàn, chạy; người tham gia cầu lơng, bóng bàn cờ tướng; người tham gia cầu lông, chạy cờ tướng; người tham gia bóng bàn, chạy tờ tướng; người tham gia đồng thời mơn Hội thao Hỏi có vận động viên không tham gia thi đấu môn Hội thao? Giải Dùng V để ký hiệu tập hợp vận động viên tham gia hội thao V1 tập hợp vận động viên tham gia môn cầu lông V2 tập hợp vận động viên tham gia môn bóng bàn V3 tập hợp vận động viên tham gia môn chạy V4 tập hợp vận động viên tham gia mơn cờ tướng Khi số vận động viên khơng tham gia mơn Hội thao lực lượng tập V1 ∩ V2 ∩ V3 ∩ V4 : V1 ∩ V2 ∩ V3 ∩ V4 = 100 − (18 + 26 + 19 + 24)+ +(5 + + + + + 3) − (2 + + + 4) + = 25 Vậy có 25 người khơng tham gia thi đấu môn Hội thao 1.2 1.2.1 Hai quy tắc phép đếm Quy tắc cộng Nội dung quy tắc: Giả sử có n hành động H1 , H2 , , Hn khơng hành động xảy đồng thời Trong hành động Hi có mi cách thực 11 (1 ≤ i ≤ n) Khi có m1 + m2 + · · · + mn cách thực hành động H: H1 xảy ra, H2 xảy , , Hn xảy Quy tắc cộng có chuyển sang ngơn ngữ tập hợp sau: Cho n tập hợp V1 , V2 , , Vn với |Vk | = mk (1 ≤ k ≤ n) ∀i, j(1 ≤ i, j ≤ n)Vi ∩ Vj = ∅ i 6= j Khi số cách thực hành động H1 , H2 , , Hn n S S P số cách chọn phần tử v thuộc nk=1 Vk | ni=1 Ak | = |Ak | k=1 Ví dụ 1.4 (Đề tuyển sinh vào trường ĐH Y Hà Nội - 1999) Có thể lập số chẵn gồm năm chữ số khác lấy từ chữ số 0, 2, 3, 6, Giải Gọi n = a1 a2 a3 a4 a5 số cần lập Vì n chẵn, nên a5 chẵn suy a5 ∈ {0, 2, 6} Có hai trường hợp: Trường hợp a5 = ta có cách chọn a5 = cách chọn a1 = cách chọn a2 = cách chọn a3 = cách chọn a4 = Vậy ta có × × × × = 24 số n Trường hợp a5 6= ta có cách chọn a5 ( a5 = a5 = 6) cách chọn a1 cách chọn a2 cách chọn a3 cách chọn a4 Vậy ta có × × × × = 36 số n Tổng cộng hai trường hợp ta có 24+36 = 60 số n thỏa mãn yêu cầu tốn Ví dụ 1.5 (Đề thi tuyển sinh đại học khối A,B - 2001) Có số tự nhiên có chữ số cho khơng có chữ số lặp lại lần ? Giải 12 Gọi n = a1 a2 a3 a4 số tự nhiên cần lập Tổng số n có bồn chữ số ( không ý đến điều kiện chữ số lại lại ba lần) Ta có cách chọn a1 ( a1 6= ) 10 cách chọn a2 10 cách chọn a3 10 cách chọn a4 Do ta có × 10 × 10 × 10 = 9000 số n Tính số n có bốn chữ số có chữ số lập lại ba lần +) Trường hợp : Ta có cách chọn a1 (a1 6= 0, a1 lặp lại ba lần) Chọn a2 = a3 = a1 , có cách chọn Chọn a4 6= a1 , cách chọn Vậy ta có × = 81 cách +) Trường hợp : Chọn a1 6= có cách Chọn a2 = a3 = a4 , có cách (a2 lặp lại lần) Chọn a4 6= a1 , a4 có cách chọn Vậy ta có × = 81 cách +) Trường hợp : Chọn a1 6= có cách Chọn a3 = a4 = a1 , có cách (a3 lặp lại lần) Chọn a2 6= a3 , a2 có cách chọn Vậy ta có × = 81 cách +) Trường hợp : Chọn a1 6= có cách Chọn a2 = a3 = a4 , có cách (a4 lặp lại lần) Vậy ta có × = 81 cách Từ trường hợp ta có 81 + 81 + 81 + 81 = 324 số n có chữ số lặp lại ba lần Do số n thỏa mãn yêu cầu toán 9000 − 324 = 8676 số 1.2.2 Quy tắc nhân Nội dung quy tắc : Giả sử hành động H bao gồm n giai đoạn độc lập với nhau, giai đoạn thứ i hành động Hi , (1 ≤ i ≤ n) Ta giả sử hành động Hi có mi , (1 ≤ i ≤ n) cách thực Khi 13 hành động H có m1 m2 mi cách thực Quy tắc nhân ta chuyển sang ngôn ngữ tập hợp sau :Cho n tập hợp V1 , V2 , , Vn hữa hạn và|Vk | = mk (1 ≤ k ≤ n) Khi số cách thực hành động H tương ứng với lực lượng tập tích Đề tập : |V1 × V2 × · · · × Vn | = |V1 | |V2 | |Vn | = m1 m2 mn Ví dụ 1.6 Từ thành phố A đến thành phố B có đường, từ thành phố B đến thành phố C có đường Một ô tô trở hàng từ thành phố A đến C quay lại thành phố A ( hai lượt ô tô qua B) Hỏi có tất cách cho đoạn đường lúc không trùng với đoạn đường Giải Tìm đường từ A đến B có cịn đường, từ B đến C có đường Vậy ta có × = 12 đường từ A đến C qua B Tìm đường từ C B có đường, từ B A có ( đoạn đường lúc khơng trùng với đoạn đường về) Vậy ta có × = đường từ C A qua B Do ta có 12 × = 72 cách từ thành phố A đến thành phố C quay lại thành phố A cho đoạn đường lúc khơng trùng với đoạn đường Ví dụ 1.7 Từ số 0,1,2,3,4,5,6 lập số tự nhiên có chữ số khác đơi mà bắt buộc phải có chữ số Giải Gọi n = a1 a2 a3 a4 a5 số tự nhiên cần lập.Có hai trường hợp +) Nếu a1 = ta có cách chọn a1 cách chọn a2 cách chọn a3 cách chọn a4 cách chọn a5 Trường hợp ta có × × × × = 360 số 14 +) Nếu a1 6= : Có bốn vị trí chữ số n ứng với vị trí ta có chẳng hạn n = a1 a2 5a4 a5 ta có cách chọn a1 ( a1 6= 0, a1 6= 5) cách chọn a2 cách chọn a3 cách chọn a4 cách chọn a5 Trong trường hợp ta có × × × × × = 1200 số n Vậy tổng hai trường hợp ta có 1200 + 360 = 1560 số n 1.3 Hoán vị Hoán vị thực chất cách xếp phần tử tập hợp 1.3.1 Hốn vị khơng lặp Định nghĩa 1.1 ([1]-[4]) Cho tập hợp gồm n (n ≥ 1) phần tử Mỗi cách xếp n phần tử theo tứ tự (mỗi phần tử có mặt lần) gọi hốn vị n phần tử cho Kí hiệu số hoán vị n phần tử Pn Ta có cơng thức: Pn = n! Ví dụ 1.8 Với sáu chữ số 1, 2, 3, 4, 5,6 lặp số gồm sáu chữ số, không trùng Giải Mỗi số cần lập hoán vị số cho Do đó, số cần lập số hoán vị phần tử Do ta có tổng số số có chữ số cần lập : P6 = 6! = 720 Ví dụ 1.9 Từ chữ sơ 0,1,2,3,4,5 lập số tự nhiên có chữa số, không trùng 15 Giải Do số có chữ số cần lập số tự nhiên nên chữa số không đứng vị trí Xét trường hợp số đứng vị trí vị trí cịn lại sếp từ số 1,2,3,4,5 ta có P5 = 5! = 120 Nếu sếp chữa số thành số có chữ số có trường hợp số đứng vị trí ta có P6 = 6! = 720 Vậy tổng số số tự nhiên có chữa số cần lập : P6 − P5 = 600 số Ví dụ 1.10 ([1], Chuyên đề chọn lọc tổ hợp toán rời rạc - Nguyễn Văn Mậu) Cho tập S = {1, 2, , n} với n ≥ f hoán vị tập S Phẩn tử i S gọi điểm cố định f (i) = i Gọi Pn (k) số hốn vị tập S có k điểm cố định Hãy chứng minh n X kPn (k) = n! (1.8) k=0 Giải 1) Vì tổng tất hốn vị n phần tử có 0,1,2, ,n điểm cố định tất hốn vị n phần tử, tức n!, nên có đẳng thức n X Pn (k) = n! (1.9) k=0 2) Ta chứng minh rằng: ∀k (1 ≤ k ≤ n)đều có kPn (k) = n.Pn−1 (k − 1) Dùng (f, i) để kí hiệu cặp gồm hoán vị f tùy ý n phần tử với k điểm cố định i điểm tùy ý k điểm cố định ( tức f (i) = i ) Thừa nhận P0 (0) = Để lý giải quan hệ (1.11), ta tính số N cáp cặp (f,i) hai cách Một mặt, i chạy qua k điểm cố định xác định, nên hốn vị Pn (k) hốn vị có mặt k cặp (f,i) Bởi N = k.Pn (k) Mặt khác, f (i) = i, tập gồm n − phần tử lại ( tức phần tử khác i ) hốn vị f có k − điểm cố định, nên n phần tử i có mặt Pn−1 (k − 1) cặp Do N = n.Pn−1 (k − 1), nên đẳng thức (1.11) chứng minh Tính tổng đẳng thức (1.11) theo k = 1, 2, , n dựa vào đẳng thức