Một số phương pháp giải hệ phương trình lượng hai ẩn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN VĂN THƯƠNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC HAI ẨN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Ngun - 2013 Số hóa Trung tâm học lieäu Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC HAI ẨN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU THÁI NGUN - 2013 Số hóa Trung tâm học lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ Mục lục Một số hệ thức công thức lượng giác 1.1 Các hệ thức lượng giác 1.1.1 Các hệ thức lượng giác góc a 1.1.2 Ví dụ minh họa 1.2 Các hệ thức lượng giác góc có liên quan đặc biệt 1.2.1 Hai hóc đối nhau: a (−a) 1.2.2 Hai góc bù nhau: a (π − a) π 1.2.3 Hai góc phụ nhau: a ( − a) 1.2.4 Hai góc khác π : a (π + a) π π π 1.2.5 Hai góc có trung bình cộng : ( + a) ( − a) 4 1.2.6 Hai góc k2π kπ với k ∈ Z 1.2.7 Ví dụ minh họa 1.3 Các công thức lượng giác 1.3.1 Công thức cộng 1.3.2 Cơng thức góc nhân đơi 1.3.3 Công thức nhân ba 1.3.4 Công thức hạ bậc a a π 1.3.5 Biểu diễn theo t = tan ( 6= + kπ, k ∈ Z) 2 1.3.6 Cơng thức biến đổi tổng thành tích 1.3.7 Cơng thức biến đổi tích thành tổng 1.3.8 Ví dụ minh họa 6 6 8 9 9 10 11 11 12 12 12 12 13 14 14 Hệ nửa lượng giác hai ẩn 20 2.1 Hệ nửa lượng giác hai ẩn 20 2.2 Bài tập 34 Số hóa Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Các phương pháp giải hệ phương trình khơng mẫu mực 3.1 Các phương pháp giải hệ phương trình 3.2 Các toán chọn lọc 3.3 Bài tập lượng giác hai ẩn 40 40 72 75 Kết luận 79 Tài liệu tham khảo 80 Số hóa Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ MỞ ĐẦU Lượng giác phần khơng thể thiếu chương trình tốn học trường phổ thơng trung học Chúng ta thấy đề thi vào trường Đại học Cao đẳng, có câu riêng lượng giác mà chủ yếu “Phương trình lượng giác” “Bài tốn xung quanh tam giác” Trong vấn đề này, toán hệ thức lượng tam giác thường khó cả, cịn kỳ thi học sinh giỏi thường có câu riêng lượng giác hai ẩn Tuy nhiên, sách giáo khoa cải cách không đưa phần kiến thức hệ lượng giác hai ẩn để giảng dạy trực tiếp(trừ trường chuyên) Vì vậy, để giúp em học sinh học tốt luyện thi tốt cho kỳ thi học sinh giỏi, cần trang bị cho em kiến thức sâu lượng giác, ví dụ kiến thức hệ phương trình lượng giác hai ẩn Trong luận văn tác giả Thầy hướng dẫn giao nhiệm vụ xây dựng phương pháp, giải hệ lượng giác hai ẩn chương trình tốn sơ cấp phổ thơng, nêu ví dụ minh họa cho phương pháp Hy vọng luận văn nguồn tài liệu tham khảo cho thầy, cô giáo quan tâm đến lĩnh vực Luận văn gồm chương: Chương 1: Trình bày số hệ thức lượng giác chương trình phổ thơng Chương 2: Trình bày phương pháp giải hệ nửa lượng giác hai ẩn chương trình phổ thơng Chương 3: Trình bày phương pháp giải hệ lượng giác hai ẩn chương trình phổ thơng Mỗi phương pháp đưa ra, bao gồm sở lý thuyết phương pháp, ví dụ minh họa số tập áp dụng phương pháp nêu Số hóa Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Luận văn gồm nhiều thí dụ tập lựa chọn từ nhiều nguồn khác Từ đề thi học sinh giỏi toán quốc gia, khu vực, nước thi học sinh giỏi tốn quốc tế Ngồi cịn có số tập tác giả tự sáng tác Trong phần, tác giả cố gắng để đưa hệ thống thí dụ nhằm minh họa cho phương pháp nêu Ngoài cịn có nhiều tốn giải nhiều cách khác nhau, hay tổng hợp cách giải để giải toán, điều giúp cho em học sinh trở nên linh hoạt việc lựa chọn phương pháp giải Luận văn chuẩn bị với bảo nhiệt tình chu đáo thầy GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Tác giả xin trân trọng bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc với thầy tất thầy dạy bảo sống nghiên cứu khoa học Trong q trình học tập hồn thành luận văn tác giả quan tâm giúp đỡ thầy phịng đào tạo sau Đại học trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Sở GD-ĐT Hà Nội bạn bè đồng nghiệp tác giả Tác giả xin chân thành cảm ơn giúp đỡ quý báu Thái Nguyên, ngày 20 tháng năm 2013 Người thực Nguyễn Văn Thương Số hóa Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Chương Một số hệ thức công thức lượng giác 1.1 1.1.1 Các hệ thức lượng giác Các hệ thức lượng giác góc a sin2 a + cos2 a = tương đương sin2 a = − cos2 a cos2 a = − sin2 a sin a tan a = ( với cos a 6= 0) suy sin a = tan a cos a cos a cos a cot a = ( với sin a 6= 0) suy cos a = cot a sin a sin a 1 tan a cot a = suy tan a = cot a = cot a tan a 1 2 = + tan a( với cos a = 0) suy cos a = cos2 a + tan2 a 1 = + cot2 a( với sin a 6= 0) suy sin2 a = + cot2 a sin a 1.1.2 Ví dụ minh họa π Ví dụ 1.1.1 Cho a 6= + kπ, k ∈ Z Chứng minh rằng: cos a + sin a = tan3 a + tan2 a + tan a + (1) cos a π Lời giải: VT: a 6= + kπ, k ∈ Z nên cos a 6= Do vế trái vế phải (1) có nghĩa Số hóa Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Ta có VT(1): cosa + sina sina + cosa = cos3 a cos2 a cosa = (1 + tan a)(1 + tan a) = + tan a + tan2 a + tan3 a = VP (1) Ví dụ 1.1.2 Chứng minh biểu thức sau khơng phụ thuộc vào a: tana cot2 a − A= (2) − tan2 a cota (giả sử điều kiện xác định thỏa mãn) tana.cot2 a − tana cota − tana Lời giải: Từ (2) ta có A = = = cota − tan2 a.cota cota − tana (đpcm) π Ví dụ 1.1.3 Cho sin a = , với < a < π Tính cos a, tan a cot a 16 Lời giải: Ta có: cos2 a = − sin2 a = − = , cos a = ± 25 25 π với: < a < π nên cos a < Vậy cos a = − sin a =− cos a cos a cot a = =− sin a 3π Ví dụ 1.1.4 Cho tan a = − , với < a < 2π Tính cos a, sin a cot a 1 25 Lời giải: Ta có cos2 a = = = 16 + tan a 41 1+ 25 Suy cos a = ± √ 41 3π Với < a < nên cos a > 0, cos a = √ 41 tan a = Số hóa Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ √ 4 41 Từ sin a = tan a cos a = − =− =− ; cot a = = 41 41 41 tan a =− 4 − Ví dụ 1.1.5 Đơn giản biểu thức: p B = sin4 a + sin2 a cos2 a (3) 2 2 2 Lời giải : Ta có: √ sin a+sin a cos a = sin a.(sin a+cos a) = sin a Từ (3) ta có: B = sin2 a = |sina| Ví dụ 1.1.6 Chứng minh đẳng thức sau: + sin2 a = + tan2 a (4)( sin a 6= ±1) − sin a + sin2 a + sin2 a sin2 a Lời giải : Ta có VT (4) = = = + = cos2 a cos2 a cos2 a − sin2 a + tan2 a + tan2 a = + tan2 a = VP (4) (đpcm) 1.2 1.2.1 Các hệ thức lượng giác góc có liên quan đặc biệt Hai hóc đối nhau: a (−a) cos(−a) = cos a sin(−a) = − sin a tan(−a) = − tan a cot(−a) = − cot a 1.2.2 Hai góc bù nhau: a (π − a) sin(π − a) = sin a cos(π − a) = − cos a tan(π − a) = − tan a cot(π − a) = − cos a Số hóa Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 1.2.3 π Hai góc phụ nhau: a ( − a) π cos( − a) = sin a π sin( − a) = cos a π tan( − a) = cot a π cot( − a) = tan a 1.2.4 Hai góc khác π : a (π + a) tan(π + a) = tan a cot(π + a) = cot a sin(π + a) = − sin a cos(π + a) = − cos a 1.2.5 Hai góc có trung bình cộng π π π : ( + a) ( − a) 4 π π sin( + a) = cos( − a) 4 π π cos( + a) = sin( − a) 4 π π tan( + a) = cot( − a) 4 π π cot( + a) = tan( − a) 4 1.2.6 Hai góc k2π kπ với k ∈ Z sin(a + k2π) = sin a cos(a + k2π) = cos a tan(a + kπ) = tan a cot(a + kπ) = cot a Số hóa Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 5cos5 y + sin3 y ≤ cos5 y + sin3 y = cos5 y