Phương pháp xấp xỉ biên xác định nghiệm gần đúng của phương trình laplace với điều kiện biên kì dị

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀM THỊ ĐIỂM PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ BIÊN XÁC ĐỊNH NGHIỆM GẦN ĐÚNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN KÌ DỊ LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC THÁI NGUN - NĂM 2011 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀM THỊ ĐIỂM PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ BIÊN XÁC ĐỊNH NGHIỆM GẦN ĐÚNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN KÌ DỊ LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.36 Người hướng dẫn khoa học: TS VŨ VINH QUANG THÁI NGUYÊN - NĂM 2011 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mở đầu 1 Các kiến thức 1.1 1.2 1.3 Các kiến thức không gian hàm 1.1.1 Không gian C k (Ω) 1.1.2 Không gian Lp (Ω) 1.1.3 Không gian W 1,p (Ω) 1.1.4 Vết hàm 1.1.5 Không gian Sobolev với số âm Khái niệm nghiệm yếu phương trình Elliptic cấp hai 10 1.2.1 Khái niệm nghiệm yếu phương trình 10 1.2.2 Phát biểu toán biên 11 1.2.3 Sự tồn nghiệm yếu 13 Phương pháp biến phân xây dựng gần nghiệm yếu 16 Phương pháp xấp xỉ biên đặc biệt (BAMs) tốn biên có biên kì dị 20 2.1 Cơ sở phương pháp 20 2.2 Các phương pháp xấp xỉ biên (BAMs) 22 2.3 2.2.1 Cơ sở phương pháp 22 2.2.2 Các phương pháp BAMs 23 Ứng dụng phương pháp BAMs cho toán Motz 24 2.3.1 2.4 Các phương pháp BAMs 25 Đánh giá sai số 26 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ii 2.4.1 Penalty BAMs 28 2.4.2 Hybrid BAM 29 2.4.3 Penalty/Hybrid BAM 31 Phương pháp chia miền giải toán biên hỗn hợp mạnh 37 3.1 Cơ sở phương pháp 37 3.2 Sự hội tụ phương pháp 39 3.3 Ứng dụng phương pháp chia miền toán Motz 44 3.4 Mở rộng phương pháp chia miền trường hợp tổng quát 47 Phụ lục 64 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn iii Các ký hiệu L Rn Ω ∂Ω C k (Ω) L2 (Ω) W 1,p (Ω) H 1/2 (∂Ω) H01 (Ω) H −1 (∂Ω) H −1/2 (∂Ω) k kV (.)V Cγ (Ω) CΩ E Toán tử elliptic Không gian Euclide n chiều Miền giới nội không gian Rn Biên trơn Lipschitz Không gian hàm có đạo hàm cấp k liên tục Khơng gian hàm đo bình phương khả tích Khơng gian Sobolev với số p Không gian Sobolev với số 1/2 Khơng gian hàm có vết khơng ∂Ω Không gian đối ngẫu với H01 (Ω) Không gian đối ngẫu với H 1/2 (∂Ω) Chuẩn xác định khơng gian V Tích vơ hướng xác định không gian V Hằng số vết Hằng số Poincare Ma trận đơn vị 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Khi mơ hình tốn mơ tả q trình môi trường liên tục thường dẫn đến toán biên với loại điều kiện biên khác Trong trường hợp biên gồm loại điều kiện biên, ta gặp toán biên hỗn hợp yếu Đối với toán có nhiều cơng trình nghiên cứu phương pháp xác định nghiệm xấp xỉ phương pháp sai phân, phương pháp phần tử hữu hạn tác giả giới công bố nhiều năm qua Tuy nhiên trường hợp đoạn biên gồm hai loại điều kiện biên phân cách điểm biên, ta gặp tốn biên hỗn hợp mạnh hay cịn gọi tốn biên với điều kiện biên kì dị Do tính chất thay đổi điều kiện biên sinh điểm kì dị điểm phân chia Đối với toán này, phương pháp thơng thường gặp khó khăn Năm 2006, tác giả Z C Li, Y L Chan, G C Georgiov, C Xenophontos nghiên cứu toán Motz đưa phương pháp xấp xỉ biên đặc biệt thường gọi phương pháp BAMs [1] Ngồi phương pháp việc tìm nghiệm xấp xỉ tốn với biên kì dị sử dụng sơ đồ lặp sở phương pháp chia miền [2, 3, 4] Nội dung luận văn trình bày sở phương pháp xấp xỉ biên xác định nghiệm gần tốn biên với điều kiện biên kì dị phương pháp BAMs, đánh giá sai số phương pháp tương ứng kết thực nghiệm toán Motz, đồng thời đưa phương pháp xấp xỉ theo tư tưởng chia miền xác định nghiệm toán Motz tương ứng trường hợp tổng quát, tiến hành thực nghiệm tính tốn, so sánh độ xác hai phương pháp xấp xỉ biên 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn theo BAMs phương pháp chia miền toán Motz Luận văn gồm chương với nội dung sau: Chương 1: Luận văn trình bày kiến thức quan trọng không gian hàm đặc biệt không gian Sobolev, bất đẳng thức bản, khái niệm nghiệm yếu, định lý tồn nghiệm yếu, phương pháp biến phân xác định nghiệm yếu thơng qua tốn cực trị phiếm hàm Đây kiến thức quan trọng để trình bày nội dung chương luận văn Chương 2: Luận văn trình bày sở toán học phương pháp xấp xỉ biên đặc biệt (các phương pháp BAMs) bao gồm mối quan hệ toán Galerkin toán cực trị phiếm hàm, ứng dụng phương pháp BAMs toán Motz đồng thời đưa kết đánh giá sai số phương pháp, kết thực nghiệm trường hợp cụ thể Các kết đưa tài liệu [1] Chương 3: Luận văn trình bày phương pháp chia miền giải toán biên với điều kiện biên hỗn hợp mạnh, hội tụ phương pháp Xuất phát từ sơ đồ lặp chia miền tổng quát, luận văn đưa kết áp dụng thuật toán chia miền giải tốn Motz, tiến hành tính tốn thử nghiệm máy tính điện tử để xác định tốc độ hội tụ độ xác sơ đồ lặp, so sánh kết với phương pháp BAMs giả đưa tài liệu [1] Mở rộng việc áp dụng thuật toán trường hợp tổng qt từ đưa kết luận tính hữu hiệu phương pháp chia miền việc xác định nghiệm xấp xỉ toán biên với điều kiện biên kì dị Các kết tính tốn số luận văn lập trình mơi trường Matlab version 7.0 chạy máy tính PC Mặc dù cố gắng song nội dung luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận bảo, đóng góp ý kiến Thầy Cô bạn đồng nghiệp để luận văn thêm hoàn thiện Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn TS Vũ Vinh Quang tận tình hướng dẫn tác giả suốt q trình làm luận 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Thầy Cô, bạn bè, đồng nghiệp gia đình ln giúp đỡ, động viên, khích lệ tác giả suốt trình học tập nghiên cứu 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Các kiến thức 1.1 1.1.1 Các kiến thức không gian hàm Không gian C k (Ω) Giả sử Ω miền bị chặn không gian Euclid n chiều Rn Ω bao đóng Ω Ký hiệu C k (Ω), (k = 1, 2, ) tập hàm có đạo hàm đến cấp k kể k Ω, liên tục Ω Ta đưa vào C k (Ω) chuẩn X k u kC k (Ω) = max | Dα u(x) |, (1.1) pαp=k α = (α1 , α2 , , αn ) vecto với tọa độ nguyên không âm, ∂ α1 +α2 + +αn u α | α |= α1 + α2 + + αn , D u = ∂xα1 ∂xαnn Sự hội tụ theo chuẩn hội tụ Ω hàm tất đạo hàm chúng đến cấp k , kể k Tập C k (Ω) với chuẩn (1.1) không gian Banach 1.1.2 Không gian Lp (Ω) Giả sử Ω miền Rn p số thực dương Ta ký hiệu Lp (Ω) lớp hàm đo f xác định Ω cho Z | f (x) |p dx < ∞ (1.2) Ω Trong Lp (Ω) ta đồng hàm hầu khắp Ω Như phần tử Lp (Ω) lớp tương đương hàm đo thoả 9Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn mãn (1.2) hai hàm tương đương chúng hầu khắp Ω Vì | f (x) + g(x) |p ≤ (| f (x) | + | g(x) |)p ≤ 2p (| f (x) |p + | g(x) |p ) nên rõ ràng Lp (Ω) không gian vectơ Ta đưa vào Lp (Ω) phiếm hàm k kp xác định Z  p1 p k u kp = | f (x) | dx Ω Định lí 1.1 (Bất đẳng thức Hoăder) Nu < p < v u Lp (Ω), v ∈ Lp (Ω) uv ∈ Lp (Ω) Z | u(x)v(x) | dx ≤k u(x) kp k v(x) kp0 , Ω p0 = p 1 , tức + = 1, p0 gọi số mũ liên hợp đối p−1 p p với p Định lí 1.2 ( Bất đẳng thức Minkowski) Nếu < p < ∞ k f + g kp ≤k f kp + k g kp Định lí 1.3 Khơng gian Lp (Ω) với ≤ p < ∞ không gian Banach 1.1.3 Không gian W 1,p (Ω) Định nghĩa 1.1 Cho Ω miền Rn Hàm u(x) gọi khả tích địa phương Ω u(x) hàm cho Ω với x0 ∈ Ω tồn lân cận ω x0 để u(x) khả tích Ω Định nghĩa 1.2 Cho Ω miền Rn Giả sử u(x), v(x) hai hàm khả tích địa phương Ω cho ta có hệ thức Z Z ∂kϕ k u k1 dx = (−1) vϕ dx ∂x1 ∂xknn Ω 10Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Ω http://www.lrc-tnu.edu.vn ∂n 0,Γ∗ Nhận xét 2.2 Nếu ta đặt uN = N X φ i i=1 rN = ∞ X φi i=N +1 giả sử tồn a ∈ (0; 1) thỏa mãn với rN cho ta có k rN k0,Γ∗ ≤ CaN , (2.13) ∂r N ∗ ≤ CN aN , ∂n 0,Γ (2.14) với C hệ số độc lập với N 32Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 28 2.4.1 Penalty BAMs Sử dụng kết trên, ta có số định lí sau Penalty BAMs Định lí 2.1 Cho uPN ∈ VN nghiệm phương trình (2.10) u nghiệm yếu tốn (2.8) Khi tồn số C độc lập với N thỏa mãn ku− uPN o ∂u kH ≤ C inf k u − v kH + k k v∈VN ω ∂v 0,AB n Chứng minh Ta có uPN ∈ VN thỏa mãn B1 (uPN , v) = F1 (v), ∀v ∈ VN , (2.15) Z ∂u B1 (u, v) = v + ω2 Γ∗ ∂n Z uv, F1 (v) = 500ω Z v AB AB Mặt khác, nghiệm u thỏa mãn Z B1 (u, v) = F1 (v) + v AB ∂u , ∂n Từ kết (2.15) (2.16) ta có Z ∂u B1 (u − uPN , v) = v , AB ∂n ∀v ∈ HM (2.16) ∀v ∈ VN , Cho δ = (uPN − v) ∈ VN Từ (2.15) (2.16) ta có k δ kH = B1 (δ, δ) = B1 (uPN Z − v, δ) = B1 (u − v, δ) − δ AB ∂u ∂n | B1 (u, v) |≤ C k u kH k v kH ta kδ k2H ≤ C k u − v kH k δ kH + k δ k0,AB