(Luận văn) về phương trình laplace

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN ĐỨC TÙNG lu an VỀ PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE n va p ie gh tn to d oa nl w LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu Thái Nguyên - 2016 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN ĐỨC TÙNG lu an VỀ PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE n va p ie gh tn to w d oa nl LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 nf va an lu Chuyên ngành: z at nh oi lm ul NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH ĐINH NHO HÀO z m co l gm @ an Lu Thái Nguyên - 2016 n va ac th si i Mục lục Lời mở đầu Chương 1 Phương trình Laplace xuất xứ phương trình lu an 3 1.2 4 n va Laplace 1.1 Phương trình đạo hàm riêng Laplace to Xuất xứ phương trình Laplace 1.2.1 Ba định luật Keple Xây dựng phương trình đạo hàm riêng Laplace Một số mô hình vật lý khác phương trình Laplace 11 p ie gh tn 1.2.2 1.2.3 14 14 oa nl w Chương Các tính chất phương trình Laplace 2.1 Tính bất biến tốn tử Laplace Điều kiện Cauchy-Riemann Hàm điều hịa số tính chất chúng 20 21 nf va an lm ul 2.3.1 2.3.2 Hàm điều hòa Biểu diễn Green hàm điều hòa 21 22 2.3.3 Tính chất hàm điều hịa 24 Điều kiện cần đủ để toán Cauchy cho phương trình Laplace có nghiệm 29 2.4.1 2.4.2 Các toán biên Tính phụ thuộc liên tục nghiệm 29 30 2.4.3 Sự tồn nghiệm tốn Dirichlet phương trình Laplace hình cầu 32 Các định lý hội tụ 34 z at nh oi 2.4 14 16 lu 2.2 2.3 Toán tử Laplace Tính bất biến tốn tử Laplace d 2.1.1 2.1.2 z m co l gm @ an Lu 2.4.4 n va ac th si ii 2.4.5 Sự tồn nghiệm toán Dirichlet miền 2.4.6 bị chặn - Phương pháp Perron Bài tốn Cauchy cho phương trình Laplace 35 36 KẾT LUẬN 39 Tài liệu tham khảo 40 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Lời mở đầu Phương trình Laplace nhà tốn học người Pháp Pierre-Simon Laplace (23 tháng 1749 – tháng 1827) đưa có ứng dụng nhiều thực tế Ngồi ra, Laplace cịn nhà thiên văn học có cơng xây dựng lu tảng ngành thiên văn học cách tóm tắt mở rộng cơng trình nghiên cứu người trước sách tập với tựa an n va đề Mécanique Céleste (Cơ học Thiên thể) (1799-1825) Cuốn sách tn to chuyển đổi nghiên cứu học cổ điển mang tính hình học Isaac Newton thành nghiên cứu dựa vi tích phân, biết đến p ie gh học (vật lý) Ông người đưa phương trình Laplace Biến đổi oa nl w Laplace xuất tất ngành toán lý — ngành mà ông người sáng lập Toán tử Laplace, sử dụng nhiều d toán học ứng dụng, đặt theo tên ông Trong luận văn này, trình bày xuất xứ số an lu nf va tính chất phương trình Laplace Luận văn gồm hai chương: Chương 1: Phương trình Laplace xuất xứ phương trình Laplace lm ul z at nh oi Chương giới thiệu phương trình Laplace số mơ hình vật lý phương trình Laplace Chương 2: Nghiệm phương trình Laplace Chương đưa số z tính chất phương trình Laplace điều kiện Cauchy-Riemann, @ l gm tính giải tích nghiệm, điều kiện cần đủ để nghiệm tốn Cauchy cho phương trình Laplace có nghiệm m co Luận văn thực Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn GS.TSKH Đinh Nho Hào an Lu n va Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời ac th si gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Tin, giảng viên tham gia giảng dạy, tạo điều kiện tốt để tác giả học tập nghiên cứu Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học Tốn K8B (khóa 2014-2016) động viên giúp đỡ tác giả nhiều q trình học tập Tơi xin chân thành cảm ơn! Tác giả lu an Nguyễn Đức Tùng n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Phương trình Laplace xuất xứ phương trình Laplace lu an n va Phương trình Laplace phương trình đạo hàm riêng đặt theo tên gh tn to nhà toán học người Pháp Pierre-Simon DeLaplace (1749-1827) Ơng người đưa phương trình Laplace Chương giới thiệu xuất xứ ý nghĩa vật lý phương trình Laplace p ie Phương trình đạo hàm riêng Laplace oa nl w 1.1 d Định nghĩa 1.1.1 Trong không gian n chiều, cho u hàm thực khả vi lu nf va an lần Phương trình Laplace phương trình: ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + + + = ∂ xn2 ∂ x12 ∂ x22 Khi vế phải không nhất: z at nh oi lm ul (1.1) ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + + + = f (x1 , x2 , , xn ) f ∈ Rn 2 ∂ xn ∂ x1 ∂ x2 z (1.2) gm @ m độ khác sau: co l phương trình gọi phương trình Poisson Ta thường gặp phương trình Laplace không gian chiều hệ tọa an Lu n va ac th si ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + = (i) Trong hệ tọa độ Descartes: + ∂x ∂ y2 ∂ z2   1∂ ∂u ∂ 2u ∂ 2u (ii) Trong hệ tọa độ trụ: r + + = r ∂r ∂r r ∂r ∂z ∂ (iii) Trong hệ tọa độ cầu: ρ ∂ρ ∂ u = ρ sin2 θ ∂ ϕ     ∂ u ∂ ∂ u ρ2 + 2 sinθ + ∂ρ ρ sin θ ∂ θ ∂θ Nghiệm phương trình Laplace hàm điều hòa lu an Xuất xứ phương trình Laplace n va 1.2 Ba định luật Keple gh tn to 1.2.1 p ie Như biết, Tycho Brahe (1546-1601) nhà thiên văn học người Đan Mạch , người quan sát bầu trời không qua kính viễn vọng oa nl w vịng khoảng 20 năm ông để lại liêu quan trọng Từ liệu đó, nhà thiên văn học người Đức Jahannes Keple nghiên d cứu đưa ba quy luật sau: lu nf va an (i) Mọi hành tinh chuyển động theo quy đạo hình eliptic Mặt Trời tiêu điểm lm ul (ii) Đoạn thẳng nối mặt trời với hành tinh qt diện tích z at nh oi khoảng thời gian (iii) Tỉ số lập phương trục lớn bình phương chu kì quay giống với hành tinh.( tỉ số số) z l gm @ Các quy luật đẹp phức tạp Sau , Newton tìm biểu thức đơn giản cho quy luật Đó định luật vận m co vật hấp dẫn : "lực hấp dẫn hai vật tỉ lệ thuận với khối lượng chúng tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách chúng an Lu Thay xét lực hút vật có khối lượng đơn vị đến vật khác, ta xét n va ac th si lực hấp dẫn khảo sát phương trình sau M u = γp (x − xo )2 + (y − yo )2 + (z − zo )2 (1.3) với γ số, (xo ; yo ; zo ) tọa độ vật hút, M khối lượng lu Các lực hút thành phần Fx , Fy , Fz tác dụng  vào vật có khối lượng đơn ∂u   F =  x  ∂x   ∂u vị đặt điểm (x, y, z) xác định sau : Fy =  ∂y    ∂u  Fz = ∂z Trường hấp dẫn u xác định véc tơ ~F = (Fx ; Fy ; Fz ) Trong trường hợp lực hấp dẫn hệ chất điểm (tâm khối lượng Mi đặt an n va điểm có tọa độ (xi ; yi ; zi )) lực hút tính theo công thức: to tn u = γ∑ p (x − xi )2 + (y − yi )2 + (z − zi )2 (1.4) ie gh i M p Laplace đề xuất để nghiên cứu lực hấp dẫn ta khơng sử dụng Xây dựng phương trình đạo hàm riêng Laplace d 1.2.2 oa nl w hàm u mà từ phương trình vi phân mà hàm thỏa mãn an lu nf va Trước tiên ta khảo sát thành phần công thức (1.4) Ta tính đạo hàm Ta kí hiệu khoảng cách hai điểm (x; y; z) (xi ; yi ; zi ) p r = (x − xi )2 + (y − yi )2 + (z − zi )2 lấy đạo hàm riêng theo biến x z at nh oi lm ul hàm r ta được: ∂r x − xi x − xi = =p ∂x r (x − xi )2 + (y − yi )2 + (z − zi )2 (1.5) z m co l gm @ an Lu n va ac th si ∂ r y − yi ∂ r z − z i = , = ∂y r ∂z r Từ ta đạo hàm sau: Tương tự ta được:  ∂r ∂ ui x − xi  ∂   = −γMi 2x = −γMi   r r  ∂x y − yi ∂ ui = −γMi  ∂ y r    ∂ u z − zi   = −γMi ∂z r (1.6) Lấy đạo hàm lần ta nhận được: ∂ 2u lu i ∂x = −γMi r3 − (x − xi ) ∂∂rx r6 an n va   3(x − xi )2 = γMi − + r r5 p ie gh tn to Tương  tự ta được:   3(y − y ) ∂ u  i i   = γMi − + ∂y r r5   ∂ ui 3(z − zi )2    = γMi − + ∂z r r5 Từ ta phương trình: ! (1.7) d oa nl w ∂ ui ∂ ui ∂ ui + + = ∂ x2 ∂ y2 ∂ z2 nf va an lu Với u = ∑ ui ta đẳng thức sau: ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + + = ∂ x2 ∂ y2 ∂ z2 z at nh oi lm ul (1.8) Đẳng thức gọi phương trình Laplace Theo cách xây dựng trên, Laplace không cho ta công thức tường minh z lực, mà cho ta công thức trường u cách thay phép toán vào phương trình vi phân Ta coi phương trình vi gm @ co l phân mô tả tương tác trường u Laplace cho ý tưởng dùng phương trình vi phân để mơ tả trường u, phương trình tác động khắp m nơi ngồi điểm mà tập trung khối lượng hấp dẫn (tại điểm x = xi , y = yi , z = zi ta khơng tính đạo hàm theo công thức trên) an Lu n va ac th si   Z  Z ∂u Z  ∂u ∂Γ ∂u ∂Γ dS + Γ −u dS Γ −u Γ dS = ∂v ∂v ∂v ∂v ∂v ∂ Bρ ∂Ω ∂ Bρ (2.7) ρ → ta lưu ý rằng: