Thông tin tài liệu
PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN A Kiến thức cần nhớ Định nghĩa phép chia hết Với a, b Z (b 0); q, r Z cho a bp r (0 r b ) +) Nếu r 0 a b +) Nếu r 0 a / b Một số tính chất: a, b, c, d Z +) Nếu a 0 a a;0a +) Nếu a b; bc a c +) Nếu a b; ba a b +) Nếu a b; a c a BCNN [a, b] +) Nếu a b; a c;(b, c) 1 a bc +) Nếu a b acb(c Z ) Một số định lý thường dùng +) Nếu a c; bc (a b)c n n +) a b a b (n Z ) Một số hệ áp dụng n n +) a, b Z ; n Z a b a b n n +) a, b Z n chẵn n Z a b a b n n +) a, b Z n lẻ n Z a b a b +) Nếu a c; bd abcd B Các dạng toán Dạng 1: Đưa dạng tổng bình phương - Cơ sở phương pháp thường sử dụng với phương trình có biểu thức chứa ẩn viết dạng tổng bình phương - Biến đổi phương trình dạng vế tổng bình phương biểu thức chứa ẩn, vế cịn lại tổng bình phương số nguyên ( Số số hạng hai vế ) Ta giải phương trình tương ứng sau A2 m A2 n A2 p 2 2 2 B n ; B m ; B m C p C p C n 2 Bài 1: Tìm x, y, z Z thỏa mãn: x xy y 169(1) Lời giải 2 2 (2 x y ) x 12 (1) (1) x xy y x 144 25 169 2 2 (2 x y ) x 13 (2) 2 Giải (1) (2 x y ) 122 x 5 x 5 ; y x 5 y 22 2 x 12 x 12 (2 x y ) 5 ; x 122 y 19 y 29 Giải (2) (2 x y ) 132 x 0 x 0 y 13 2 x 13 (2 x y ) 0 x 132 y 26 ( x, y ) (5; 2), (5; 22), ( 5, 2); ( 5, 22),(12; 19),(12; 29), ( 12;19), ( 12; 29),(0;13), (0; 13), (13; 26), ( 13; 26) 2 Bài 2: Tìm x, y, z Z thỏa mãn: x y x y 8(1) Lời giải (2 x 1)2 32 x 2; x 2 (2 y 1) 5 y 3; y 2 2 2 (1) x x y y 32 (2 x 1) (2 y 1) 5 2 x 3; x (2 x 1) 5 (2 y 1)2 32 y 2; y Vậy ( x, y ) (2,3), (2; 2), ( 1;3), ( 1; 2), (3, 2),(3; 1), ( 2, 2), ( 2; 1) 2 Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên: x y xy y 0 Hướng dẫn: x y xy y 0 (2 x y ) (2 y 1) 9 0 32 2 Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên: x y y xy 0 Hướng dẫn: x y y xy 0 ( x y ) ( y 1) 4 2 02 Bài 5: Giải phương trình nghiệm nguyên: x y x y 64 Hướng dẫn: x y x y 64 t (t y ) 64(t x ) 2 2 Bài 6: Giải phương trình nghiệm nguyên: ( x 1)( x y ) 4 x y Hướng dẫn: ( x 1)( x y ) 4 x y x x y x y 4 x y ( x y )2 x ( y 1)2 0 2 Bài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên: x y xy y x 0 Hướng dẫn: x y xy y x 0 ( x xy y ) x y x 0 ( x y ) 2( x y ) x x 0 ( x y 1) ( x 2) 0 2 Bài 8: Giải phương trình nghiệm nguyên: x y z xy xz yz y 10 z 34 0 Hướng dẫn: (2 x) x( y z ) ( y yz z ) ( y y ) ( z 10 z ) 34 0 (2 x x y ) ( y y 9) ( z 10 z 25) 0 (2 x y z ) ( y 3) ( z 5) 0 BTVN 2 a x y 115 x 2 b x y z xy 3x z Dạng 2: Đưa phương trình ước số ( phương trình tích ) - Cơ sở: thường sử dụng với phương trình có biểu thức chứa ẩn phân tích thành nhân tử - Phương pháp: Biến đổi phương trình dạng vế tích đa thức chứa ẩn, vế cịn lại tích số nguyên ( Số nhân tử hai vế ) A.B.C m.n p (m, n, p Z ) giải phương trình tương ứng A m A n A p B n ; B p ; B m C p C m C n Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên sau: x y xy 0(1) Lời giải (1) xy x y 0 x (3 y 2) y 0 x (3 y 2) 5(3 y 2) 11 (3 y 2)(6 x 5) 11.1 1.11 ( 1)( 11) ( 11)( 1) : TH ( x, y) (1,1);( 1; 3) 3 Bài 2: Tìm x, y Z , thỏa mãn x y 91(1) Lời giải (1) ( x y )( x xy y ) 91.1 13.7 2 Ta có: x xy y : TH ( x, y ) ( 5; 6);(3; 4);(4; 3) 2 Bài 3: Tìm x, y Z , thỏa mãn x x y 0(1) Lời giải (1) x x y 0 (2 x 1) (2 y ) 1 (2 x y 1)(2 x y 1) 1 1.1 ( 1)( 1) 2 x y 1 x y +) x 0 y 0 2 x y +) 2 x y 1 x ( x, y ) (0;0);( 1; 0) y 0 Bài 4: Tìm nghiệm nguyên phương trình 2 b x 3xy y 7 a 3xy x y 1 2 c xy x y x y xy 2 d 3x y xy x y 0 2 e x y xy x y 0 Lời giải a 3xy x y 1 3(3 y 1) y 1 (3 y 1)3x y 3 (3 y 1)(3x 1) 2 b 3y - 3x + x y 1 3 -1 -2 -1 -2 -1 Vậy ( x, y) (0,1);( 1, 0) 2 1 x xy y 7 x xy xy y 7 ( x y )(2 x y ) 7 2x - y X + 2y x y -1 -1 -7 -7 -1 13 9 13 -3 2 2 2 c xy x y x y xy xy x y x y xy 0 ( x 1)(2 y x y ) 1.( 1) ( 1).1 x 2; y 1(tm) x 1 1 2 y x y x 2; y (loai) +) x 2 y x y 1 +) x 0 y 2 2 2 d 3x y xy x y 0 x y xy x y x x 3 (2 x y 1) ( x 2) ( x y 3)(3x y 1) 1.( 3) ( 1).3 ( 3).1 3.( 1) : TH 2 2 e x y xy x y 0 ( x y 1) (2 y 1) 7 ( x y 2)( x y) 7 ( x, y ) (2;1),(5; 2), ( 6,1);( 3, 2) Bài 5: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : 2( x y) 3xy Lời giải 2( x y ) 3xy 3xy x y 5 y (3x 2) (3x 2) 5 (3x 2)(3 y 2) 19 3 Do x, y nguyên dương 3x 1;3 y 1 Mà: 19 = 19 = 19 3 x 1 +) 3 y 19 x 1 y 7 3 x 19 +) 3 y 1 x 7 y 1 Vậy ( x, y ) (7,1);(1, 7) 2 Bài 6: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x x y Lời giải x x y x x 24 4 y (2 x 1) y 23 (2 x y 1)(2 x y 1) 23 : TH ( x, y ) (5,6); (5, 6);( 6, 6); ( 6, 6) Bài 7: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x xy 6 x y Lời giải x xy 6 x y x x( y 6) y 0 x x( y 6) ( y 6) ( y 6) y 0 4 x x( y 6) ( y 6) ( y 6) 4(5 y 8) 0 x ( y 6) ( y 6) 4(5 y 8) 0 A A2 y 12 y 36 20 y 32 y y A2 ( y 4) 12 ( y A)( y A) 12 Có: y – – A y – + A có tính chẵn lẻ nên chúng phải chẵn 12 chẵn y–4–A y–4+A -2 -6 -6 -2 2 Bài 8: Giải phương trình nghiệm nguyên: x 5xy y x y 1(1) Lời giải m 2n 7 x xy y ( x y )(2 x y );7 x y m( x y ) n(2 x y ) ( m 2n) x (2m n) y 2m n 8 m 3 n 2 Đặt a x y; b 2 x y (1) ab 3a 2b 1 (a 2)(b 3) 7 : TH ( x, y ) (3, 2); ( 3, 4) Bài 9: Tìm tất số nguyên x cho a A x 3x 10 số phương b B x x số phương c B x x số phương Lời giải a Theo giả thiết: x 3x 10 y ( y N ) x 12 x 40 4 y (2 x 3) 31 (2 y ) (2 y x 3)(2 y x 3) 31 Vì y x y x 4 y 0 2 y x 1 +) TH1: 2 y x 31 2 y x 31 x 9;6 +) TH2: 2 y x 1 2 2 b B x x y ( y N ) ( x 1) y 5 ( x y )( x y ) 5 1.5 5.1 ( 1).( 5) ( 5).( 1) : TH x 2; 4 2 2 c B x x y ( y N ) ( x 1) y ( y x 1)( y x 1) 6 1.6 2.3 6.1 3.2 ( 1)( 6) Sau xét trường hợp vô nghiệm Cách khác: Ta có: y x ( y x 1) x 22 cungtinhchanle +) Nếu y x 1 lẻ y + x – lẻ tích lẻ nên loại +) Nếu y x 1 chẵn y + x – chẵn tích chia hết cho 4, mà không chia hết loại Vậy khơng tồn x Bài 10: Tìm tất số nguyên x cho: x( x 1)( x 7)( x 8) số phương? Lời giải 2 2 2 Theo giả thiết x( x 1)( x 7)( x 8) y ( y N ) a(a 7) y 4a 28a 4 y (2a 7) 49 (2 y) (2a y )(2a y) 49 Ta có: 2a y 2a y; 49 7 cac : TH x 1 +) 49 x +) x 0; x +) -7 -7 x 1; x +) - 49 – x Vậy x 1; 9; 0; 8; 1; 7; 4 Bài 11: Giải phương trình nghiệm nguyên: 3 a x y 6 xy (1) 3 b x y xy 1 Lời giải 3 2 Ta có: a b c 3abc (a b c)(a b c ab bc ca ) (1) x y 23 x y.2 7 ( x y 2)( x y xy x y ) 7 2 2 Lại có: 2( x y 4 xy x y) ( x y ) ( x 2) ( y 2) : TH ( x y ) 3xy 2( x y ) 7 x y ( x, y ) (0, 1);( 1, 0) xy x y +) ( x y ) 3xy 2( x y ) 1 x y +) x y 5 xy 6 y 5 x ( x, y ) (2,3);(3, 2) x(5 x) 6 Vậy phương trình có nghiệm 3 b Ta có: x ( y ) 3.3.x.( y ) 28 ( x, y) (1,3);( 3, 1) BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên: x y xy 6 Hướng dẫn x y xy 6 x (1 y ) y 6 x(1 y ) y 11 x(1 y ) (2 y 1) 11 (2 x 1)(2 y 1) 11 2 Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên: x xy y 11 Hướng dẫn y y2 y2 2x y y x xy y 11 ( x x ) ( y ) 11 ( ) ( ) 2 (2 x y) ( y 3) 8 4 2 (2 x y y 3)(2 x y y 3) 8 Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên: x 25 y( y 6) Hướng dẫn x 25 y ( y 6) x ( y 6 y ) 25 x ( y 3) 16 ( x y 3)( x y 3) 16 Nhận xét: x y x y 2 x 2 hai số chẵn Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên: x( x 1)( x 2)( x 3) y Hướng dẫn ( x 3x )( x 3x 2) y (a y )(a y ) 1(voi.a x 3x ) DÀNH CHO HỌC SINH LỚP f ( x, y ) / c f ( x, y ).g ( x, y ) c g ( x, y ) / c Nội dung: 2 Bài 1: [ Ams 2014 ] Giải phương trình nghiệm nguyên: x y xy x 3x 0(1) Lời giải (1) x( xy y x 3) 4 x / x 1; 2; 4 Sau thay vào phương trình y Hoặc ta nhận xét sau: xy ( x 1) (2 x 3x 4) 0 ( x 1) xy (2 x 1) ( x 1) / ( x 1) 1; 5 x y Bài 2: [ Chuyên KHTN 2015 vịng 1] Tìm n để n + n + 30 số phương ( n Z ) Lời giải n a ( a, b N ) b a (b a)(b a) 25 Đặt n 30 b b a 1;5 b a Z ; b a b a;(b a ) / 25 b a 25;5 Ta có nhận xét sau: b a 1 b a 25 +) b a 5 b a +) a 12 b 13 a 0 b 5 Bài 3: Tìm nghiệm tự nhiên phương trình x a 37 y x b 57 y Lời giải x x 3 x 2x x a 37 y (2 ) y 37 (2 y)(2 y y ) 37 x y 22 x x y y x x y 1;37 y / 37 Nhận xét: Lại có: 2 x y 1 x y 22 x x y y x x 2 y y 37 2 x y (1 y ) (1 y ) y y 37 x y 2x x 2 y y 37 x 2 x b 57 y y 57 x k 1 k +) Nếu x số lẻ x 2k 1( k N ) 2 2.4 k k x k Có 1(mod 3) 1(mod 3) 2.4 2(mod 3) 57 2(mod 3) y 2(mod 3) 2.4 2(mod 3) x 57 2(nod 3) y 2(mod 3) voly x : chan x 2k (k N ) y (2k )2 57 ( y 2k )( y k ) 57 3.19 y 2k y 2k 19 y 2k 3 y 11 y 29 ; ; k k k k x y y y y 19 x Mà:
Ngày đăng: 17/10/2023, 14:24
Xem thêm: Chuyên đề phương trình nghiệm nguyên
