Chương 6 một số yếu tố thống kê và xác suất

Chương MỘT SỐ YẾU TỐ THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT BÀI SỐ GẦN ĐÚNG SAI SỐ A KIẾN THỨC CẦN NHỚ I Sai số số gần Sai số tuyệt đối Nếu a số gần số a  a | a  a | gọi sai số tuyệt đối số gần a Độ xác số gần Ta nói a số gần a với độ xác d  a | a  a |d quy ước viết gọn a a d Sai số tương đối Tỉ số a   a | a | gọi sai số tương đối số gần a II Số quy tròn Quy tròn số số gần Số quy tròn Khi quy tròn số nguyên số thập phân đến hàng số nhận gọi số quy tròn số ban đầu Quy tròn số đến hàng cho trước - Nếu chữ số sau hàng quy tròn nhỏ ta việc thay chữ số chữ số bên phải - Nếu chữ số sau hàng quy tròn lớn ta làm cộng thêm đơn vị vào chữ số hàng quy trịn Nhận xét: Ta lấy độ xác số quy tròn nửa đơn vị hàng quy tròn Quy tròn số gần vào độ xác cho trước Quy ước: Cho a số gần với độ xác d Giả sử a số nguyên số thập phân Khi u cầu quy trịn số a mà khơng nói rõ quy trịn đến hàng ta quy tròn số a đến hàng thấp mà d nhỏ đơn vị hàng B VÍ DỤ Vấn đề Xác định sai số tuyệt đối, độ xác, sai số tương đối số gần Ví dụ Theo Quyết định số 648/QĐ-BCT ngày 20/3/2019 Bộ Công Thương, giá bán lẻ điện sinh hoạt từ ngày 20/3/2019 dao động khoảng từ 1678 đồng đến 2927 đồng kWh tuỳ bậc thang Dưới bảng giá bán lẻ điện sinh hoạt (chưa bao gồm thuế VAT): Mức sử dụng điện tháng (kWh) - Bậc 1: Cho kWh từ  50 - Bậc 2: Cho kWh từ 51  100 - Bậc 3: Cho kWh từ 101  200 - Bậc 4: Cho kWh từ 201 - 300 - Bậc 5: Cho kWh từ 301 - 400 Đơn giá (dồng/kWh) 1678 1734 2014 2536 2834 2927 - Bậc 6: Cho kWh từ 401  500 Biết rằng, nhà bạn Hoa sử dụng điện tháng hết 347kWh a) Nhà bạn Hoa phải trả tiền điện (bao gồm thuế VAT)? b) Bạn Hoa nói nhà bạn phải trả số tiền điện 759000 đồng, em bạn Hoa nói phải trả số tiền điện 758800 đồng Ai nói xác hơn? Giải a) Số tiền điện nhà bạn Hoa phải trả là: 50.1678  50.1734  100.2014  100.2536  47.2834 758798 (đồng) b) Gọi T1 , T2 sai số tuyệt đối 759000 758800 so với số 758798 Ta có: T | 758798  759000 |202,  T | 758798  758800 |2 Vì T1 202  T2 nên em bạn Hoa nói xác Ví dụ Một ti vi có hình dạng hình chữ nhật với độ dài đường chéo 32 in, tỉ số chiều dài chiều rộng hình 16 : Tìm giá trị gần (theo đơn vị inch) chiều dài hình ti vi tìm độ xác, sai số tương đối số gần Giải Gọi chiều dài hình ti vi x (in) với x  9x Khi đó, chiều rộng hình ti vi 16 (in)  9x  262144 x    322  337 x 262144  x  27,89041719 16 337   Theo định lí Pythagore, ta có: Nếu lấy giá trị gần x 27,9 ta có: 27,89  x  27,9 Suy  27,9 | x  27, || 27,89  27,9 |0, 01 Vậy chiều dài hình ti vi xấp xỉ 27,9 in độ xác kết tìm 0,01 in, hay x 27,9 0, 01 (in) Theo đó, ta ước lượng sai số tương đối 27,9 là:  27,9   27,9 | 27,9 |  0,01 0,036% 27,9 Vấn đề Xác định độ xác số quy tròn quy tròn số gần vào độ xác cho trước Ví dụ Quy tròn số - 52,3649 đến hàng phần trăm Số gần nhận có độ xác bao nhiêu? Giải Khi quy tròn số  52,3649 đến hàng phần trăm ta số  52,36 Vì hàng quy trịn hàng phần trăm nên ta lấy độ xác  52,36 0,005 Ví dụ Viết số quy trịn số gần sau với độ xác d : a) 893,275846 với d 0, 007 ; b)  12,9674507 với d 0, 0005 Giải a) Do 0, 001  d 0, 007  0, 01 nên hàng thấp mà d nhỏ đơn vị hàng hàng phần trăm Vì thế, ta quy trịn số 893,275846 đến hàng phần trăm Vậy số quy tròn 893,275846 893,28 b) Do 0, 0001  d 0, 0005  0, 001 nên hàng thấp mà d nhỏ đơn vị hàng hàng phần nghìn Vì thế, ta quy trịn số - 12,9674507 đến hàng phần nghìn Vậy số quy trịn  12,9674507 - 12,967 C BÀl TẬP Số quy tròn 219,46 đến hàng chục là: A 210 B 219,4 C 219,5 D 220 Số quy tròn số gần 673582 với độ xác d 500 là: A 673500 B 674000 C 673000 D 673600 Mặt đáy hộp sũ̃ a có dạng hình trịn bán kính cm Tính diện tích mặt đáy hộp sữa a) Có thể sử dụng số thập phân hữu hạn ghi xác diện tích mặt đáy hộp sữa khơng? Vì sao? b) Bạn Hồ bạn Bình cho kết tính diện tích mặt đáy hộp sữa S1 49, cm S2 50, 24 cm Bạn cho kết xác hơn? Một thớt gỗ có bề mặt dạng hình trịn với bán kính 15 cm Hai bạn Thảo Hoa muốn tính diện tích S mặt thớt gỗ Bạn Thảo lấy giá trị gần  3,14 bạn Hoa lấy giá trị gần  3,1415 Bạn cho kết tính diện tích mặt thớt gỗ xác hơn? Một sân bóng đá có dạng hình chữ nhật với chiều dài chiều rộng sân 105 m 68 m Khoảng cách xa hai vị trí sân độ dài đường chéo sân Tìm giá trị gần (theo đơn vị mét) độ dài đường chéo sân tìm độ xác, sai số tương đối số gần a) Quy tròn số 865549 đến hàng trăm Số gần nhận có độ xác bao nhiêu? b) Quy tròn số - 0,526 đến hàng phần trăm Số gần nhận có độ xác bao nhiêu? Viết số quy tròn số gần sau: a) - 131298 với độ xác d 20 ; b) 0,02298 với độ xác d 0, 0006 D LỜI GIẢI THAM KHẢO D B Diện tích mặt đáy hộp sữa là: S  42 16 cm2   a) Vì  3,141592653 số vô tỉ nên sử dụng số thập phân hữu hạn ghi xác diện tích mặt đáy hộp sữa b) Vì S1  S2  50, 26548 16 nên bạn Bình cho kết xác Bạn Hoa cho kết xác Gọi x độ dài đường chéo sân bóng Áp dụng định lí Pythagore, ta có: x  1052  682  15649 125,09596  Lấy giá trị gần x 125,1 ta có: 125, 09  x  125,1 Suy | x  125,1||125, 09  125,1|0, 01 Vậy độ dài sân bóng lấy 125,1 m với độ xác d 0, 01 Sai số tương đối 125,1 125,1  125,1 |125,1|  0, 01 0, 008% 125,1 a) d 50 b) d 0, 005 a)  131300 b) 0,023 Bài CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂM CHO MẪU SỐ LIỆU KHÔNG GHÉP NHÓM A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Số trung bình cộng (số trung bình) x Số trung bình cộng x mẫu n số liệu x1 , x2 ,, xn x1  x2  xn n Ngoài ra, số trung bình cộng tính theo công thức sau: n1 x1  n2 x2  nk xk n , đó, n1 , n2 , , nk tần số số liệu x1 , x2 , , xk n n1  n2  nk x - x  f1 x1  f x2  f k xk , đó, f1 , f , , f k tần số tương đối số liệu x1 , x2 , , xk Trung vị Sắp thứ tự mẫu số liệu gồm n số liệu thành dãy không giảm (hoặc không tăng) n 1 - Nếu n số lẻ số liệu đứng vị trí thứ (số đứng giữa) gọi trung vị n n 1 - Nếu n số chẵn số trung bình cộng hai số liệu đứng vị trí thứ gọi trung vị Trung vị kí hiệu M e Tứ phân vị Sắp thứ tự mẫu số liệu gồm n số liệu thành dãy không giảm Tú phân vị mẫu số liệu ba giá trị: tứ phân vị thứ nhất, tứ phân vị thứ hai tứ phân vị thứ ba; ba giá trị chia mẫu số liệu thành bốn phần có số lượng phần tử - Tứ phân vị thứ hai Q2 trung vị - Nếu n số chẵn tứ phân vị thứ Q1 trung vị nửa dãy phía tứ phân vị thứ ba Q3 trung vị nửa dãy phía - Nếu n số lẻ tứ phân vị thứ Q1 trung vị nửa dãy phía (khơng bao gồm Q2 ) tứ phân vị thứ ba Q3 trung vị nửa dãy phía (khơng bao gồm Q2 ) Mốt Mốt mẫu số liệu giá trị có tần số lớn bảng phân bố tần số kí hiệu M Chú ý: Một mẫu số liệu có nhiều mốt B VÍ DỤ Vấn đề Xác định số trung bình cộng mẫu số liệu Ví dụ Bốn bạn Bình, Cường, Hoa, Kiên thi vào trường phổ thơng chất lượng cao Bình Minh Kết thi cho bảng thống kê sau: Học sinh Điểm Tốn Điểm Ngũ Văn Điểm Tiếng Anh Bình 10 Cường Hoa 10 10 Kiên 10 Tính điểm trung bình kết thi mơn Tốn, Ngũ̃ Văn, Tiếng Anh bạn cho biết bạn trúng tuyển Biết rằng, muốn trúng tuyển, điểm trung bình mơn thi phải lớn không mơn điểm Giải Điểm trung bình kết thi bạn Bình, Cường, Hoa, Kiên là: 10   xB  9, 10  10  xH  8, 675 6,   10 xK  8 xC  Dựa vào số liệu trên, ta thấy bạn Bình bạn Kiên trúng tuyển Vấn đề Xác định trung vị mẫu số liệu Ví dụ Đầu năm học, nhà trường cho học sinh khám sức khỏe Mẫu số liệu thống kê kết đo cân nặng (đơn 58 62,1 55 67 61 60,5 vị: ki-lô-gam) bạn nam sau: 64 Trung vị mẫu số liệu bao nhiêu? Giải Sắp xếp số liệu mẫu theo thứ tự không giảm: 55 58 60,5 61 62,1 64 67 Mẫu số liệu có số Số thứ tư 61 Vì M e 61( kg ) Ví dụ Mẫu số liệu thống kê chiều cao (đơn vị: xăng-ti-mét) 10 bạn tổ I lớp 10A sau: 164 156 170 168 158 173 167 161 157 174 Trung vị mẫu số liệu bao nhiêu? Giải Sắp xếp số liệu mẫu theo thứ tự không giảm: 156 157 158 161 164 167 168 170 173 174 Mẫu số liệu có 10 số Số thứ năm số thứ sáu 164 167 164  167 Me  165,5( cm) Vì Vấn đề Xác định tứ phân vị mẫu số liệu Ví dụ Mẫu số liệu thống kê số cân nặng (đơn vị: ki-lô-gam) tăng thêm trẻ sơ sinh ba tháng sau: 0,9 1,0 1,1 1,14 1,18 1,2 1,3 Tứ phân vị mẫu số liệu bao nhiêu? Giải Mẫu số liệu xếp theo thứ tự không giảm Trung vị mẫu số liệu 1,14 Trung vị dãy 0, 9;1, 0;1,1 1,0 Trung vị dãy 1, 18;1, 2;1,3 1,2 Vậy Q1 1, 0; Q2 1,14; Q3 1, Ví dụ Mẫu số liệu thống kê thời gian (đơn vị: phút) đọc hết sách bạn tổ I lớp 10A sau: 102 130 118 127 115 138 121 109 132 Tứ phân vị mẫu số liệu bao nhiêu? Giải Sắp xếp số liệu mẫu theo thứ tự không giảm: 102 109 115 118 121 127 130 132 138 Trung vị mẫu số liệu 121 Trung vị dãy 102, Trung vị dãy 127, 109, 130, 109  115 112 115, 118 1à: 132, 130  132 131 138 là: Vậy Q1 112, Q2 121, Q3 131 Vấn đề Xác định mốt mẫu số liệu Ví dụ Một cửa hàng bán giày thống kê số đôi giày bán Quý III năm 2020 sau: Cỡ giày 37 38 39 40 41 42 43 44 Số đôi giày bán (Tần số) 41 49 50 71 53 46 27 a) Mốt bảng tần số thống kê số giày bán Quý III năm 2020 cửa hàng bao nhiêu? b) Cửa hàng nên nhập nhiều cỡ giày để bán tiếp? Giải a) Vì tần số lớn 71 71 tương ứng với cỡ giày 40 nên mốt bảng 40 b) Cửa hàng nên nhập nhiều cỡ giày 40 để bán tiếp C BÀI TẬP Cho mẫu số liệu: 12 a) Số trung bình cộng mẫu số liệu là: A B 6,5 C D b) Trung vị mẫu số liệu là: A B 6,5 C D c) Tứ phân vị mẫu số liệu là: A Q1 3, Q2 6,5, Q3 9 B Q1 1, Q2 6,5, Q3 12 C Q1 6, Q2 7, Q3 8 D Q1 3, Q2 7, Q3 9 Tính đến ngày 19/01/2022, bảng xếp hạng giải bóng đá Ngoại hạng Anh (Vịng 24), số điểm đội dẫn đầu bảng sau: Đội Điểm Manchester City 56 Liverpool Chelsea 45 43 West Ham Arsenal 37 35 (Nguồn: https://bongda24h.vn/bang-xep-hang.html) a) Số trung bình cộng mẫu số liệu là: A 43 B 43,2 C 44 D 56 b) Trung vị mẫu số liệu là: A 43 B 43,2 C 44 D 56 c) Tứ phân vị mẫu số liệu là: A Q1 45, Q2 43, Q3 37 B Q1 56, Q2 43, Q3 35 C Q1 36, Q2 43, Q3 50,5 D Q1 50,5, Q2 43, Q3 36 10 Cho mẫu số liệu thống kê bảng phân bố tần số sau: Giá trị Tần số 12 Tính số trung bình cộng mẫu số liệu 11 10 11 Cho mẫu số liệu thống kê bảng phân bố tần số tương đối sau: Giá trị Tần số tương 10 0,1 12 0,2 15 0,25 16 0,35 19 0,1 đối Tính số trung bình cộng mẫu số liệu 12 Thời gian (đơn vị: phút) hoàn thành kiểm tra trực tuyến học sinh là: 40 35 45 42 44 38 43 39 Đối với mẫu số liệu trên, tìm: a) Số trung bình cộng; b) Trung vị; c) Tứ phân vị 13 Kết kiểm tra Toán lớp 40 học sinh thống kê bảng sau: Điểm Số học sinh (Tần số) Mốt bảng thống kê kết kiểm tra Toán lớp bao nhiêu? 9 10 D LỜI GIẢI THAM KHẢO a) B.b) C c) D a) B.b) A c) C 10 6,6 11 14, 65 12 a) 40,75 (phút) b) 41 (phút) c) Q1 38,5 (phút), Q2 41 (phút), Q3 43,5 (phút) 13 Mốt có tần số lớn BÀI CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO MỨC ĐỘ PHÂN TÁN CHO MẪU SỐ LIỆU KHƠNG GHÉP NHĨM A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Khoảng biến thiên Khoảng tứ phân vị - Trong mẫu số liệu, khoảng biến thiên hiệu số giá trị lớn giá trị nhỏ mẫu số liệu Ta tính khoảng biến thiên R mẫu số liệu theo công thức sau: R  xmax  x xmax giá trị lớn nhất, xmin giá trị nhỏ mẫu số liệu  Q3  Q1 - Giả sử Q1 , Q2 , Q3 tứ phân vị mẫu số liệu Ta gọi hiệu Q khoảng tứ phân vị mẫu số liệu Phương sai Cho mẫu số liệu thống kê có n giá trị x1 , x2 ,, xn số trung bình cộng x Ta gọi số s  x  x  2   x2  x    xn  x  n phương sai mẫu số liệu Ngồi ra, phương sai tính theo cơng thức sau: 2 n1  x1  x   n2  x2  x   nk  xk  x  s  n x1 , x2 , , xk n n1  n2  nk - s  f1  x1  x   f  x2  x   f k  xk  x  , đó, n1 , n2 , , nk tần số số liệu , đó, f1 , f , , f k tần số tương đối số liệu x1 , x2 , , xk Độ lệch chuẩn Căn bậc hai (số học) phương sai gọi độ lệch chuẩn mẫu số liệu thống kê Tính hợp lí số liệu thống kê Ta sử dụng khoảng tứ phân vị để xác định số liệu bất thường mẫu số liệu sau: Giả sử Q1 , Q2 , Q3 tứ phân vị mẫu số liệu hiệu Q Q3  Q1 khoảng tứ phân vị mẫu số liệu Q1   Q Một giá trị mẫu số liệu coi giá trị bất thường nhỏ lớn Q3   Q B VÍ DỤ Vấn đề Xác định khoảng biến thiên mẫu số liệu Ví dụ Mẫu số liệu thống kê tiền lương (đơn vị: triệu đồng/tháng) cán tổ công ty là: 8,5 10 10,5 9,5 11 12 Tìm khoảng biến thiên mẫu số liệu Giải Trong mẫu số liệu trên, số lớn 12 số nhỏ Vậy khoảng biến thiên mẫu số liệu là: R xmax  xmin 12  4 (triệu đồng/tháng) Vấn đề Xác định khoảng tứ phân vị mẫu số liệu Ví dụ Mẫu số liệu thống kê chiều cao (đơn vị: mét) 12 thông là: 30,5 31 30,1 33, 30, 34,8 35 34,5 31, 32,8 31,5 34,9 Tìm khoảng tứ phân vị mẫu số liệu Giải Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: 30,1 30,5 30,7 31 31,5 31,6 32,8 33,2 34,5 34,8 34,9 35 31,  32,8 32, 2 Trung vị mẫu số liệu là: 10 C 36 D c) Xác suất biến cố "Số chấm xuất hai lần gieo giống nhau" là: A B C 36 D d) Xác suất biến cố "Số chấm xuất hai lần gieo số chẵn" là: A B C 36 D 22 Tung đồng xu hai lần liên tiếp Phát biểu biến cố sau dạng mệnh đề nêu kiện: a) A {NS ; SS} ; b) B {NN ; NS ; SN ; SS } 23 Tung đồng xu hai lần liên tiếp Tính xác suất biến cố "Lần thứ hai xuất mặt ngửa" 24 Gieo xúc xắc hai lần liên tiếp Phát biểu biến cố sau dạng mệnh đề nêu kiện: a) C {(1;1)} ; b) D {(1; 6); (6;1)} ; c) G {(3;3);(3;6) ; (6;3);(6;6)} ; d) E {(1;1); (1;3);(1;5); (3;3); (3;1); (3;5); (5; 5);(5;1); (5;3)} 25 Gieo xúc xắc hai lần liên tiếp Tính xác suất biến cố sau: 19 a) A : "Lần thứ hai xuất mặt chấm"; b) B : "Tổng số chấm xuất hai lần gieo "; c) C: "Tổng số chấm xuất hai lần gieo chia hết cho 3"; d) D : "Số chấm xuất lần thứ số nguyên tố"; e) E: "Số chấm xuất lần thứ nhỏ số chấm xuất lần thứ hai”" 26 Tung đồng xu ba lần liên tiếp a) Tìm số phần tử tập hợp  khơng gian mẫu trị chơi b) Xác định biến cố: A : "Lần thứ hai xuất mặt ngửa"; B: "Mặt sấp xuất hai lần" D LỜI GIẢI THAM KHẢO 20 a) A b) B c) A d) A 21 a) C d) D b) B c) B 22 a) A : "Lần thứ hai xuất mặt sấp" b) B: "Lần thứ xuất mặt sấp mặt ngửa" 23 24 a) C : "Số chấm xuất hai lần gieo " b) D : "Giá trị tuyệt đối hiệu số chấm hai lần gieo 5" c) E : "Số chấm xuất hai lần gieo chia hết cho 3" d) G : "Tích số chấm xuất hai lần gieo số lẻ" 25 Không gian mẫu có 36 phần tử a) A {(i;5) ∣i 1, 2, 3, 4,5, 6} Suy n( A) 6 Vậy P( A)  b) B {(1;6);(6;1);(2;5);(5; 2);(3; 4);(4;3)} Suy n( B) 6 Vậy P( B)  c) C {(1; 2); (2;1);(1;5); (5;1); (2; 4); (4; 2);(3; 3); (3; 6); (6;3);(4;5) ; (5; 4); (6; 6)} Suy n(C ) 12 Vậy P(C )  d) D {(2;1);(2; 2);(2;3); (2; 4); (2;5);(2;6);(3;1);(3; 2);(3;3);(3; 4) ; 20