Bài 6 ba đường conic đáp án

Bài BA ĐƯỜNG CÔNIC |FanPage: Nguyễn Bảo Vương PHẦN A LÝ THUYẾT I Đường elip Định nghĩa đường elip Cho hai điểm F1 , F2 cố định có khoảng cách F1 F2 2c (c  0) Đường elip (còn gọi elip) tập hợp điểm M mặt phẳng cho MF1  MF2 2a , a số cho trước lớn c Hai điểm F1 F2 gọi hai tiêu điểm elip Phương trình tắc elip Ta chứng minh rằng: Khi chọn hệ trục tọa độ trên, phương trình đường elip viết dạng x2 y  1, a  b  a b2 Đây gọi phương trình tắc elip Chú ý Đối với elip ( E ) có phương trình tắc nêu trên, ta có: 2 - c a  b ,ở 2c F1 F2 - Nếu điểm M ( x; y ) thuộc elip ( E )  a x a Ví dụ Trong phương trình sau, phương trình phương trình tắc đường elip? x2 y  1 a) ; x2 y2   b) x y2  1 42 c) x2 y  1 d) Giải x2 y  1 b Phương trình tắc elip có dạng a , với a  b  nên có trường hợp d) phương trình tắc đường elip Ví dụ Lập phương trình tắc elip ( E ) có tiêu điểm F2 (5;0) qua điểm M (0;3) Giải Trang Elip ( E ) có phương trình tắc là: x2 y2  1( a  b  0) a b2 32  1 Do F2 (5;0) tiêu điểm ( E ) nên c 5 Điểm M (0;3) nằm ( E ) nên a b Do 2 2 b 9 , suy a b  c 9  25 34 x2 y  1 Vậy elip ( E ) có phương trình tắc là: 34 II Đường Hypebol Cho hai điểm F1 , F2 cố định có khoảng cách F1 F2 2c (c  0) MF1  MF2 2a Đường hypebol (còn gọi hypebol) tập họp̣ điểm M cho , a số c dương cho trước nhỏ Hai điểm F1 F2 gọi hai tiêu điểm hypebol Phương trình tắc đường hypebol Ta chứng minh rằng: Khi chọn hệ trục toạ độ trên, phương trình đường hypebol viết dạng x2 y2  1,a  0, b  a b2 Đây gọi phương trình tắc hypebol Chú ý Đối với hypebol ( H ) có phương trình tắc nêu trên, ta có: 2 - c a  b , 2c F1 F2 , điều kiện a  b không bắt buộc - Nếu điểm M ( x; y ) thuộc hypebol ( H ) x  a x a Ví dụ Trong phương trình sau, phương trình phương trình tắc đường hypebol? x2 y2   a) x2 y  1 b) x2 y  1 c) x2 y  1 d) Giải x2 y2  1 b Phương trình tắc hypebol có dạng a , với a  0, b  nên trường hợp b), c), d) phương trình tắc đường hypebol Trang Ví dụ Viết phương trình tắc đường hypebol ( H ) có tiêu điểm F2 (6;0) qua điểm A2 (4;0) Giải x2 y2  1 b Giả sử hypebol ( H ) có phương trình tắc a với a  0, b  42  1 Do A2 (4;0) thuộc ( H ) nên a b , suy a 4 Mà F2 (6;0) tiêu điểm ( H ) nên c 6 Suy b c  a 36  16 20 x2 y  1 Vậy hypebol ( H ) có phương trình tắc 16 20 III Đường parabol Cho điểm F cố định đường thẳng  cố định không qua F Đường parabol (còn gọi parabol) tập hợp điểm M mặt phẳng cách F  Điểm F gọi tiêu điểm parabol Đường thẳng  gọi đường chuẩn parabol Phương trình tắc parabol Khi chọn hệ trục toạ độ trên, phương trình đường parabol viết dạng y 2 px ( p  0) Đây gọi phương trình tắc parabol Chú ý: Đối với parabol ( P ) có phương trình tắc y 2 px ( p  0) , ta có: p  p F  ;0  x  0 - Tiêu điểm   phương trình đường chuẩn M ( x ; y ) ( P ) - Nếu điểm thuộc parabol x 0 Ví dụ Trong phương trình sau, phương trình phương trình tắc đường parabol? a) y  x ; b) y 6 x c) x  y ; d) x 6 y Giải Phương trình tắc parabol có dạng y 2 px với p  nên có trường hợp b) phương trình tắc đường parabol Ví dụ Viết phương trình tắc parabol ( P) biết: a) ( P ) có tiêu điểm F (5; 0) ; b) ( P ) qua điểm M (2;1) Trang Giải Gọi phương trình tắc parabol ( P ) là: y 2 px ( p  0) p 5 a) Vì ( P) có tiêu điểm F (5; 0) nên , tức p 10 Vậy phương trình tắc parabol ( P) y 20 x b) Do điểm M (2;1) nằm ( P ) nên 2 p 2, tức x y2  ( P ) p Vậy phương trình tắc parabol IV Một số ứng dụng thực tiễn ba đường conic Ba đường conic có nhiều ứng dụng thực tiễn Ta nêu vài ứng dụng ba đường conic Năm 1911, nhà vật lí học người Anh Ernest Rutherford (1871 - 1937) đề xuất mơ hình hành tinh ngun tử, hạt nhân nhỏ bé nằm tâm nguyên tử, electron bay quanh hạt nhân quỹ đạo hình elip hành tinh bay quanh Mặt Trời Trong vật lí, tượng hai sóng gặp tạo nên gợn sóng ổn định gọi tượng giao thoa hai sóng Các gợn sóng có hình đường hypebol gọi vân giao thoa Với gương parabol, tia sáng phát từ tiêu điểm (tia tối) chiếu đến điểm parabol bị hắt lại (tia phản xạ) theo tia song song (hoặc trùng) với trục parabol Tính chất có nhiều û́ ng dụng, chẳng hạn: - Đèn pha: Bề mặt đèn pha mặt tròn xoay sinh cung parabol quay quanh trục nó, bóng đèn đặt vị trí tiêu điểm parabol Các tia sáng phát từ bóng đèn chiếu đến bề mặt đèn pha bị hắt lại theo tia sáng song song, cho phép quan sát vật xa Trang - Chảo vệ tinh có dạng đèn pha Điểm thu phát tín hiệu máy đặt vị trí tiêu điểm parabol PHẦN B BÀI TẬP TỰ LUẬN Dạng Các toán liên quan elip Câu Xác định đỉnh, độ dài trục, tiêu cự, tiêu điểm, tâm sai elip có phương trình sau: b) x  25 y 100 x y2 a)  1 Lời giải 2 x y  1  E  2 a) Từ phương trình , ta có a 2; b 1 Suy c  a  b  A   2;0  A2  2;0  B1  0;  1 B1  0;1 Suy tọa độ đỉnh , , , Độ dài trục lớn A1 A2 4 độ dài trục bé B1 B2 2   F  3;0 F2 Tiêu cự F1 F2 2c 2 , tiêu điểm ;  3;  c e  a Tâm sai c x2 y  1 2 2 25 b) Ta có x  25 y 100 suy a 5; b 2 nên c  a  b  21 A   5;0  A2  5;0  B1  0;   B1  0;  Do tọa độ đỉnh , , , Độ dài trục lớn A1 A2 10 , độ dài trục bé B1 B2 4    F  21;0 F Tiêu cự F1 F2 2c 2 21 , tiêu điểm ;  21;0  c 21 e  a Tâm sai c Câu Lập phương trình tắc Elip, biết  5 M  2;    có tiêu điểm F   2;0  a) Elip qua điểm F  5;0  b) Elip nhận tiêu điểm có độ dài trục nhỏ Trang c) Elip có độ dài trục lớn tiêu cự d) Elip qua hai điểm  M 2;   N    6;1 Lời giải a) Do  E F1   2;  có tiêu điểm 2 2 nên c 2 Suy a b  c b   5  E  qua điểm M  2;  nên: Mặt khác, 22  /  25 20  1   1 b  l 2 2  9b  25b  100 0  b 5 a b b  9b  E : Vậy Elip cần tìm có phương trình b) Do  E F2  5;0  có tiêu điểm x2 y  1 nên c 5 Theo giả thiết độ dài trục nhỏ nên 2b 4  b 2 Suy  a b  c 52   Vậy Elip cần tìm có phương trình 49  E : x2 y  1 49 24 c) Độ dài trục lớn nên 2a 2  a  Tiêu cự nên 2c 2  c 1 2 2 2 Từ hệ thức a b  c , suy b a  c 5  4 Vậy Elip cần tìm có phương trình d) Do  E qua  M 2;   E :  N   x2 y  1  nên ta có hệ phương trình: 6;1 4 1  a  b 1  a 8    a 8   1  1    a b  b b 4 Vậy Elip cần tìm có phương trình Câu Trang  E : x2 y  1 Lập phương trình tắc Elip, biết e a) Elip có tổng độ dài hai trục tâm sai có hình chữ nhật sở có chu vi 20 b) Elip có tâm sai F   2;  c) Elip có tiêu điểm có hình chữ nhật sở có diện tích 12 e Lời giải a) Tổng độ dài hai truc nên 2a  2b 8 (1) e Tâm sai c    a  2c a 2 (2)  2a  2b 8   a  b 4  c    a  2c e  a  Từ (1) (2), ta có:  b 4  2c   a  2c 2 Thay vào hệ thức a b  c , ta  2c    2c  c  c  2c  16 0  c 4 4  a 8   b   c   Với , suy  (không thỏa mãn)  a 8   b   Với c 4  , suy  x2 Do Elip cần tìm có phương trình e b) Elip có tâm sai  E :  8 2    y2 2  1 c    a c a Mặt khác , Elip có hình chữ nhật sở có chu vi 20 nên :  2a  2b  20  a  b 5  b 5  a Thay  1 ;   2 vào hệ thức a b  c , ta được: 2 30       2 c  25 0  c    a   c   c    a   c2  c   5        c 5   c  a 15  Với c 5 , suy b  10 (không thỏa mãn) Trang a 3 x2 y   E  :  1 Với c  , suy b 2 Do Elip cần tìm có phương trình F   2;0  c) Elip có tiêu điểm nên c 2 Diện tich hình chữ nhật sở s 2a.2 b 12  ab 3  a 2b 45  1 2 2 Mặt khác, ta có a b  c b  Kết hợp  1 ;   (2) ta được: a 2b 45   b   b 45  b  4b  45 0  b 5 b   l  2 Với b 5  a 9 x2 y  1 Vậy phương trình Elip cần tìm : Câu Lập phương trình tắc Elip, biết: a) Elip qua điểm  M  5;  khoảng cách hai đường chuẩn 10 25 khoảng cách từ tâm đối xứng đến đường chuẩn b) Elip có tâm sai 25 x c) Elip có độ dài trục lớn 10 phương trình đường chuẩn d) Khoảng cách đường chuẩn 36 bán kinh qua tiêu điểm M thuộc Elip 15 e Lời giải a) Elip qua điểm  M  5;  nên  1 a2 b2 (1) Khoảng cách hai đường chuẩn Elip 10 nên: a a a2 10  5  5  a 5c e e c  2 2 b a  c 5c  c Từ (2), kết hợp với hệ thức a b  c , ta Thay (2), (3) vào (1), ta được:  1  c  6c  0  c 3 5c 5c  c  a 15  b 6 c  Với , suy  Trang  3 x2 y  1 Vậy phưowng trình Elip cần tìm : 15 c 3 e    c a a 5 b) Ta có 25 Elip có khoảng cách từ tâm đối xứng O đến đường chuẩn nên: a 25 a 25 a 25       a 5 e c a 2 Với a 5  c 3 b a  c 16 x2 y2  1 Vậy Elip cần tìm có phương trình là: 25 16 c) Elip có độ dài trục lớn 10 nên 2a 10  a 5 Mặt khác, Elip có phương trình đường chuẩn x 25 a 25 a 25 52 25        c 4 e e c 2 Suy b a  c 9 x2 y2  1 Vậy phương trình Elip cần tìm có phương trình 25 d) Elip có khoảng cách hai đường chuẩn 36 nên: a a2 a2 36  36  18 e c c a  ex 9  a 12  a  ex  15  Mặt khác, ta có: 2 Với a 12  c 8 b a  c 144  64 80 x2 y  1 Vậy phương trình Elip : 144 80 Câu Lập phương trình tắc Elip, biết: a) Elip có hình chữ nhật sở nội tiếp đường trịn b) Elip co hình chữ nhật sở nội tiếp đường tròn  C  : x  y 41 qua điểm A  0;5 C : x 2  y 21 qua điểm M  1;  nhìn hai tiêu điểm Elip góc 60 Trang c) Một cạnh hình chữ nhật sở Elip nằm d : x  0 độ dài đường chéo hình chữ nhật d) Tứ giác ABCD hình thoi có bốn đỉnh trùng với đỉnh Elip Bán kính đường trịn nội tiếp hình thoi tâm sai Elip Lời giải a) Elip qua điểm A  0;5   Oy , suy b 5 Phương trình cạnh hình chữ nhật sở là: x a; y 5 Suy đỉnh hình chữ nhật sở Theo giả thiết  a;5   a;5  thuộc đường tròn (C) nên ta có: a  25 41  a 16 x2 y  1 Vậy phương trình Elip cần tìm : 16 25  b) Theo giả thiết tốn ta có: F1MF2 60 , suy ra: F1 F2 MF12  MF22  2MF1MF2 cos 600 2  4c   c      c    4c 2c  10  1 c 2 1  c  2    c      c   10  2c 0   2 2     c       c     10  2c  0  c   3c  46c  75 0  c2  23 4 19 Phương trình cạnh hình chữ nhật sở là: x a; y b nên tọa độ đỉnh hình chữ nhật sở  a; b  Theo giả thiết đỉnh hình chữ nhật thuộc đường trịn Trang 10  C 2 nên ta có: a  b 21